材料力學第四章-平面彎曲1課件

1、材 料 力 學Friday, October 7, 2022第四章平 面 彎 曲1材 料 力 學Sunday, October 2, 2022第四章 平面彎曲本章內容:1 平面彎曲的概念2 梁的簡化3 平面彎曲時梁的內力4 剪力方程、彎矩方程、剪力圖、彎矩圖5 彎矩、剪力和載荷集度間的關系2第四章 平面彎曲本章內容:26 平面彎曲時梁橫截面的正應力7 截面的慣性矩及抗彎截面模量8 彎曲正應力強度條件9 提高梁的彎曲強度的措施36 平面彎曲時梁橫截面的正應力3材料力學第四章-平面彎曲1課件材料力學第四章-平面彎曲1課件4. 2梁的簡化1 支座的幾種基本形式 固定鉸支座橋梁下的固定支座，止推滾珠軸

2、承等。64. 2梁的簡化1 支座的幾種基本形式 固定鉸支座橋梁1 支座的幾種基本形式 固定鉸支座 可動鉸支座1個約束，2個自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等71 支座的幾種基本形式 固定鉸支座 可動鉸支座1個約束 固定端約束FAxFAy2 載荷的簡化 集中力 集中力偶 分布載荷游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。8 固定端約束FAxFAy2 載荷的簡化 集中力 集中力偶 均勻分布荷載線性(非均勻)分布荷載分布荷載Me集中力偶集中力作用在梁上的載荷形式9均勻分布荷載線性(非均勻)分布荷載分布荷載Me集中力偶集中力3 靜定梁的基本形式主要研究等直梁。 簡支梁 外伸梁 懸臂梁103 靜定梁的

3、基本形式主要研究等直梁。 簡支梁 外伸梁 懸臂4. 3 平面彎曲時梁的內力下面求解梁彎曲時的內力。 例子已知：q = 20 kN/m, 尺寸如圖。求：D截面處的內力。x求內力的方法截面法。解：建立x坐標如圖。(1) 求支座反力RAyRAxRC取整體，受力如圖。114. 3 平面彎曲時梁的內力下面求解梁彎曲時的內力。 例(1) 求支座反力取整體，受力如圖。xRARCRAx(2) 求D截面內力從D處截開，取左段。xRAQD橫截面上的內力如圖。RAxNMD12(1) 求支座反力取整體，受力如圖。xRARCRAx(2) (2) 求D截面內力從D處截開，取左段。橫截面上的內力如圖。xRAQDMDNRAx

4、13(2) 求D截面內力從D處截開，取左段。橫截面上的內力如圖。xRARCRAx若從D處截開，取右段。橫截面上的內力如圖。xRAQDMDNRAxRCQDMD計算可得QD, MD的數(shù)值與取左段所得結果相同。但從圖上看，它們的方向相反。 剪力和彎矩的正負號規(guī)則如何？14xRARCRAx若從D處截開，取右段。橫截面上的內力如圖。x 剪力和彎矩的正負號規(guī)定QQ 剪力使其作用的一段梁產(chǎn)生順時針轉動的剪力為正。 彎矩使梁產(chǎn)生上凹(下凸)變形的彎矩為正。15 剪力和彎矩的正負號規(guī)定QQ 剪力使其作用的一 彎矩使梁產(chǎn)生ACDB試確定截面C及截面D上的剪力和彎矩ACCDBBD16ACDB試確定截面C及截面D上的

5、剪力和彎矩ACCDBBD164. 4 剪力方程、彎矩方程、剪力圖、彎矩圖 剪力方程xRARAxRC 彎矩方程 上例中 剪力圖和彎矩圖174. 4 剪力方程、彎矩方程、剪力圖、彎矩圖 剪力方程xR例 2已知：簡支梁如圖。解：求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。(1) 求支反力需分段求解。(2) 求剪力方程和彎矩方程分為兩段：AC和CB段。 AC段取x截面，左段受力如圖。18例 2已知：簡支梁如圖。解：求：剪力方程，彎矩(1) 求支反需分段求解。(2) 求剪力方程和彎矩方程分為兩段：AC和CB段。 AC段取x截面，左段受力如圖。QM由平衡方程，可得: CB段x取x截面，19需分段求解。(2

6、) 求剪力方程和彎矩方程分為兩段：AC和CB由平衡方程，可得: CB段x取x截面，xQM左段受力如圖。(3) 畫剪力圖和彎矩圖20由平衡方程，可得: CB段x取x截面，xQM左段受力如圖。(3) 畫剪力圖和彎矩圖21(3) 畫剪力圖和21例 3已知：懸臂梁如圖。解：求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。(1) 求支反力為使計算簡單，(2) 求剪力方程和彎矩方程取x截面，右段受力如圖。22例 3已知：懸臂梁如圖。解：求：剪力方程，彎(1) 求支反力為使計算簡單，(2) 求剪力方程和彎矩方程取x截面，右段受力如圖。QM由平衡方程，可得:23為使計算簡單，(2) 求剪力方程和取x截面，右段QM

7、由平衡方(3) 畫剪力圖和彎矩圖24(3) 畫剪力圖和24 作剪力圖和彎矩圖的步驟(1) 求支座反力；(2) 建立坐標系(一般以梁的左端點為原點)；(3) 分段 在載荷變化處分段；(4) 列出每一段的剪力方程和彎矩方程；(5) 根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫出剪力圖和彎矩圖。25 作剪力圖和彎矩圖的步驟(1) 求支座反力；25例 4 已知：外伸梁如圖。解：求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖.(1) 求支反力26例 4 已知：外伸梁如圖。解：求：剪力方程，彎矩方程，并(1) 求支反力需分段求解。(2) 求剪力方程和彎矩方程分為3段：CA, AD和DB段。 CA段取x截面，左段受力如圖。由平衡方

8、程，可得:x27(1) 求支反力需分段求解。(2) 求剪力方程和彎矩方程分為 CA段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:x AD段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:28 CA段取x截面，左由平衡方程，x AD段取x截面，左段受力x AD段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得: DB段取x截面，右段受力如圖。29x AD段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得: DB段x DB段取x截面，右段受力如圖。(3) 畫剪力圖和彎矩圖30 x DB段取x截面，右段受力如圖。(3) 畫剪力圖和彎矩圖3(3) 畫剪力圖和彎矩圖END31(3) 畫剪力圖和彎矩圖END314. 5 彎矩、剪

9、力和載荷集度間的關系對圖示的直梁,考察dx 微段的受力與平衡。324. 5 彎矩、剪力和載荷集度間的關系對圖示的直梁,32考察dx微段的受力與平衡C33考察dx微段的受力與C33C略去高階微量還可有：34C略去高階微量還可有：34 q(x)、Q(x)和M(x)間的微分關系上次例 3 由微分關系可得以下結論35 q(x)、Q(x)和M(x)間的微分關系上次例 3 由微 由微分關系可得以下結論(1) 若q(x) = 0上次例 2 (書例4. 2) Q(x) =常數(shù)，剪力圖為水平線；M(x) 為一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。(2) 若q(x) = 常數(shù)Q(x)為一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；M(x) 為二次

10、函數(shù)，彎矩圖為拋物線。36 由微分關系可得以下結論(1) 若q(x) = 0上次例 上次例 3(2) 若q(x) = 常數(shù)Q(x)為一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；M(x) 為二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。當q(x) 0(向上)時,拋物線是下凸的；當q(x) 5 的梁稱為細長梁。69橫力彎曲時，橫截面上有切應力平面假設此外, 橫力彎曲時縱向纖 最大正應力橫力彎曲時，彎矩是變化的。引入符號：則有： 抗彎截面系數(shù) 比較拉壓:扭轉:70 最大正應力橫力彎曲時，彎矩是變化的。引入符號：則有： 兩種常用截面的抗彎截面系數(shù) 矩形截面 圓形截面71 兩種常用截面的抗彎截面系數(shù) 矩形截面 圓形截面71長為l的矩形截面懸

11、臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F(xiàn)1.6kN，試求B截面上a、b、c各點的正應力。（壓）72長為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b12試計算圖示簡支矩形截面木梁平放與豎放時的最大正應力，并加以比較。200100豎放橫放73試計算圖示簡支矩形截面木梁平放與豎放時的最大正應力，并加以比拉壓正應力扭轉切應力彎曲正應力應力的計算通常用要到構件 截面的幾何參數(shù)，例如：4. 7 截面的幾何性質74拉壓正應力扭轉切應力彎曲正應力應力的計算通常用要到構件 截面1 形心位置2 慣性矩和平行移軸公式4. 7 截面的幾何性質751 形心位置4. 7 截面的幾何性

12、質75對稱圖形形心的位置有一個對稱軸：形心C位于該軸上yCz76對稱圖形形心的位置有一個對稱軸：形心C位于該軸上yCz76 有兩個對稱軸：兩個對稱軸的交點就是形心C的位置zyC77 有兩個對稱軸：zyC77Czy對某點對稱（中心對稱）形心C位于對稱中心78Czy對某點對稱（中心對稱）形心C位于對稱中心78一、面積（對軸）矩：(與力矩類似) 是面積與它到軸的距離之積。dAxyyx1 面積矩與形心位置79一、面積（對軸）矩：(與力矩類似)dAxyyx1 面積二、形心：(等厚均質板的質心與形心重合。)dAxyyx等厚均質質心：累加式80二、形心：(等厚均質板的質心與形心重合。)dAxyyx等厚均圖示

13、為Z形鋼的截面,圖中尺寸單位為cm。求Z形截面的形心位置。將圖形截面分割為三部分，每部分都是矩形。設坐標Oxy，它們的面積和坐標分別為：解:A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）81圖示為Z形鋼的截面,圖中尺寸單位為cm。求Z形截面的形心位置A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3

14、=15（cm），y3=5（cm）82A1=1030=300（cm2）；82圖形對 y 軸的慣性矩圖形對 z軸的慣性矩11. 3 慣性矩與平行軸定理zyOdAyzrA為計算彎曲正應力與彎曲變形，必須知道截面的慣性矩83圖形對 y 軸的慣性矩圖形對 z軸的慣性矩11. 3 一、簡單截面的慣性矩1 矩形截面的慣性矩Iz b/2b/2Cydyzyh/2h/2根據(jù)慣性矩定義有： 84一、簡單截面的慣性矩1 矩形截面的慣性矩Iz b/2b/22 圓形截面的慣性矩Iz dzyyzc同理，空心圓截面對中性軸的慣性矩為式中D為空心圓截面的外徑，為內、外徑的比值852 圓形截面的慣性矩Iz dzyyzc同理，空心

15、圓截面二、 組合公式 將組合截面A劃分為n個簡單圖形，設每個簡單圖形面積分別為A1、A2、An。 根據(jù)慣性矩定義及積分的概念，組合截面A對某一軸的慣性矩等于每個簡單圖形對同一軸的慣性矩之和，即：慣性矩的組合公式 86二、 組合公式 將組合截面A劃分為n個簡單圖形，設每個 以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖dAxyyxrabCxCyC三、平行軸定理87 以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖dAx圖所示為T字形截面，求截面對形心軸zC的慣性矩Iz。20204060COyyCZZC解：（1）確定界面形心C的位置建立坐標系Oyz,將截面分為兩個矩形、， 其面積及各自的形心縱坐標分別為

16、：A160201200mm2yC120/210mmA2=4020800 mm2yC240/22040mm由形心計算公式，組合截面形心C的縱坐標為88圖所示為T字形截面，求截面對形心軸zC的慣性矩Iz。202020204060COyyCZZC（2）求截面對形心軸zC的慣性矩Iz根據(jù)組合公式有：由平移軸公式有：故有：8920204060COyyCZZC（2）求截面對形心軸zC一、慣性矩：(與轉動慣量類似） 是面積與它到軸的距離的平方之積。 dAxyyxr二、極慣性矩： 是面積對極點的二次矩。2 慣性矩和平行移軸公式90一、慣性矩：(與轉動慣量類似）dAxyyxr二、極慣性矩：2一、平行移軸定理：（

17、與轉動慣量的平行移軸定理類似）以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖dAxyyxrabCxCyC平行軸定理91一、平行移軸定理：（與轉動慣量的平行移軸定理類似）以形心為原注意: C點必須為形心92注意: C點必須為形心92求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解 ：求解此題有兩種方法： 一是按定義直接積分；B 建立形心坐標如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。AdxyO93求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解 ：求解此題有兩種方法：B 1.彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮 與4. 8 彎曲正應力強度條件MIZ941.彎矩最大的截面上2.離

18、中性軸最遠處4.脆性材料抗拉和抗壓長為2.5m的工字鋼外伸梁，如圖示，其外伸部分為0.5m，梁上承受均布荷載，q=30kN/m，試選擇工字鋼型號。已知工字鋼抗彎強度=215MPa。kNkNm查表N0 12.6工字鋼 WZ=77.5cm395長為2.5m的工字鋼外伸梁，如圖示，其外伸部分為0.5m，梁已知：T形截面鑄鐵梁，st= 30 MPa，sc=160 MPa。Iz=763cm4, 且 |y1|=52mm。解：求：校核梁的強度。 (1) 求彎矩圖 支反力 作出彎矩圖96已知：T形截面鑄解：求：校核梁的強度。 (1) 求彎矩圖 支(1) 求彎矩圖 支反力 作出彎矩圖最大正彎矩為:最大負彎矩為:

19、(2) 確定危險截面 B截面 C截面97(1) 求彎矩圖 支反力 作出彎矩圖最大正彎矩為:最大負彎矩(2) 確定危險截面 B截面 C截面最大正彎矩為:最大負彎矩為:(3) 強度校核 B截面M98(2) 確定危險截面 B截面 C截面最大正彎矩為:最大負彎(3) 強度校核 B截面M C截面顯然， 2c 1cM 結論滿足強度要求。99(3) 強度校核 B截面M C截面顯然， 2c 1cM梁的強度條件 強度條件彎曲時橫截面上正應力和切應力的分布為：正應力最大處，切應力為零，是單向拉壓狀態(tài)；切應力最大處，正應力為零，是純剪切狀態(tài)。100梁的強度條件 強度條件彎曲時橫截面上正應力和切應力的分布為4. 9

20、提高梁的彎曲強度的措施彎曲正應力是控制梁的強度的主要因素。彎曲正應力強度為：1 減小最大彎矩從上式可知，要提高梁的彎曲強度，應減小最大彎矩Mmax和提高抗彎截面系數(shù)W。(1) 合理布置支座的位置1014. 9 提高梁的彎曲強度的措施彎曲正應力是控制梁的強度1 減小最大彎矩(1) 合理布置支座的位置1021 減小最大彎矩(1) 合理布置支座的位置102 工程例子(2) 合理布置載荷103 工程例子(2) 合理布置載荷103(2) 合理布置載荷104(2) 合理布置載荷1042 提高抗彎截面系數(shù)在截面積A相同的條件下，提高抗彎截面系數(shù)。 矩形截面梁的放置 幾種常用截面的比較用比值來衡量1052 提高抗彎截面系數(shù)在截面積A相同的條件下，提高抗彎截面系 幾種常用截面的比較用比值來衡量可看出：材料遠離中性軸的截面(環(huán)形、槽形、工字形等)比較經(jīng)濟合理。106 幾種常用截面的比較用比值來衡量可看出：材料遠離中性軸的截面可看出：材料遠離中性軸的截面(環(huán)形、槽形、工字形等)比較經(jīng)濟合理。 根據(jù)材料特性選擇合理截面107可看出：材料遠離中性