福建省廈門市思明區(qū)湖濱中學2020-2021學年高二數學下學期期中試題含解析

1、外裝外裝訂線請不要在裝訂線內答題內裝訂線PAGE PAGE 19福建省廈門市思明區(qū)湖濱中學2020-2021學年高二數學下學期期中試題（含解析）一、單選題（共8題；共40分）1.已知 i 為虛數單位，復數 z 滿足 z(1+i)=1 ，則 z 的共軛復數 z=A.12+12iB.12122.已知向量 a=(2,1,2) ， A(1,x,1) ， B(1,1,1) ，若 aABA.-5B.0C.-1D.53.如圖所示，已知 ABCDA1B1C1D1 是平行六面體.設 ACBD=M ，N 是 A.x=12,y=14,z=344.函數yxlnx在(0，5)上是() A.單調增函數B.在 (0,1e)

2、 上單調遞增，在 (1e，5) 上單調遞減C.單調減函數D.在 5.已知 R 上可導函數 f(x) 的圖象如圖，則不等式 fA.(2,0)(2,+)B.(,2)(2,+)C.(2,1)(1,2)D.(,1)(1,+)6.在我國古代數學名著九章算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD ， 且AB=BC=CD ， 則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（ ） A.12B.- 12C.2D.37.若 f(x)=x3+aA.32 或 12B.32 或 12C.8.我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難人微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休在數

3、學的學習和研究中，常用函數的圖像研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征如函數 f(x)=xA.B.C.D.二、多選題（共4題；共20分）9.下列導數運算正確的有（ ） A.(1x)=1x2B.(xe10.函數 y=f(x) 的導函數的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ） A.(1,3) 為函數 y=f(x) 的單調遞增區(qū)間B.(3,5) 為函數 y=f(x) 的單調遞減區(qū)間C.函數 y=f(x) 在 x=5 處取得極小值D.函數 y=f(x) 在 x=0 處取得極大值11.已知i為虛數單位，以下四個說法中正確的是（ ） A.i+B.復數 z=3i 的虛部為 iC.若 z=(1

4、+2i)2 ，則復平面內 D.已知復數z滿足 |z1|=|z+1| ，則z在復平面內對應的點的軌跡為直線 12.已知空間四點 O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,1),C(3,2,1) ，則下列說法正確的是（ ） A.OAOB=2B.cos=25三、填空題（共4題；共20分）13.若 A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 為 BC 的中點， |AD|= _. 14.函數 f(x)=alnxx 的圖象在 x=1 處的切線方程為 y=x2 ，則 15.定義在 R 上的連續(xù)函數 f(x) 滿足 f(1)=2 ，且 f(x) 在 R 上的導函數 f(x)1

5、，則不等式 f(x)0 的解集為 故答案為：D 【分析】由圖可知 f(x) 在 (,1),(1,+) 上單調遞增，再利用求導判斷函數的單調性的方法，從而求出不等式 f6.在我國古代數學名著九章算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD ， 且AB=BC=CD ， 則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（ ） A.12B.- 12C.2D.3【答案】 A 【考點】異面直線及其所成的角 【解析】【解答】解：如圖所示， 分別取 AB ， AD ， BC ， BD 的中點 E ， F ， G ， O ，則 EF/BD ， EG/AC ， FOOG ，F(xiàn)EG 或

6、其補角為異面直線 AC 與 BD 所成角設 AB=2a ，則 EG=EF=2a ， FEG=60 ， 異面直線 AC 與 BD 所成角的余弦值為 12故答案為：A 【分析】分別取 AB ， AD ， BC ， BD 的中點 E ， F ， G ， O ，則 EF/BD ， EG/AC ， FOOG ，所以FEG 或其補角為異面直線 AC 與 BD 所成角，設 AB=2a ，則 EG=EF=2a ，再利用勾股定理求出 FG=2a ，從而結合等邊三角形的定義判斷出三角形為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質，從而得出FEG=60 ，進而求出異面直線 7.若 f(x)=x3+aA.32 或 12B.3

7、2 或 12C.【答案】 C 【考點】函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的極值 【解析】【解答】 f(x)=x3+a又 f(x)=x f(1)=3+2a+b=0 ， f(1)=1+a+ba a2 a=2,b=1 或 a=6,b=9 當 a=2,b=1 時， f(x)=3x當 13 x1時， f(x)0f（x）在x=1處取得極小值，與題意不符；當 a=6,b=9 時， f(x)=3x當x1時， f(x)0 ，當x3時， f(x)1時，2+cosx1,3，(2+cosx)x1，sinx-1,1，則f(x)0恒成立， 當x0,2時，sinx0，cosx0，x0，則f(x)0恒成立， 因為0,

8、10,2 ， 所以f(x)0在（0,1）恒成立，二、多選題（共4題；共20分）9.下列導數運算正確的有（ ） A.(1x)=1x2B.(xe【答案】 B,C 【考點】導數的乘法與除法法則，簡單復合函數的導數 【解析】【解答】對于A， (1對于B， (xe對于C， (e對于D， (ln故答案為：BC. 【分析】利用導數的運算法則結合復合函數導數的求解方法，從而選出導數運算正確的選項。10.函數 y=f(x) 的導函數的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ） A.(1,3) 為函數 y=f(x) 的單調遞增區(qū)間B.(3,5) 為函數 y=f(x) 的單調遞減區(qū)間C.函數 y=f(x) 在 x=5

9、處取得極小值D.函數 y=f(x) 在 x=0 處取得極大值【答案】 D 【考點】利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的極值 【解析】【解答】由題意，函數 y=f(x) 的導函數的圖象可知： 當 x1 時， f(x)0 ，函數 當 1x0 ，函數 當 3x5 時， f(x)5 時， f(x)0 ，函數 所以函數 f(x) 單調遞減區(qū)間為 (,1),(3,5) ，單調遞增區(qū)間為 (1,3),(5,+) ，且函數 f(x) 在 x=1 和 x=5 取得極小值，在 x=3 取得極大值。故答案為：D 【分析】利用函數 y=f(x) 的導函數的圖象結合求導的方法判斷函數的單調性，從而得出函數 f(

10、x) 單調遞減區(qū)間為 (,1),(3,5) ，單調遞增區(qū)間為 (1,3),(5,+) ，再利用函數的單調性，從而求出函數的極值點，進而得出函數 f(x) 在 x=1 和 x=5 取得極小值，在 x=3 取得極大值，從而選出說法錯誤的選項。11.已知i為虛數單位，以下四個說法中正確的是（ ） A.i+B.復數 z=3i 的虛部為 iC.若 z=(1+2i)2 ，則復平面內 D.已知復數z滿足 |z1|=|z+1| ，則z在復平面內對應的點的軌跡為直線 【答案】 A,D 【考點】虛數單位i及其性質，復數代數形式的乘除運算，復數求模 【解析】【解答】A選項， i+iB選項， z 的虛部為 1 ，B選

11、項錯誤.C選項， z=1+4i+4i2=3+4i,D選項， |z1|=|z+1|=|z(1)| 表示 z 到 A(1,0) 和 B(1,0) 兩點的距離相等，故 z 的軌跡是線段 AB 的垂直平分線，D選項正確.故答案為：AD 【分析】 利用虛數單位i的運算性質判斷A；根據復數定義判斷B；利用復數代數形式的乘除運算化簡z進一步求得 z的坐標判斷C；由復數模的幾何意義判斷D12.已知空間四點 O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,1),C(3,2,1) ，則下列說法正確的是（ ） A.OAOB=2B.cos=2【答案】 A,B,C 【考點】數量積的坐標表達式，數量積表示兩個向量的夾角，

12、點到直線的距離公式，共線向量與共面向量 【解析】【解答】 OA=(0,1,2),OAcosBC=(1,2,2) ， OBBC=21+02+(1)2=0 ，所以 OBBC ， OC=(3,2,1)假設若O，A，B，C四點共面，則 OA,OB,則 2y=3故答案為：ABC 【分析】利用已知條件結合數量積的坐標表示求出數量積的值；再利用數量積求向量夾角公式結合數量積的坐標表示和向量的模的坐標表示，進而求出兩向量的夾角；再利用數量積為0兩向量垂直結合數量積的坐標表示，進而證出兩向量垂直，再結合向量的模的坐標表示求出點O到直線 BC 的距離；再利用假設法，若O，A，B，C四點共面則兩向量共面，再結合平面

13、向量基本定理，進而推出方程無解，得出 O，A，B，C四點不共面，進而選出說法正確的選項。三、填空題（共4題；共20分）13.若 A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 為 BC 的中點， |AD|= _. 【答案】10【考點】空間兩點間的距離公式 【解析】【解答】因為 A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 為 BC 的中點， 所以 D 的坐標為 D(1+32,22故答案為： 10。 【分析】利用已知條件結合中點坐標公式，從而求出中點D的坐標，再利用空間兩點求距離公式，從而求出|AD|的長。14.函數 f(x)=alnxx 的圖象在

14、x=1 處的切線方程為 y=x2 ，則 【答案】 2 【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程 【解析】【解答】依題意 f(x)=ax1 ，由于函數 f(x)=alnxx 的圖象在 x=1故答案為：2。 【分析】利用求導的方法求出函數在切點處的切線的斜率，再利用函數 f(x)=alnxx 的圖象在 x=1 處的切線方程為 15.定義在 R 上的連續(xù)函數 f(x) 滿足 f(1)=2 ，且 f(x) 在 R 上的導函數 f(x)1 ，則不等式 f(x)x+1 的解集為_ 【答案】x|x1【考點】利用導數研究函數的單調性 【解析】【解答】設 (x)=f(x)x1 ，則 /(x)=f/(x)1x+1

15、等價于 f(x)x10 ，即 (x)(1) ，所以 x1【分析】本題主要考查函數的單調性以及導數的應用。主要是要構造函數，利用導數判斷單調性進行求解。16.已知 f(x)=x2+lnx+mx1【答案】m3【考點】函數恒成立問題，利用導數研究函數的單調性 【解析】【解答】 f(x)=2x+1x+m=即 2x2+mx+10 在 x(1,2)由對勾函數性質知 y=2x+1x 在 (1,2) 單調遞增，所以 所以 m3 ，即 m3 。故答案為： m3 。 【分析】利用求導的方法判斷函數的單調性，再利用函數 f(x)=x2+lnx+mx1 在區(qū)間 (1,2) 上為單調遞增函數，得出 f(x)0 在 x(

16、1,2) 時恒成立，即 2x2+mx+10 在 四、解答題（共6題；共70分）17.已知向量 a 與 b 的夾角 =34 ，且 |a（1）求 ab ， （2）求 a 與 a+【答案】 （1）解：由已知，得 a|a（2）解：設 a 與 a+b 的夾角為 則 cos=因此， a 與 a+b 的夾角的余弦值為 【考點】平面向量數量積的運算，數量積表示兩個向量的夾角 【解析】【分析】（1）利用平面向量數量積的定義可計算得出 ab 的值，利用平面向量數量積的運算性質計算得出 |a18.如圖，四邊形 ABCD 為正方形， PD 平面 ABCD ，點 E,F 分別為 AD,PC 的中點，且 DC=1 ， P

17、C=2（1）證明： DF/ 平面 PBE（2）求二面角 APBC 的大小. 【答案】 （1）解：證明：取 PB 的中點為 G ，連接 EG,FG又 F 為 PC 的中點，所以 FG/BC ，且 因為 DE/BC ，且 所以 DE/FG ，且 故四邊形 DEGF 為平行四邊形，則 DF又 DF 平面 PBE ， EG 平面 PBE ，所以 DF/ 平面 PBE（2）因為 DC=1 ， PC=2 ， PD 平面 ABCD ，所以 而四邊形 ABCD 為正方形，所以可如圖建立空間直角坐標系 DxyzA(1,0,0) ， B(1,1,0) ， P(0,0,1) ， C(0,1,0)所以 PB=(1,1

18、,1) ， PA=(1,0,1)設平面 APB 的一個法向量為 m=(x,y,z) ，則 x+yz=0 xz=0同理可得平面 PBC 的一個法向量為 n所以 cos由圖知二面角 APBC 為鈍角，則大小為 120【考點】直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角 【解析】【分析】（1） 取 PB 的中點為 G ，連接 EG,FG ， 又因為 F 為 PC 的中點，再利用中點作中位線的方法結合中位線的性質，所以 FG/BC 且 FG=12BC所以 DE/FG 且 DE=FG ，故四邊形 DEGF 為平行四邊形，則 DF/EG ， 再利用線線平行證出線面平行，從而證出直線DF/ 平面 PBE

19、。 （2） 因為 DC=1 ， PC=2 ， PD 平面 ABCD ，所以 PD=1 ， 而四邊形 19.已知函數 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2（1）求 a 、 b 的值； （2）若 f(x) 有極大值 28 ，求 f(x) 在 3【答案】 （1）因 f(x)=ax3+bx+c 故 f(x)=3a故有 f(2)=0f(2)=c16 即 （2）知 f(x)=x312x+c ， f(x)=3x當 x(，2) 時， f當 x(2，2) 時， f當 x(2，+) 時， f由此可知 f(x) 在 x1=2 處取得極大值 f(x) 在 x2=2由題設條件知 16+c=28 得 c=12此時 f(

20、3)=9+c=21 ， f(3)=9+c=3 ， f(2)=c16=4因此 f(x) 上 3，因 f(x)=ax3+bx+c 故 f(x)=3a故有 f(2)=0f(2)=c16 即 知 f(x)=x312x+c ， f(x)=3x當 x(，2) 時， f當 x(2，2) 時， f當 x(2，+) 時， f由此可知 f(x) 在 x1=2 處取得極大值 f(x) 在 x2=2由題設條件知 16+c=28 得 c=12此時 f(3)=9+c=21 ， f(3)=9+c=3 ， f(2)=c16=4因此 f(x) 上 3，【考點】利用導數研究函數的單調性，函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數

21、的極值，利用導數求閉區(qū)間上函數的最值 【解析】【分析】（1）利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數的極值點，進而求出相應的極值，再利用已知條件函數 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 處取得極值為 c16 ， 從而解方程組求出a,b的值。 （2)利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數的極值，再利用已知條件函數 f(x)20.某偏遠貧困村積極響應國家“扶貧攻堅”政策，在對口幫扶單位的支持下建了一個工廠，已知每件產品的成本為 a 元，預計當每件產品的售價為 x 元 (3x8) 時，年銷量為 (9x)2 萬件.若每件產品的售價定為 6 元時，預計年利潤為 27（1）試求每件產品的成本

22、 a 的值； （2）當每件產品的售價定為多少元時？年利潤 y （萬元）最大，并求最大值 【答案】 （1）解：由題意可知，該產品的年利潤為 y=(xa)(9x)2 ， 當 x=6 時， y=9(6a)=27 ，解得： a=3（2）解：由 y=(x3)(9x)2 ， 得： y由 y=0 ，得 x=5 或 當 x3,5) 時， y0 ，當 x(5,8 時， 所以當 x=5 時， ymax即每件產品的售價定為 5 元時，年利潤 y 最大，最大值為 32 萬元.【考點】二次函數的性質，二次函數在閉區(qū)間上的最值，根據實際問題選擇函數類型 【解析】【分析】 （1）根據題意可得 (6a)(96)2=27 ， 解得a；21.如圖1，在邊長為2的菱形 ABCD 中， BAD=60 ， DEAB 于點 E ，將 ADE 沿 DE 折起到 A1DE（1）求證： A1E 平面 （2）在線段 BD 上是否存在點 P ，使平面 A1EP 平面 A1【答案】 （1）證明：因為 DEAB 于點 E ， 所以 A1A1DBE ， EDBE ，且 BE 平面 A1BEAA1E 平面 （2）假設在線段 BD 上是否存在點 P ，使平面 A1EP 平面 根據（1）建立如圖所示空間直角坐標系：則 B(1,0,0),D(0,3,0),A設 P(x,y,z),BP=BD(01) ，則 (x1,y,z)=(1,3,0) ，所以