2022年秋高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積第2課時球的表面積和體積課后提能訓(xùn)練新人教A版必修第二冊

1、PAGE PAGE 6第八章 8.3 第2課時A級基礎(chǔ)過關(guān)練1(2021年長春月考)高為1的圓錐內(nèi)接于半徑為1的球，則該圓錐的體積為()Aeq f(,6) Beq f(,3) Ceq f(2,3) D【答案】B【解析】根據(jù)題意，高為1的圓錐內(nèi)接于半徑為1的球，則圓錐底面圓的半徑r1，則該圓錐的體積為eq f(1,3)r2heq f(,3)，故選B.2已知球的表面積為16，則它的內(nèi)接正方體的表面積S的值是()A4B32C24D12【答案】B【解析】設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為a，由題意知球的半徑為2，則3a216，所以a2eq f(16,3)，正方體的表面積S6a26eq f(16,3)32.故選B

2、.3用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為，則球的表面積為()Aeq f(8,3)Beq f(32,3)C8Deq f(8r(2),3)【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為eq r(R21)，截面圓的面積為Seq blc(rc)(avs4alco1(r(R21)eq sup12(2)(R21).R22.球的表面積S4R28.4把一個鐵制的底面半徑為r，高為h的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球，則這個鐵球的半徑為()Aeq f(rr(h),2)Beq f(r2h,4)Ceq r(3,f(r2h,4)Deq f(r2h,2)【答案】C【解析】設(shè)鐵球的半徑為R，因為eq f(1,3

3、)r2heq f(4,3)R3，所以Req r(3,f(r2h,4).故選C.5(2021年成都模擬)將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A2 B3 C4 D6【答案】B【解析】由題意知，該幾何體為半球，表面積為大圓面積加上半個球面積，S12eq f(1,2)4123.6若一個球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為_【答案】3【解析】設(shè)此球的半徑為R，則4R2eq f(4,3)R3，R3.7已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為_【答案】16【解析】設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a.由Veq f(1,3)a2

4、ha26，得aeq r(6).由題意知球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為r，則(3r)2(eq r(3)2r2，解得r2，則S球4r216.8已知兩個正四棱錐有公共底面，且底面邊長為4，兩棱錐的所有頂點都在同一個球面上，若這兩個正四棱錐的體積之比為12，則該球的表面積為_【答案】36【解析】兩正四棱錐有公共底，且體積比為12，它們的高之比為12，設(shè)高分別為h，2h，球的半徑為R，則h2h3h2R，Req f(3,2)h.又底面邊長為4，R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)h)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(h,2)eq sup12(2)

5、(2eq r(2)2，解得h2，R3，S球4R236.9某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r1，l3，試求該組合體的表面積和體積解：該組合體的表面積S4r22rl41221310.該組合體的體積Veq f(4,3)r3r2leq f(4,3)13123eq f(13,3).10已知過球面上A，B，C三點的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AB18，BC24，AC30，求球的表面積和體積解：因為ABBCAC182430345，所以ABC是直角三角形，B90.又球心O到截面ABC的投影O為截面圓的圓心，也即是RtABC的外接圓的圓心，所以斜邊AC為截面圓O的直

6、徑(如圖所示)設(shè)OCr，OCR，則球半徑為R，截面圓半徑為r.在RtOCO中，由題設(shè)知sin OCOeq f(OO,OC)eq f(1,2)，所以O(shè)CO30，所以eq f(r,R)cos 30eq f(r(3),2)，即Req f(2,r(3)r，(*)又2rAC30r15，代入(*)得R10eq r(3).所以球的表面積為S4R24(10eq r(3)21 200.球的體積為Veq f(4,3)R3eq f(4,3)(10eq r(3)34 000eq r(3).B級能力提升練11已知長方體共頂點的三條棱長分別是3，4，x，且它的8個頂點都在同一個球面上若這個球的表面積為125，則x的值為(

7、)A5B6C8D10【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為r，則4r2125，r2eq f(125,4).又3242x2(2r)2，916x2125，x2100，即x10.故選D.12已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的表面積為()A153 B160 C169 D360【答案】C【解析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱補成長方體，其體對角線就是外接球的直徑，所以球O的半徑Req f(1,2)eq r(3242122)eq f(13,2)，所以球O的表面積S4eq blc(rc)(avs4alco1(f(13,2)e

8、q sup12(2)169，故選C.13如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積S1和球的表面積S2之比為()A43 B31 C32 D94【答案】C【解析】畫出軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為r，則ODr，PO2r，PDO90，CPB30.又PCB90，CBeq f(r(3),3)PCeq r(3)r，PB2eq r(3)r，圓錐的側(cè)面積S1eq r(3)r2eq r(3)r6r2，球的表面積S24r2，S1S232.14若等邊圓柱(軸截面是正方形)、球、正方體的體積相等，則它們的表面積的大小關(guān)系是()AS球S圓柱S正方體 BS正方體S球S圓柱CS圓柱S球S正方體 DS球S正

9、方體S圓柱【答案】A【解析】設(shè)等邊圓柱底面圓半徑為r，球半徑為R，正方體棱長為a，則r22req f(4,3)R3a3，eq blc(rc)(avs4alco1(f(R,r)eq sup12(3)eq f(3,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,r)eq sup12(3)2.S圓柱6r2，S球4R2，S正方體6a2，eq f(S球,S圓柱)eq f(4R2,6r2)eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(R,r)eq sup12(2)eq r(3,f(2,3)1，eq f(S正方體,S圓柱)eq f(6a2,6r2)eq f(1,)eq blc(rc

10、)(avs4alco1(f(a,r)eq sup12(2)eq r(3,f(4,)1.故選A.15在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是_【答案】eq f(9,2)【解析】當球的半徑最大時，球的體積最大在直三棱柱內(nèi)，當球和三個側(cè)面都相切時，因為ABBC，AB6，BC8，所以AC10，底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時球的半徑req f(6810,2)2，直徑為4側(cè)棱所以球的最大直徑為3，半徑為eq f(3,2)，此時體積Veq f(9,2).16(2021年沈陽月考)已知體積為eq r(3)的正三棱錐VABC的外接球的球心為O，滿足e

11、q o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，則該三棱錐外接球的體積為_【答案】eq f(16,3)【解析】由題意知，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(CO,sup6()，說明正三角形ABC的頂點在球O的大圓上設(shè)球的半徑為R，則該三棱錐的底面正三角形ABC的高為eq f(3R,2)，ABC的邊長為eq r(3)R，所以正三棱錐VABC的體積為eq f(1,3)eq f(r(3),4)(eq r(3)R)2Req r(3)，解得R34，則該三棱錐外接球的體積為eq f(4,3)R3eq f(16,3).17已知盛有水的圓柱形

12、容器的內(nèi)壁底面半徑為5 cm，兩個直徑為5 cm的玻璃小球都浸沒于水中若取出這兩個小球，則水面將下降多少厘米？解：設(shè)取出小球后，容器中的水面下降了h cm，兩個小球的體積為V球2eq blcrc(avs4alco1(f(4,3)blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)sup12(3)eq f(125,3)(cm3)該體積等于它們在容器中排開水的體積V52h，所以eq f(125,3)52h，解得heq f(5,3).故取出這兩個小球，水面將下降eq f(5,3) cm.18已知一倒置圓錐的母線長為10 cm，底面半徑為6 cm.(1)求該圓錐的高；(2)若有一球剛好放進該圓錐(球與圓錐

13、的底面相切)中，求這個球的半徑以及此時圓錐剩余空間的體積解：(1)設(shè)圓錐的高為h cm，底面半徑為R cm，母線長為l cm，則heq r(l2R2)eq r(10262)8，所以圓錐的高為8 cm.(2)球放入圓錐后的軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為r cm.易得OCDACO1，則eq f(OC,AC)eq f(OD,AO1)，即eq f(8r,10)eq f(r,6)，解得r3.圓錐剩余空間的體積為圓錐的體積減去球的體積，即V圓錐V球eq f(1,3)628eq f(4,3)33963660(cm3)，故此時圓錐剩余空間的體積為60 cm3.C級探索創(chuàng)新練19有三個球，第一個球可內(nèi)切于正方體，第二個球可與這個正方體的各條棱相切，第三