四面體外接球的球心、半徑求法教師

1、-、出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體。【原理】：長方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c ,則體對角線長為l =l =、： a2 + b2 + c2幾何體的外接球直徑2R為體對角線長/即R =【例題】：在四面體ABCD中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為1，6,3，若該四 面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。二、出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點?！纠}】：已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，AB丄BC且PA = 7，PB = 5,PC = 51， AC = 10,求球O的體積。總結(jié)】斜邊一般

2、為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。三、出現(xiàn)多個垂直關(guān)系時建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識求解【例題】：已知在三棱錐A- BCD中，AD丄面ABC，ZBAC = 120。，【結(jié)論】：空間兩點間距離公式：pq = J（片_x2）2+（兒_y2）2+（z _z2）2四、四面體是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個點，根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長為a時，它的外接球半徑為一廠a。4典型例題1球的截面例1球面上有三點A、B、C組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，其中 AB二18，BC二24、AC二30，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.說明：涉及到球的截面的問

3、題，總是使用關(guān)系式rR2-d2解題，我們可以通過兩 個量求第三個量，也可能是抓三個量之間的其它關(guān)系，求三個量.【練習(xí)】過球0表面上一點A引三條長度相等的弦AB、AC、AD，且兩兩夾角都 為60。，若球半徑為R，求弦AB的長度.典型例題2球面距離例2過球面上兩點作球的大圓，可能的個數(shù)是（）.A.有且只有一個B. 個或無窮多個C.無數(shù)個D.以上均不正確例3球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的6，經(jīng)過3個點的6小圓的周長為4兀，求這個球的半徑.分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識求解.說明：本題是近年來球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體 綜合外，還考查了球

4、面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識點，是一道不可多得的好 題.兀例4 A、B是半徑為R的球O的球面上兩點，它們的球面距離為2 R,求過A、B 的平面中，與球心的最大距離是多少？說明：利用關(guān)系式r2二R2 -d2不僅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半徑r與 球心到截面的距離d之間的變化規(guī)律.此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與 兩點的球心角ZAOB有關(guān)，而球心角ZAOB又直接與AB長度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求 球面距離的一條基本線索.典型例題3其它問題例5.自半徑為R的球面上一點M，引球的三條兩兩垂直的弦MA,MB,MC,求MA 2 + MB 2 + MC 2 的值.分析：此

5、題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計算，所以應(yīng)引導(dǎo) 學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián).說明:此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算. 例6.試比較等體積的球與正方體的表面積的大小.分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大 小關(guān)系.典型例題4球與幾何體的切、接問題例7 一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放 入一個半徑為r的鐵球，這時水面恰好和球面相切.問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓 錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特征，利用鐵球

6、取出后， 錐內(nèi)下降部分（圓臺）的體積等于球的體積，列式求解.例8.設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的 表面積之比及體積之比.分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩 個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的.說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是 重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內(nèi)切球的半徑r二1 h （h為正四面體的高），且 外接球的半徑R二3r .例9.把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放 上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離.分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定 組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2.作業(yè)C2.求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比.1.正三棱錐的高為1,底面邊長為2心6,正三棱錐