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1、PAGE 19試卷第 = !異常的公式結(jié)尾頁,總 =sectionpages 20 20頁湖南省長郡中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)考前保溫試題(一)一、單選題1已知集合,則( )ABCD2若,則( )ABCD3中,“”是“”的( )A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件4函數(shù)的圖像大致為( )ABCD5鼎是古代烹煮用的器物,它是我國青銅文化的代表,在古代被視為立國之器,是國家和權(quán)力的象征.圖是一種方鼎,圖是根據(jù)圖繪制的方鼎簡易直觀圖,圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分,四邊形是矩形,其中,點到平面的距離為,則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為( )(假定烹煮的食物全在四棱臺內(nèi))A
2、BCD6設(shè),化簡( )ABCD7已知,(e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)),則a,b,c的大小關(guān)系為( )ABCD8已知拋物線:的焦點為,過點的直線交于,兩點,的重心為點,則點到直線的距離的最小值為( )A2BCD二、多選題9日本導(dǎo)演竹內(nèi)亮拍攝的記錄片后疫情時代是繼南京抗疫現(xiàn)場好久不見,武漢之后,又一部以中國抗疫為主題的記錄片力作.該片以南京馬拉松比賽無人配送網(wǎng)絡(luò)直播等為切入點,真實記錄了中國在疫情防控復(fù)工復(fù)產(chǎn)方面取得的重大成就,并指出:“在新冠疫情沖擊下,中國在全球主要經(jīng)濟(jì)體中率先恢復(fù)增長,成為世界經(jīng)濟(jì)體中的亮點”.片中記錄某物流公司引進(jìn)智能無人配送技術(shù),為疫情期間居家隔離網(wǎng)上購物帶來了很大的
3、便利,同時也大大提升了公司的效益.2020年全年總收入與2019年全年總收入相比增長了一倍,同時該公司的各項運營成本也隨著收入的變化發(fā)生了相應(yīng)變化.下圖給出了該公司這兩年不同運營成本占全年總成本的比例.已知該公司這兩年的年利潤率相同,注:年利潤率=(全年總收入-全年總成本)/全年總收入.下列說法錯誤的是( )A該公司2020年原材料費用等于2019年工資金額與研發(fā)費用的總和B該公司2020年研發(fā)費用是2019年工資金額原材料費用其他費用三項的總和C該公司2020年其他費用占2019年工資金額的D該公司2020年設(shè)備費用是2019年原材料費用的兩倍10已知正數(shù)滿足,則( )ABCD11已知正方形
4、的邊長為2,將沿AC翻折到的位置,得到四面體,在翻折過程中,點始終位于所在平面的同一側(cè),且的最小值為,則下列結(jié)論正確的是( )A四面體的外接球的表面積為B四面體體積的最大值為C點D的運動軌跡的長度為D邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為12曲線為四葉玫瑰線,它是一個幾何虧格為零的代數(shù)曲線,這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用,首蓿葉型立交橋有兩層,將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實現(xiàn),即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路,四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀給出下列結(jié)論正確的是( ) A曲線C只有兩條對稱軸B曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)C曲線C上任意一
5、點到標(biāo)原點O的距離都不超過2D曲線C上的任一點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為2三、填空題13若的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項為_(用數(shù)字作答)14請寫出一個符含下列要求的數(shù)列的通項公式:為無窮數(shù)列;為單調(diào)遞增數(shù)列;.這個數(shù)列的通項公式可以是_15算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具,其形長方,周為木框,內(nèi)貫直柱,俗稱“檔”,檔中橫以梁,梁上兩珠,每珠作數(shù)五,梁下五珠,每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如,在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠,個位檔撥上四顆下珠,則表示數(shù)字74,若在個十百千位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠,再隨機選擇兩個不同檔位各撥一顆上珠
6、,則所表示的數(shù)字大于300的概率為_16已知關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實根,則實數(shù)的取值范圍是_四、解答題17的內(nèi)角,的對邊分別為,已知.()求;()若的面積,求.18已知數(shù)列滿足,且,其中,(1)求證:是等比數(shù)列,并求的前項和;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,求證:19購買盲盒,是當(dāng)下年輕人的潮流之一每個系列的盲盒分成若干個盒子,每個盒子里面隨機裝有一個動漫、影視作品的周邊,或者設(shè)計師單獨設(shè)計出來的玩偶,消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式,具有隨機屬性.消費者的目標(biāo)是通過購買若干個盒子,集齊該套盲盒的所有產(chǎn)品現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒,每個甲系列盲盒可以開出玩偶,中的一個,每個乙系列目盲盒可以開出玩偶,
7、中的一個(1)記事件:一次性購買個甲系列盲盒后集齊玩偶,玩偶;事件:一次性購買個乙系列盲盒后集齊,玩偶;求概率及;(2)某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒,每個消費者每天只有一次購買機會,且購買時,只能選擇其中一個系列的一個盲盒通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為,購買乙系列的概率為;而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為,購買乙系列的概率為,前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為,購買乙系列的概率為;如此往復(fù),記某人第次購買甲系列的概率為;若每天購買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒,試估計該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個
8、系列的盲盒各多少個20設(shè),為雙曲線的左、右頂點,直線過右焦點且與雙曲線的右支交于,兩點,當(dāng)直線垂直于軸時,為等腰直角三角形.(1)求雙曲線的離心率;(2)已知直線,分別交直線于兩點,當(dāng)直線的傾斜角變化時,以為直徑的圓是否過定點,若過定點,求出定點的坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.長郡中學(xué)2021屆高三高考考前保溫卷一一、單選題1已知集合,則( )ABCD【答案】B2若,則( )ABCD【答案】B3中,“”是“”的( )A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件【答案】C4函數(shù)的圖像大致為( )ABCD【答案】A【詳解】因為,所以為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,排除B,D;因為
9、,所以排除C,故選:A.5鼎是古代烹煮用的器物,它是我國青銅文化的代表,在古代被視為立國之器,是國家和權(quán)力的象征.圖是一種方鼎,圖是根據(jù)圖繪制的方鼎簡易直觀圖,圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分,四邊形是矩形,其中,點到平面的距離為,則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為( )(假定烹煮的食物全在四棱臺內(nèi))ABCD【答案】D【詳解】幾何體為四棱臺,所以延長必交于一點,記為O,且四棱錐相似于,所以.過點作OH面于H,作OG面于G,則,又,解得:OG=,OH=,四棱臺的體積.故選:D6設(shè),化簡( )ABCD【答案】A【詳解】因為,所以,故選:A7已知,(e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)),則a,b,c的大
10、小關(guān)系為( )ABCD【答案】C【詳解】令,所以所以當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減,因為,所以,即.故選:C8已知拋物線:的焦點為,過點的直線交于,兩點,的重心為點,則點到直線的距離的最小值為( )A2BCD【答案】C【詳解】由題意,拋物線為,可令直線為,若,聯(lián)立直線與拋物線得且,則,又的重心為點,即,則到直線的距離,當(dāng)時,.故選:C.二、多選題9日本導(dǎo)演竹內(nèi)亮拍攝的記錄片后疫情時代是繼南京抗疫現(xiàn)場好久不見,武漢之后,又一部以中國抗疫為主題的記錄片力作.該片以南京馬拉松比賽無人配送網(wǎng)絡(luò)直播等為切入點,真實記錄了中國在疫情防控復(fù)工復(fù)產(chǎn)方面取得的重大成就,并指出:“在新冠疫情沖擊下,中國在全球主要
11、經(jīng)濟(jì)體中率先恢復(fù)增長,成為世界經(jīng)濟(jì)體中的亮點”.片中記錄某物流公司引進(jìn)智能無人配送技術(shù),為疫情期間居家隔離網(wǎng)上購物帶來了很大的便利,同時也大大提升了公司的效益.2020年全年總收入與2019年全年總收入相比增長了一倍,同時該公司的各項運營成本也隨著收入的變化發(fā)生了相應(yīng)變化.下圖給出了該公司這兩年不同運營成本占全年總成本的比例.已知該公司這兩年的年利潤率相同,注:年利潤率=(全年總收入-全年總成本)/全年總收入.下列說法錯誤的是( )A該公司2020年原材料費用等于2019年工資金額與研發(fā)費用的總和B該公司2020年研發(fā)費用是2019年工資金額原材料費用其他費用三項的總和C該公司2020年其他費
12、用占2019年工資金額的D該公司2020年設(shè)備費用是2019年原材料費用的兩倍【答案】ACD【詳解】不妨設(shè)2019年全年的總成本為,則2020年全年的總成本為.該公司2020年原材料費用為,2019年工資金額與研發(fā)費用的和為,故A錯誤;該公司2020年研發(fā)費用為,2019年工資金額原材料費用其他費用三項的和為,故B正確;該公司2020年其他費用為,2019年工資金額為,故C錯誤;該公司2020年設(shè)備費用為,2019年原材料費用為,故D錯誤,故選:ACD10已知正數(shù)滿足,則( )ABCD【答案】ACD【詳解】A:由,又,得,所以,正確;B:由,當(dāng)時有,此時,錯誤;C:由,所以,正確;D:由,所以
13、,正確.故選:11已知正方形的邊長為2,將沿AC翻折到的位置,得到四面體,在翻折過程中,點始終位于所在平面的同一側(cè),且的最小值為,則下列結(jié)論正確的是( )A四面體的外接球的表面積為B四面體體積的最大值為C點D的運動軌跡的長度為D邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為【答案】ACD【詳解】解:對A:,AC中點即為四面體的外接球的球心,AC為球的直徑,故選項A正確;對B:當(dāng)平面平面時,四面體體積的最大,此時高為,故選項B錯誤;對C:設(shè)方形對角線AC與BD交于O,由題意,翻折后當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r,為邊長為的等邊三角形,此時,所以點D的運動軌跡是以O(shè)為圓心為半徑的圓心角為的圓弧,所以點D的運動軌跡的長度為,故選項
14、C正確;對D:結(jié)合C的分析知,邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為以A為頂點,底面圓為以O(shè)為圓心為半徑的圓錐的側(cè)面積的,即所求曲面的面積為,故選項D正確.故選: ACD.12曲線為四葉玫瑰線,它是一個幾何虧格為零的代數(shù)曲線,這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用,首蓿葉型立交橋有兩層,將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實現(xiàn),即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路,四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀給出下列結(jié)論正確的是( ) A曲線C只有兩條對稱軸B曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)C曲線C上任意一點到標(biāo)原點O的距離都不超過2D曲線C上的任一點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩
15、坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為2【答案】CD【詳解】根據(jù)圖形可得,曲線C有四條對稱軸,;即A錯;由可得;即圓與曲線相切于點,內(nèi)切于圓;故曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點O的距離的最大值為,即C正確;又圓位于第一象限的整點只有,但,所以曲線C在第一象限不過整點,根據(jù)對稱性可得,曲線C在二三四象限也不過整點;又顯然在曲線上,所以曲線只過一個整點,故B錯;設(shè)曲線C上的任一點的坐標(biāo)為,則過該點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積;由可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以,即D正確.故選:CD.三、填空題13若的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項為_(用數(shù)字作答)【詳解】的展開式中只有第5項的二
16、項式系數(shù)最大,則由二項式系數(shù)性質(zhì)知:展開式共有9項,則n=8,展開式的通項為,展開式中常數(shù)項,必有,即,所以展開式中常數(shù)項為.故答案為:14請寫出一個符含下列要求的數(shù)列的通項公式:為無窮數(shù)列;為單調(diào)遞增數(shù)列;.這個數(shù)列的通項公式可以是_【答案】.【詳解】因為函數(shù)的定義域為,且在上單調(diào)遞增,所以滿足3個條件的數(shù)列的通項公式可以是,故答案為:.15算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具,其形長方,周為木框,內(nèi)貫直柱,俗稱“檔”,檔中橫以梁,梁上兩珠,每珠作數(shù)五,梁下五珠,每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如,在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠,個位檔撥上四顆下珠,則表示數(shù)字74,若在個十百千位檔中隨
17、機選擇一檔撥上一顆下珠,再隨機選擇兩個不同檔位各撥一顆上珠,則所表示的數(shù)字大于300的概率為_【答案】【詳解】由題意,在個十百千位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠,再隨機選擇兩個不同檔位各撥一顆上珠,共有種,當(dāng)在個、十位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠,再隨機從個、十位兩個不同檔位各撥一顆上珠時,得到的數(shù)字不大于300,有;當(dāng)在百位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠,再隨機從個、十位兩個不同檔位各撥一顆上珠時,得到的數(shù)字不大于300,有;所以所撥數(shù)字不大于300的概率為16已知關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實根,則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【詳解】解: 由,則方程,即,令,則由單調(diào)性可知,函數(shù)是遞增的,故時,
18、值域為.而轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時,方程為,不成立,故,即轉(zhuǎn)化為在有兩個不相等的實根,即和,有兩個不同的交點.,當(dāng)和時,即在上遞減,在上遞減;當(dāng)時,遞增.另外,時,;時,;.結(jié)合函數(shù),圖象可知,當(dāng)時,和,的圖象有兩個不同的交點.故答案為:.四、解答題17的內(nèi)角,的對邊分別為,已知.()求;()若的面積,求.【答案】()()4【詳解】(),由正弦定理得,故,整理得.,.()由()知.,.,. ,即, 當(dāng)時,.由()知,可得.易知在中,代入得,則;當(dāng)時,由得,由正弦定理得,與聯(lián)立得,.由余弦定理得,可得.綜上,.18已知數(shù)列滿足,且,其中,(1)求證:是等比數(shù)列,并求的前項和;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,求證:
19、【答案】(1)證明見解析,;(2)證明見解析.【詳解】(1)因為,所以,所以,得到,又因為,由,得到,故,且,所以為定值,所以數(shù)列是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列,所以,(2)因為,所以,所以因為,所以,所以19購買盲盒,是當(dāng)下年輕人的潮流之一每個系列的盲盒分成若干個盒子,每個盒子里面隨機裝有一個動漫、影視作品的周邊,或者設(shè)計師單獨設(shè)計出來的玩偶,消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式,具有隨機屬性.消費者的目標(biāo)是通過購買若干個盒子,集齊該套盲盒的所有產(chǎn)品現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒,每個甲系列盲盒可以開出玩偶,中的一個,每個乙系列目盲盒可以開出玩偶,中的一個(1)記事件:一次性購買個甲系列盲盒后集齊玩偶,玩偶;事件:一次性購買個乙系列盲盒后集齊,玩偶;求概率及;(2)某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒,每個消費者每天只有一次購買機會,且購買時,只能選擇其中一個系列的一個盲盒通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為,購買乙系列的概率為;而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為,購買乙系列的概率為,前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為,購買乙系列的概率為;如此往復(fù),記某人第次購買甲系列的概率為;若每天購買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒,試估計該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個系
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