通用版高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習(xí)第11單元《空間位置關(guān)系》學(xué)案(含詳解)

1、PAGE PAGE 60第十一單元 空間位置關(guān)系教材復(fù)習(xí)課“空間位置關(guān)系”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò)4個(gè)公理過(guò)雙基1平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線2平行公理公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行eq avs4al(小題速通)1以下四個(gè)命題中，不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線

2、；若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3解析：選B假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以正確從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形2下列命題中，真命題是()A空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面B空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形D和同一直線都相

3、交的三條平行線在同一平面內(nèi)解析：選DA是假命題，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)三點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面；B不正確，兩兩相交的三條直線不一定共面；C不正確，兩組對(duì)邊相等的四邊形可能是空間四邊形；D正確，故選D.3三個(gè)不同的平面可能把空間分成_部分(寫出所有可能的情況)解析：如圖(1)，可分成四部分(互相平行)；如圖(2)(3)，可分成六部分(兩種情況)；如圖(4)，可分成七部分；如圖(5)，可分成八部分答案：4,6,7,8清易錯(cuò)1三點(diǎn)不一定確定一個(gè)平面當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面2判斷由所給元素(點(diǎn)或直線)確定平面時(shí)，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，如不具備，則一定不能確定一個(gè)平面1如圖是正方體或四面

4、體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()解析：選DA，B，C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面2過(guò)同一點(diǎn)的4條直線中，任意3條都不在同一平面內(nèi)，則這4條直線確定平面的個(gè)數(shù)是_解析：設(shè)四條直線為a，b，c，d，則這四條直線中每?jī)蓷l都確定一個(gè)平面，因此，a與b，a與c，a與d，b與c，b與d，c與d都分別確定一個(gè)平面，共6個(gè)平面答案：6空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系過(guò)雙基1空間直線間的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系eq blcrc (avs4alco1(共面直線blcrc (avs4alco1(平行,相交),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi))(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a

5、，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2).(3)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況eq avs4al(小題速通)1若空間三條直線a，b，c滿足ab，bc，則直線a與c()A一定平行B一定相交C一定是異面直線D平行、相交或異面都有可能解析：選D當(dāng)a，b，c共面時(shí)，ac；當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，

6、a與c可能異面也可能相交2若平面上存在不同的三點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，則平面與平面的位置關(guān)系為()A平行 B相交C平行或重合 D平行或相交解析：選D當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，平面上存在無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，滿足題意；當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，可以從交線的兩側(cè)去找三個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等且不為零故選D.3在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MNA30 B45C60 D90解析：選C連接AD1，則AD1與MN平行所以D1AC為異面直線AC和MN所成的角的平面角因?yàn)镈1AC是正三角形，所以D4在正四面體ABCD中，M，N分別是BC和DA的中點(diǎn)，則異

7、面直線MN和CD所成的角為_(kāi)解析：因?yàn)锳BCD是正四面體，所以ABCD.取AC的中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ENM的大小為異面直線MN和CD所成角的大小因?yàn)镸ENE，且MENE，所以ENMeq f(,4).答案：eq f(,4)清易錯(cuò)1異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交2直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”1.如圖所示，在三棱錐PABC的六條棱所在的直線中，異面直線共有()A2對(duì) B3對(duì)C4對(duì) D6對(duì)解析：選B依題意，異面直線有AP與BC，PB與AC，CP與AB，共3對(duì)2若直線ab，且直線

8、a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是()AbBbCb或b Db與相交或b或b解析：選Db與相交或b或b都可以平行關(guān)系4定理過(guò)雙基1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)la，a，l，l性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”)l，l，b，lb2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性

9、質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，a，b，abeq avs4al(小題速通)1過(guò)平面外的直線l，作一組平面與相交，如果所得的交線分別為a，b，c，那么這些交線的位置關(guān)系為()A都平行B都相交且一定交于同一點(diǎn)C都相交但不一定交于同一點(diǎn)D都平行或交于同一點(diǎn)解析：選D若l平面，則交線都平行；若l平面A，則交線都交于同一點(diǎn)A.2下列說(shuō)法中正確的是()一條直線如果和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行；一條直線和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線無(wú)公共點(diǎn)；過(guò)直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面和已知直線平行ABC D解析：選D由線面平行的性質(zhì)定理知正確；由直線與平面

10、平行的定義知正確；錯(cuò)誤，因?yàn)榻?jīng)過(guò)一點(diǎn)可作一直線與已知直線平行，而經(jīng)過(guò)這條直線可作無(wú)數(shù)個(gè)平面3已知直線a平面，P，那么過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線()A只有一點(diǎn)，不在平面內(nèi)B有無(wú)數(shù)條，不一定在平面內(nèi)C只有一條，在平面內(nèi)D有無(wú)數(shù)條，一定在平面內(nèi)解析：選C由線面平行的性質(zhì)可知C正確4設(shè)，為三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題，n；m，n；n，m.可以填入的條件有_解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)n，m時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，正確答案：或清易錯(cuò)1直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這

11、一關(guān)鍵條件2面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條直線相交”這一條件，如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，易誤認(rèn)為這兩個(gè)平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交1已知直線a與直線b平行，直線a與平面平行，則直線b與的關(guān)系為()A平行 B相交C直線b在平面內(nèi) D平行或直線b在平面內(nèi)解析：選D依題意，直線a必與平面內(nèi)的某直線平行，又ab，因此直線b與平面的位置關(guān)系是平行或直線b在平面內(nèi)2設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m，“m ”是“ ”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選B當(dāng)m時(shí)，過(guò)m的平面與可能平行也可能相交，因而m / ；當(dāng)時(shí)，內(nèi)任一直線與平行，因?yàn)閙，所以m.

12、綜上知，“m ”是“ ”的必要不充分條件.垂直關(guān)系4定理過(guò)雙基1直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq blc rc(avs4alco1(a，b,abO,la,lb) l性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq blc rc(avs4alco1(a,b)ab2平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq blc rc(avs4alco1(l,l)性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq blc rc(

13、avs4alco1(,l,a,la)leq avs4al(小題速通)1.如圖，在三棱錐PABC中，不能證明APBC的條件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析：選BA中，因?yàn)锳PPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正確；C中，因?yàn)槠矫鍮PC平面APC，BCPC，所以BC平面APC，又AP平面APC，所以APBC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出APBC，故選B.2設(shè)，為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m的一個(gè)充分條件為()A，l，ml Bm，C，m Dn，n，m解析

14、：選D若，l，ml，則m與的位置不確定；若m，則，可能平行，此時(shí)m；若，m，則，不一定平行，所以m不一定與垂直；若n，n，則，又m，則m.故選D.3.如圖，BAC90，PC平面ABC，則在ABC和PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有_；與AP垂直的直線有_解析：PC平面ABC，PC垂直于直線AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB4已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有_對(duì)解析：由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面P

15、DC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB，平面PAB平面PAD, 平面PBC平面PDC，共7對(duì)答案：75.如圖所示，在四棱錐P ABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：連接AC，BD，則ACBD.PA底面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí)，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)清易錯(cuò)1證明線面垂直時(shí)，易忽視“面內(nèi)兩條直線相交”這一條件2面面垂直的判定定理中，直線在面

16、內(nèi)且垂直于另一平面易忽視3面面垂直的性質(zhì)定理在使用時(shí)易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤1已知m，n為不同的直線，為不同的平面，則下列說(shuō)法中正確的是()Am，nmnBm，nmnCm，n，mnDn，n解析：選D對(duì)于選項(xiàng)A，由直線與平面平行的判定定理可知，還需要滿足n在平面外；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知，要使直線垂直平面，直線應(yīng)該垂直平面內(nèi)的兩條相交直線；對(duì)于選項(xiàng)C，這兩個(gè)平面也有可能相交；由平面與平面垂直的判定可知，選項(xiàng)D成立故選D.2下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面

17、平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析：選DA項(xiàng)顯然正確根據(jù)面面垂直的判定，B項(xiàng)正確對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)m，n，在平面內(nèi)取一點(diǎn)P不在l上，過(guò)P作直線a，b，使am，bn.，am，a，al，同理有bl，又abP，a，b，l，故選項(xiàng)C正確對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)l，則l，但l，故在內(nèi)存在直線不垂直于平面，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤3若不同的兩點(diǎn)A，B到平面的距離相等，則下列命題中一定正確的是()AA，B兩點(diǎn)在平面的同側(cè)BA，B兩點(diǎn)在平面的異側(cè)C過(guò)A，B兩點(diǎn)必有垂直于平面的平面D過(guò)A，B兩點(diǎn)必有平行于平面的平面解析：選C由題意得A，B兩點(diǎn)在平面的同側(cè)或異側(cè)，排除A、B；當(dāng)A，B兩點(diǎn)在平面

18、的異側(cè)時(shí)，過(guò)A，B兩點(diǎn)不存在平行于平面的平面，排除D.故選C.一、選擇題1設(shè)三條不同的直線l1，l2，l3，滿足l1l3，l2l3，則l1與l2()A是異面直線B是相交直線C是平行直線D可能相交、平行或異面解析：選D如圖所示，在正方體ABCDEFGH中，ABAD，AEAD，則ABAEA；ABAE，AEDC，則ABDC；ABAE，F(xiàn)HAE，則AB與FH是異面直線，故選D.2.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)則異面直線EF與GH所成的角等于()A45B60C90 D 120解析：選B如圖所示，連接BA1，BC1，A1C1，易知三

19、角形BA1C1是等邊三角形，因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則EFBA1，GHBC1，所以A1BC160是異面直線EF與GH所成的角3已知空間兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，n，則mnD若m，n，則mn解析：選D若m，n，則m與n平行或異面，即A錯(cuò)誤；若m，n，則m與n相交或平行或異面，即B錯(cuò)誤；若m，n，則m與n相交、平行或異面，即C錯(cuò)誤，故選D.4.(廣東模擬)如圖是一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：BE與C

20、F異面；BE與AF異面；EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A1B2C3 D4解析：選B畫出該幾何體，如圖，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，所以EFAD，所以EFBC，BE與CF是共面直線，故不正確；BE與AF滿足異面直線的定義，故正確；由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，可知EFAD，所以EFBC，因?yàn)镋F平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，故正確；因?yàn)锽E與PA的關(guān)系不能確定，所以不能判定平面BCE平面PAD，故不正確故選B.5.如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出下列五個(gè)結(jié)論：PD平面AMC；OM平面PCD

21、；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正確的個(gè)數(shù)有()A1 B2C3 D4解析：選C因?yàn)榫匦蜛BCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)在PBD中，M是PB的中點(diǎn)，所以O(shè)M是PBD的中位線，OMPD，則PD平面AMC，OM平面PCD，且OM平面PDA.因?yàn)镸PB，所以O(shè)M與平面PBA、平面PBC相交6(余姚模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()AMN與CC1垂直BMN與AC垂直CMN與BD平行DMN與A1B1平行解析：選D如圖，連接C1D，在C1DB中，MNBD，故C正確；CC1平面ABCD，BD平面A

22、BCD，CC1BD，MN與CC1垂直，故A正確；ACBD，MNBD，MN與AC垂直，故B正確，故選D.7.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EFeq f(1,2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱錐ABEF的體積為定值DAEF的面積與BEF的面積相等解析：選D因?yàn)锳C平面BDD1B1，BE平面BDD1B1，所以ACBE，A項(xiàng)正確；根據(jù)線面平行的判定定理，知B項(xiàng)正確；因?yàn)槿忮F的底面BEF的面積是定值，且點(diǎn)A到平面BDD1B1的距離是定值eq f(r(2),2)，所以其體積為定值，C項(xiàng)正確；很顯然，點(diǎn)A和點(diǎn)B到EF的距離不

23、相等，故D項(xiàng)錯(cuò)誤8(福州質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與直線A1B1，EF，BC都相交的直線()A不存在 B有且只有兩條C有且只有三條 D有無(wú)數(shù)條解析：選D在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1B1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與BC有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M的位置不同時(shí)確定不同的平面，從而與BC有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與A1B1，EF，BC分別有交點(diǎn)P，M，N，如圖，故有無(wú)數(shù)條直線與直線A1B1，EF，BC都相交二、填空題9如圖所示，平面，兩兩相交，a，b，c為三條交線，且ab，則a，b，c的位置關(guān)系是_解析：ab，a，b，b.又b，c，bc.abc.

24、答案：abc10(天津六校聯(lián)考)設(shè)a，b為不重合的兩條直線，為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：若a且b，則ab；若a且a，則；若，則一定存在平面，使得，；若，則一定存在直線l，使得l，l.其中真命題的序號(hào)是_解析：中a與b也可能相交或異面，故不正確垂直于同一直線的兩平面平行，正確中存在，使得與，都垂直，正確中只需直線l且l就可以，正確答案：11如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線D1E和A1F所成角的余弦值等于_解析：取BB1的中點(diǎn)G，連接FG，A1G，易得A1GD1E，則FA1G是異面直線D1E和A1F所成角或補(bǔ)角，易得A1FA

25、1Geq r(5)，F(xiàn)Geq r(6)，在三角形FA1G中，利用余弦定理可得cosFA1Geq f(556,2r(5)r(5)eq f(2,5).答案：eq f(2,5)12.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，AA12，ABBC1，ABC90，外接球的球心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)則有以下結(jié)論：AC與C1E是異面直線；A1E一定不垂直于AC1；三棱錐EAA1O的體積為定值；AEEC1的最小值為2eq r(2).其中正確的個(gè)數(shù)是_解析：由異面直線的定義可知，顯然正確；當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，A1EAC1，故錯(cuò)誤；由題意可知，三棱柱的外接球的球心O是正方形AA1C1C的中心

26、，則三角形AA1O的面積為定值，且E到平面AA1O的距離即為BB1與平面AA1C1C之間的距離，所以三棱錐EAA1O的體積為定值，故正確；將側(cè)面AA1B1B與側(cè)面BB1C1C展開(kāi)成矩形，則矩形的對(duì)角線AC1的長(zhǎng)即為AEEC1的最小值為2eq r(2)，故正確答案：3三、解答題13.如圖所示，在三棱錐P ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點(diǎn)已知BACeq f(,2)，AB2，AC2eq r(3)，PA2.求：(1)三棱錐P ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解：(1)因?yàn)镾ABCeq f(1,2)22eq r(3)2eq r(3)，所以三棱錐P ABC的體積Veq f(1,

27、3)SABCPAeq f(1,3)2eq r(3)2eq f(4r(3),3).(2)如圖所示，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則DEBC，所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中，DE2，AEeq r(2)，AD2，則cosADEeq f(DE2AD2AE2,2DEAD)eq f(22222,222)eq f(3,4).即異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq f(3,4).14如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點(diǎn)(1)證明：直線EE1平面FCC1；(2)證

28、明：平面D1AC平面BB1C1C.證明：(1)F是AB的中點(diǎn)，AB CD，AB4，BCCD2，AF綊CD，四邊形AFCD為平行四邊形，CFAD.又ABCDA1B1C1D1為直四棱柱，C1CD1D.而FCC1CC，D1DDAD，平面ADD1A1平面FCC1.EE1平面ADD1A1，EE1平面FCC1.(2)在直四棱柱中，CC1平面ABCD，AC平面ABCD，CC1AC，底面ABCD為等腰梯形，AB4，BC2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，CFADBF2，BCF為正三角形，BCFCFB60，F(xiàn)CAFAC30，ACBC.又BC與CC1都在平面BB1C1C內(nèi)且交于點(diǎn)C，AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，平

29、面D1AC平面BB1C1C.高考研究課(一) 平行問(wèn)題3角度線線、線面、面面全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度線面關(guān)系基本問(wèn)題5年3考空間線面平行、垂直關(guān)系判斷線面平行的證明5年6考證明線面平行面面平行的證明未考查平行關(guān)系的基本問(wèn)題典例(1)(成都一診)已知三個(gè)不同的平面，三條不同的直線a，b，c，則下列命題正確的是()A若，則B若ac，bc，則abC若a，b，則abD若a，b在內(nèi)的射影相互平行，則ab(2)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面，則“l(fā)m”是“l(fā)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析(1)若，則與可能垂直，排除A；若ac，bc，則a與

30、b可能異面，排除B；若a，b在內(nèi)的射影相互平行，則a與b平行或異面，排除D；垂直于同一平面的兩直線平行，C正確故選C.(2)m，若l，則必有l(wèi)m，即llm.但lm/ l，lm時(shí)，l可能在內(nèi)故“l(fā)m”是“l(fā)”的必要不充分條件答案(1)C(2)B方法技巧解決平行關(guān)系基本問(wèn)題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷(3)會(huì)舉反例或用反證法推斷命題是否正確即時(shí)演練1在正方體ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是_(填序號(hào))AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.解析：

31、如圖，因?yàn)锳B綊C1D1，所以四邊形AD1C1B為平行四邊形故AD1BC1，從而正確；易證BDB1D1，AB1DC1，又AB1B1D1B1，BDDC1D，故平面AB1D1平面BDC1，從而正確；由圖易知AD1與DC1異面，故錯(cuò)誤；因?yàn)锳D1BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1平面BDC1，故正確答案：2如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)解析：平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，EFHG.同理EHFG，四邊形EFGH的形狀是平行四邊形答案：平行四邊形直線與平面平行的判定與性

32、質(zhì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)是高考的考查重點(diǎn).多考查直線與平面平行的判定.利用線面平行的性質(zhì)判定線線平行及探索存在性問(wèn)題.常見(jiàn)的命題角度有：1直線與平面平行的判定；2直線與平面平行的性質(zhì)；3與平行相關(guān)的探索性問(wèn)題.角度一：直線與平面平行的判定1.如圖，空間幾何體ABCDFE中，四邊形ADFE是梯形，且EFAD，P，Q分別為棱BE，DF的中點(diǎn)求證：PQ平面ABCD.證明：法一：如圖，取AE的中點(diǎn)G，連接PG，QG.在ABE中，PBPE，AGGE，所以PGBA，又PG平面ABCD，BA平面ABCD，所以PG平面ABCD.在梯形ADFE中，DQQF，AGGE，所以GQAD，又GQ平面ABCD，AD平

33、面ABCD，所以GQ平面ABCD.因?yàn)镻GGQG，PG平面PQG，GQ平面PQG，所以平面PQG平面ABCD.又PQ平面PQG，所以PQ平面ABCD.法二：如圖，連接EQ并延長(zhǎng)，與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連接BH.因?yàn)镋FDH，所以EFQHDQ，又FQQD，EQFDQH，所以EFQHDQ，所以EQQH.在BEH中，BPPE，EQQH，所以PQBH.又PQ平面ABCD，BH平面ABCD，所以PQ平面ABCD.方法技巧證明直線與平面平行的3種方法定義法一般用反證法判定定理法關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程性質(zhì)判定法即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直

34、線都平行于另一個(gè)平面角度二：直線與平面平行的性質(zhì)2.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：APGH.證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，APMO.又MO平面BMD，PA平面BMD，AP平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，且AP平面PAHG，APGH.方法技巧判定線面平行的4種方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面

35、平行的性質(zhì)(，a，a，aa)角度三：與平行相關(guān)的探索性問(wèn)題3.在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和四邊形ACC1A1都為矩形設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論證明：存在點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，使直線DE平面A1MC，證明如下：如圖，取線段AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點(diǎn)由已知，得O為AC1的中點(diǎn)連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線，所以MD綊eq f(1,2)AC，OE綊eq f(1,2)AC，因此MD綊OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE

36、MO.因?yàn)橹本€DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直線DE平面A1MC.即線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn))，使直線DE平面A1MC.方法技巧解決探究性問(wèn)題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在而對(duì)于探求點(diǎn)的問(wèn)題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明面面平行的判定與性質(zhì)典例如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn)(1)求

37、證：平面BDGH平面AEF；(2)求多面體ABCDEF的體積解(1)證明：在CEF中，因?yàn)镚，H分別是CE，CF的中點(diǎn)，所以GHEF.又因?yàn)镚H平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OH，在ACF中，因?yàn)镺，H分別是AC，CF的中點(diǎn)，所以O(shè)HAF.又因?yàn)镺H平面AEF，AF平面AEF，所以O(shè)H平面AEF.又因?yàn)镺HGHH，OH平面BDGH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(2)因?yàn)锳C平面BDEF，又易知AOeq r(2)，S矩形BDEF32eq r(2)6eq r(2)，所以四棱錐ABDEF的體積V1eq f(1,3)AOS矩形BDEF4.

38、同理可得四棱錐CBDEF的體積V24.所以多面體ABCDEF的體積VV1V28.方法技巧判定面面平行的4種方法(1)面面平行的定義，即判斷兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩平面平行；(4)平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行即時(shí)演練1已知平面平面，P是，外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線m與，分別交于點(diǎn)A，C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與，分別交于點(diǎn)B，D，且PA6，AC9，PD8，則BD的長(zhǎng)為()A16B24或eq f(24,5)C14 D20解析：選B設(shè)BDx，由ABCDPABPCDeq f(PB,PA)eq f(PD,PC).當(dāng)點(diǎn)P在兩平面之間時(shí)

39、，如圖1，eq f(x8,6)eq f(8,96)，得x24；當(dāng)點(diǎn)P在兩平面外側(cè)時(shí)，如圖2，eq f(8x,6)eq f(8,96)，得xeq f(24,5).2.如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)(1)求證：BE平面DMF；(2)求證：平面BDE平面MNG.證明：(1)連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M為

40、AB的中點(diǎn)，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DEBDD，DE平面BDE，BD平面BDE，所以平面BDE平面MNG.1(全國(guó)卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()解析：選A法一：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳BCD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQCD，所以ABMQ .又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C、D中均有AB平面MNQ.故選A.法二：對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)正方體的底面對(duì)角線的交點(diǎn)為O(如圖所示

41、)，連接OQ，則OQAB.因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行，根據(jù)直線與平面平行的判定定理及三角形的中位線性質(zhì)知，選項(xiàng)B、C、D中AB平面MNQ.故選A.2(全國(guó)卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(15),5)C.eq f(r(10),5) D.eq f(r(3),3)解析：選C法一：如圖所示，將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1BC1，所以B1AD1或其補(bǔ)角為

42、異面直線AB1與BC1所成的角因?yàn)锳BC120，AB2，BCCC11，所以AB1eq r(5)，AD1eq r(2).在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1eq r(1222212cos 60)eq r(3)，所以cosB1AD1eq f(523,2r(5)r(2)eq f(r(10),5).法二：如圖，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，連接MN，NP，MP，則MNAB1，NPBC1，所以PNM或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角易知MNeq f(1,2)AB1eq f(r(5),2)，NPeq f(1,2)BC1eq f(r(2),2).取

43、BC的中點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，可知PQM為直角三角形，PQ1，MQeq f(1,2)AC.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC41221eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)7，所以ACeq r(7)，MQeq f(r(7),2).在MQP中，MPeq r(MQ2PQ2)eq f(r(11),2)，則在PMN中，cosPNMeq f(MN2NP2MP2,2MNNP)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(11),2)2,2f(r(5),2

44、)f(r(2),2)eq f(r(10),5)，所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為eq f(r(10),5).3(全國(guó)卷)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCeq f(1,2)AD，BADABC90.(1)證明：直線BC平面PAD；(2)若PCD的面積為2eq r(7)，求四棱錐PABCD的體積解：(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由ABBCeq f(1,2)AD及BCAD，ABC90，得四邊形ABCM為正方形，則CMAD

45、.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM.設(shè)BCx，則CMx，CDeq r(2)x，PMeq r(3)x，PCPD2x.取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PNCD，所以PNeq f(r(14),2)x.因?yàn)镻CD的面積為2eq r(7)，所以eq f(1,2)eq r(2)xeq f(r(14),2)x2eq r(7)，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2eq r(3).所以四棱錐PABCD的體積Veq f(1,3)eq f(224,2)2eq r(3)4eq r(3).4(全國(guó)

46、卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積解：(1)證明：由已知得AMeq f(2,3)AD2.取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TNBC，TNeq f(1,2)BC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)镸N平面PAB，AT平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為eq f(1,2)PA.取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC3得AEBC

47、，AEeq r(AB2BE2)eq r(5).由AMBC得M到BC的距離為eq r(5)，故SBCMeq f(1,2)4eq r(5)2eq r(5).所以四面體NBCM的體積VNBCMeq f(1,3)SBCMeq f(PA,2)eq f(4r(5),3).5(2014全國(guó)卷)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn) (1)證明：PB平面AEC；(2)設(shè)AP1，ADeq r(3)，三棱錐PABD的體積Veq f(r(3),4)，求A到平面PBC的距離解：(1)證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO.因?yàn)槠矫鍭BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為PD的中

48、點(diǎn)，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)由Veq f(1,6)PAABADeq f(r(3),6)AB.Veq f(r(3),4)，可得ABeq f(3,2).作AHPB交PB于H.由題設(shè)知BC平面PAB，所以BCAH，又BCPBB，故AH平面PBC.又AHeq f(PAAB,PB)eq f(3r(13),13)，所以A到平面PBC的距離為eq f(3r(13),13).一、選擇題1(惠州模擬)設(shè)直線l，m，平面，則下列條件能推出的是()Al，m，且l，mBl，m，且lmCl，m，且lmDl，m，且lm解析：選C借助正方體模型進(jìn)行判斷易排除選項(xiàng)A、B、D，

49、故選C.2.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，下列直線與平面ADC平行的是()ABCBABCAB DBB解析：選B連接AB，ABCD，CD平面ADC，AB平面ADC.3設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面內(nèi)的兩條相交直線，則的一個(gè)充分不必要條件是()Aml1且nl2 Bm且nl2Cm且n Dm且l1解析：選A由ml1，m，l1，得l1，同理l2，又l1，l2相交，所以，反之不成立，所以ml1且nl2是的一個(gè)充分不必要條件4(福州模擬)已知直線a，b異面，給出以下命題：一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在無(wú)數(shù)

50、個(gè)平行于a的平面與b交于一定點(diǎn)則其中命題正確的是()A BC D解析：選D對(duì)于，若存在平面使得b，則有ba，而直線a，b未必垂直，因此不正確；對(duì)于，注意到過(guò)直線a，b外一點(diǎn)M分別引直線a，b的平行線a1，b1，顯然由直線a1，b1可確定平面，此時(shí)平面與直線a，b均平行，因此正確；對(duì)于，注意到過(guò)直線b上的一點(diǎn)B作直線a2與直線a平行，顯然由直線b與a2可確定平面，此時(shí)平面與直線a平行，且b，因此正確；對(duì)于，在直線b上取一定點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線c與直線a平行，經(jīng)過(guò)直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行，且與直線b相交于一定點(diǎn)N，因此正確綜上所述，正確5如

51、圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCDA1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)命題：沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形；水面EFGH所在四邊形的面積為定值；棱A1D1始終與水面所在平面平行；當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BEBF是定值其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：選C由題圖，顯然是正確的，是錯(cuò)誤的；對(duì)于，A1D1BC，BCFG，A1D1FG且A1D1平面EFGH，A1D1平面EFGH(水面)是正確的；對(duì)于，水是定量的(定體積V)，SBEFBCV，即eq f(1,2)BEBFBCV.BEBFeq f(2V,BC)(定值)，即是正確的，

52、故選C.6(合肥模擬)在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AEEBCFFB12，則對(duì)角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是()A平行 B相交C在平面內(nèi) D不能確定解析：選A如圖，由eq f(AE,EB)eq f(CF,FB)得ACEF.又因?yàn)镋F平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF.二、填空題7有下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是_若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；若平面與平面平行，直線l在平面內(nèi)，則l；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)解析：若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l或l與相交

53、，故錯(cuò)誤；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線平行或異面，故錯(cuò)誤；由面面平行的定義可知，正確；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)，故正確答案：8在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件_時(shí)，有平面D1BQ平面PAO.解析：如圖所示，假設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QBPA.連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.故Q滿足條件Q為CC

54、1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ平面PAO.答案：Q為CC1的中點(diǎn)9如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱VC，VB上的點(diǎn)，且滿足VC3EC，AF平面BDE，則eq f(VB,FB)_.解析：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO，取VE的中點(diǎn)M，連接AM，MF，由VC3ECVMMEEC，又AOCOAMEOAM平面BDE，又由題意知AF平面BDE，且AFAMA，平面AMF平面BDEMF平面BDEMFBEVFFBeq f(VB,FB)2.答案：2三、解答題10.如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABBC，D為AC的中點(diǎn)，AA1AB2.(1)求證：AB1

55、平面BC1D；(2)設(shè)BC3，求四棱錐B AA1C1D的體積解：(1)證明：連接B1C，設(shè)B1C與BC1相交于點(diǎn)O，連接OD.四邊形BCC1B1是平行四邊形，點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，OD為AB1C的中位線，ODAB1.OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D.(2)AA1平面ABC，AA1平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1C.平面ABC平面AA1C1CAC，作BEAC，垂足為E，則BE平面AA1C1C.ABAA12，BC3，ABBC，在RtABC中，ACeq r(AB2BC2)eq r(49)eq r(13)，BEeq f(ABBC,AC)eq f(6,r(1

56、3)，四棱錐B AA1C1D的體積Veq f(1,3)eq f(1,2)(A1C1AD)AA1BEeq f(1,6)eq f(3,2)eq r(13)2eq f(6,r(13)3.11如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EFAB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC.若BE1，在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P，且APPD，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由解：AD上存在一點(diǎn)P，使得CP平面ABEF，此時(shí)eq f(3,2).理由如下：當(dāng)eq f(3,2)時(shí)，eq o(AP,sup7()eq f(3,

57、2)eq o(PD,sup7()，可知eq f(AP,AD)eq f(3,5)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作MPFD交AF于點(diǎn)M，連接EM，PC，則有eq f(MP,FD)eq f(AP,AD)eq f(3,5)，又BE1，可得FD5，故MP3，又EC3，MPFDEC，所以MP綊EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，所以CPME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，所以CP平面ABEF.12.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2，E為PA的中點(diǎn)，BAD60.(1)求證：PC平面EBD；(2)求三棱錐PEDC的體積解：(1)證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE.由題意

58、知，底面ABCD是菱形，則O為AC的中點(diǎn)，又E為AP的中點(diǎn)，所以O(shè)EPC.因?yàn)镺E平面EBD，PC平面EBD，所以PC平面EBD.(2)SPCEeq f(1,2)SPACeq f(1,2)eq f(1,2)2eq r(3)2eq r(3).因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD.又PAACA，所以DO平面PAC，即DO是三棱錐DPCE的高，且DO1，則VPEDCVDPCEeq f(1,3)eq r(3)1eq f(r(3),3).如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，BCAD，ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)

59、分別為AD，A1D1的中點(diǎn)(1)求證：DD1平面ABCD；(2)求證：平面A1BE平面ADD1A1；(3)若CF平面A1BE，求棱BC的長(zhǎng)度解：(1)證明：因?yàn)閭?cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，所以DD1AD，且DD1CD.因?yàn)锳DCDD，所以DD1平面ABCD.(2)證明：因?yàn)锳BD是正三角形，且E為AD中點(diǎn)，所以BEAD.因?yàn)镈D1平面ABCD，而B(niǎo)E平面ABCD，所以BEDD1.因?yàn)锳DDD1D，所以BE平面ADD1A1.因?yàn)锽E平面A1BE，所以平面A1BE平面ADD1A1.(3)因?yàn)锽CAD，而F為A1D1的中點(diǎn)，所以BCA1F.所以B，C，F(xiàn)，A1四點(diǎn)共面因?yàn)镃F平面A1

60、BE，而平面BCFA1平面A1BEA1B，所以CFA1B.所以四邊形BCFA1為平行四邊形所以BCA1Feq f(1,2)AD1.高考研究課(二)垂直問(wèn)題3角度線線、線面、面面全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度垂直關(guān)系的基本問(wèn)題5年3考垂直、平行關(guān)系的基本問(wèn)題判斷線面垂直的證明5年3考證明線線垂直、線面垂直面面垂直的證明5年3考證明面面垂直垂直關(guān)系的基本問(wèn)題典例(1)已知兩條不重合的直線m，n和兩個(gè)不重合的平面，若m，n.則下列四個(gè)命題：若，則mn；若mn，則；若mn，則；若，則mn.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3(2)已知正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段