正太分布的幾個(gè)重要概念

1、5/5正太分布的幾個(gè)重要概念正太分布 1.正態(tài)分布:若已知的密度函數(shù)（頻率曲線）為正態(tài)函數(shù)（曲線）則稱已知曲線服從正態(tài)分布，記號(hào) .其中、2 是兩個(gè)不確定常數(shù)，是正態(tài)分布的參數(shù),不同的、不同的2對(duì)應(yīng)不同的正態(tài)分布。 正態(tài)曲線呈鐘型,兩頭低,中間高,左右對(duì)稱,曲線與橫軸間的面積總等于1.2正態(tài)分布的特征:服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由、完全決定. （1）是正態(tài)分布的位置參數(shù),描述正態(tài)分布的集中趨勢(shì)位置。正態(tài)分布以X=為對(duì)稱軸，左右完全對(duì)稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同,均等于。（2）描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度，越大，數(shù)據(jù)分布越分散,越小，數(shù)據(jù)分布越集中。也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，越

2、大，曲線越扁平，反之,越小，曲線越瘦高。 正態(tài)曲線下面積分布 1實(shí)際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分比,或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）.不同 范圍內(nèi)正態(tài)曲線下的面積可用公式計(jì)算。 2幾個(gè)重要的面積比例軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于1。正態(tài)曲線下,橫軸區(qū)間（，+)內(nèi)的面積為868949,橫軸區(qū)間(.6,+1.96）內(nèi)的面積為95。44974，橫軸區(qū)間(2.8，.58）內(nèi)的面積為。70020%。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 .標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的和2為0和1，通常用（或Z）表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量,記為 ZN（0，1）. 2。標(biāo)準(zhǔn)化變換：此變

3、換有特性：若原分布服從正態(tài)分布 ,則Z(x-） N（0，） 就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表就可以直接計(jì)算出原正態(tài)分布的概率值.故該變換被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換。 3。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從到（當(dāng)前值）范圍內(nèi)的面積比例 。 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化由于一般的正態(tài)總體 其圖像不一定關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率 。只要會(huì)用它求正態(tài)總體在某個(gè)特定區(qū)間的概率即可。“小概率事件和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想“小概率事件通常指發(fā)生的概率小于5的事件，認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識(shí)便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點(diǎn)。關(guān)于這一點(diǎn)我們要有以下兩個(gè)方面的認(rèn)

4、識(shí)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來說的，因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，我們也有5的犯錯(cuò)誤的可能。 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系 正態(tài)分布也叫常態(tài)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種,自然界、人類社會(huì)、心理和教育中大量現(xiàn)象均按正態(tài)形式分布，例如能力的高低，學(xué)生成績(jī)的好壞等都屬于正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種,具有正態(tài)分布的所有特征。所有正態(tài)分布都可以通過分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 兩者特點(diǎn)比較： （)正態(tài)分布的形式是對(duì)稱的，對(duì)稱軸是經(jīng)過平均數(shù)點(diǎn)的垂線。 （)中央點(diǎn)最高，然后逐漸向兩側(cè)下降,

5、曲線的形式是先向內(nèi)彎，再向外彎。 （)正態(tài)曲線下的面積為。正態(tài)分布是一族分布,它隨隨機(jī)變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小與單位不同而有不同的分布形態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種,其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都是固定的,平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。 (4)正態(tài)分布曲線下標(biāo)準(zhǔn)差與概率面積有固定數(shù)量關(guān)系。所有正態(tài)分布都可以通過Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。主要特征 、集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。 2、對(duì)稱性:正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。 3、均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。4、正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,可記作N（，)：均數(shù)決

6、定正態(tài)曲線的中心位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度.越小，曲線越陡峭;越大,曲線越扁平。 5、變換：為了便于描述和應(yīng)用,常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換.方差在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,方差（英文Vian)用來度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望(即均值）之間的偏離程度。在許多實(shí)際問題中,研究隨機(jī)變量和均值之間的偏離程度有著很重要的意義。如下面的例子: 已知某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a,現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：甲儀器測(cè)量結(jié)果： 乙儀器測(cè)量結(jié)果: 兩臺(tái)儀器的測(cè)量結(jié)果的均值都是a 。但是用上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，很明顯，我們會(huì)認(rèn)為乙儀器的性能更好,因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近

7、. 由此可見，研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的。那么，用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到（X(X)能度量隨機(jī)變量與其均值E(）的偏離程度 方差就是用：樣本值與平均值的差值的平方和,再除以樣本總個(gè)數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差（StandadDation），也稱 HPRLINK _bnk均方差（mea quaeer），是各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離的平均數(shù),它是離均差平方和平均后的方根,用表示.標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 簡(jiǎn)介公式標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為 HERLINK ” t_blan”標(biāo)準(zhǔn)偏差,或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差,公式如圖. 簡(jiǎn)單來說,標(biāo)準(zhǔn)差是一

8、組數(shù)據(jù) HYERLINK ” _blank 平均值分散程度的一種度量.一個(gè)較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大;一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。 例如，兩組數(shù)的集合 0,5， ， 14 和， ， 8, 9其平均值都是7 ，但第二個(gè)集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差. 標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測(cè)量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測(cè)量時(shí),測(cè)量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測(cè)量的精確度。當(dāng)要決定測(cè)量值是否符合預(yù)測(cè)值，測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測(cè)量平均值與預(yù)測(cè)值相差太遠(yuǎn)（同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較），則認(rèn)為測(cè)量值與預(yù)測(cè)值互相矛盾.這很容易理解，因?yàn)槿绻麥y(cè)量值都落在一定數(shù)值范圍之外,可以合

9、理推論預(yù)測(cè)值是否正確。 標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上,可作為量度回報(bào)穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報(bào)遠(yuǎn)離過去平均數(shù)值，回報(bào)較不穩(wěn)定故風(fēng)險(xiǎn)越高。相反,標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越細(xì),代表回報(bào)較為穩(wěn)定,風(fēng)險(xiǎn)亦較小。 例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、5、75、65、55、4，B組的分?jǐn)?shù)為7、7、71、9、8、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.0分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.37分（此數(shù)據(jù)時(shí)在R統(tǒng)計(jì)軟件中運(yùn)行獲得）,說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。 如是總體，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以 如是樣本,標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以(n-1） 因?yàn)槲覀兇罅拷佑|的是樣本，所以普遍使

10、用根號(hào)內(nèi)除以(n1) 公式意義 所有數(shù)減去其平均值的平方和,所得結(jié)果除以該組數(shù)之個(gè)數(shù)（或個(gè)數(shù)減一）,再把所得值開根號(hào)，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的意義 標(biāo)準(zhǔn)差越高,表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越離散,也就是說越不精確 反之,標(biāo)準(zhǔn)差越低,代表實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)越精確峰度與偏度峰度是描述總體中所有取值分布形態(tài)陡緩程度的統(tǒng)計(jì)量。這個(gè)統(tǒng)計(jì)量需要與正態(tài)分布相比較，峰度為0表示該總體數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布的陡緩程度相同；峰度大于表示該總體數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布相比較為陡峭，為尖頂峰；峰度小于0表示該總體數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布相比較為平坦,為平頂峰。峰度的絕對(duì)值數(shù)值越大表示其分布形態(tài)的陡緩程度與正態(tài)分布的差異程度越大。峰度的具體計(jì)算公式為：偏度與峰度類似，它也是描述數(shù)據(jù)分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量,其描述的是某總體取值分布的對(duì)稱性.這個(gè)統(tǒng)計(jì)量同樣需要與正態(tài)分布相比較，偏度為0表示其數(shù)據(jù)分布形態(tài)與正態(tài)分布的偏斜程度相同;偏度大于表示其數(shù)據(jù)分布形態(tài)與正態(tài)分布相比為正偏或右偏,即有一條長(zhǎng)尾巴拖在右邊,數(shù)據(jù)右端有較多的極端值；偏度小于0表示其數(shù)據(jù)分布形態(tài)與正態(tài)分布相比為負(fù)偏或左偏，即有一條長(zhǎng)尾拖在左邊，數(shù)據(jù)左端有較多的極端值。偏度的絕對(duì)值數(shù)值越大表示其分布形態(tài)的偏斜程度越大。偏度的具體計(jì)算