微積分課件：D11-1對(duì)弧長(zhǎng)和曲線積分

1、第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第十一章 三、物理應(yīng)用一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), 都存在,上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過(guò)對(duì) 的任意分割

2、局部的任意取點(diǎn), 2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一型曲線積分.稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,如果 L 是閉曲線 , 則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).3. 性質(zhì)（k 為常數(shù))( 由 組成) ( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度)（7）對(duì)稱性1）設(shè)平面曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱,2）設(shè)空間曲線L關(guān)于 xoy面對(duì)稱,平面曲線L關(guān)于x軸,空間曲線L關(guān)于xoz坐標(biāo)面或yoz坐標(biāo)面

3、對(duì)稱有類似的結(jié)論。3）平面曲線L關(guān)于y=x對(duì)稱，4）若空間曲線L關(guān)于直線x=y=z對(duì)稱,即方程關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義 點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為 則說(shuō)明:因此積分限必須滿足(2) 注意到 因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此如果曲線 L 的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則若 L是空間柱面坐標(biāo)系(r,z)上的曲線例1. 計(jì)算其中 L 是拋物線與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解:上點(diǎn) O (0,0)例2. 計(jì)算其中

4、L為雙紐線解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性 , 得例3. 計(jì)算曲線積分 其中為螺旋的一段弧.解: 線例4. 計(jì)算其中為球面 被平面 所截的圓周. 解: 由對(duì)稱性可知思考: 例4中 改為計(jì)算解: 令, 則圓的形心在原點(diǎn), 故, 如何例5. 計(jì)算其中為球面解: 化為參數(shù)方程 則交線是圓，此處也可直接求出圓的半徑例6. 計(jì)算其中為到點(diǎn)在第一卦限內(nèi) 從原點(diǎn)例7. 設(shè)L是曲線的 一段，求L的 弧長(zhǎng)三、第一型曲線積分的物理應(yīng)用1、質(zhì)量 設(shè)空間L的 線密度為2、重心或形心3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例8. 計(jì)算半徑為 R ,中心角為的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度 = 1). 解: 建立坐標(biāo)系如圖,則 例9. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2) 求它的質(zhì)心 .解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).(2) L的質(zhì)量而(1)故質(zhì)心坐標(biāo)為用坐標(biāo)面投影法自己做內(nèi)容小結(jié)1. 定義2. 性質(zhì)( l 曲線弧 的長(zhǎng)度)3. 計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧 對(duì)光滑曲線弧 對(duì)光滑曲線弧思考與練習(xí)1. 已知橢圓周長(zhǎng)為a , 求提示:原式 =利用對(duì)稱性分析:備用題1. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線