福建省廈門(mén)市思明區(qū)湖濱中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

1、外裝外裝訂線請(qǐng)不要在裝訂線內(nèi)答題內(nèi)裝訂線PAGE PAGE 19福建省廈門(mén)市思明區(qū)湖濱中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單選題（共8題；共40分）1.已知 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z 滿足 z(1+i)=1 ，則 z 的共軛復(fù)數(shù) z=A.12+12iB.12122.已知向量 a=(2,1,2) ， A(1,x,1) ， B(1,1,1) ，若 aABA.-5B.0C.-1D.53.如圖所示，已知 ABCDA1B1C1D1 是平行六面體.設(shè) ACBD=M ，N 是 A.x=12,y=14,z=344.函數(shù)yxlnx在(0，5)上是() A.單調(diào)增函數(shù)B.在 (0,1e)

2、 上單調(diào)遞增，在 (1e，5) 上單調(diào)遞減C.單調(diào)減函數(shù)D.在 5.已知 R 上可導(dǎo)函數(shù) f(x) 的圖象如圖，則不等式 fA.(2,0)(2,+)B.(,2)(2,+)C.(2,1)(1,2)D.(,1)(1,+)6.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD ， 且AB=BC=CD ， 則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（ ） A.12B.- 12C.2D.37.若 f(x)=x3+aA.32 或 12B.32 或 12C.8.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休在數(shù)

3、學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象特征如函數(shù) f(x)=xA.B.C.D.二、多選題（共4題；共20分）9.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有（ ） A.(1x)=1x2B.(xe10.函數(shù) y=f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A.(1,3) 為函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間B.(3,5) 為函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間C.函數(shù) y=f(x) 在 x=5 處取得極小值D.函數(shù) y=f(x) 在 x=0 處取得極大值11.已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（ ） A.i+B.復(fù)數(shù) z=3i 的虛部為 iC.若 z=(1

4、+2i)2 ，則復(fù)平面內(nèi) D.已知復(fù)數(shù)z滿足 |z1|=|z+1| ，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線 12.已知空間四點(diǎn) O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,1),C(3,2,1) ，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A.OAOB=2B.cos=25三、填空題（共4題；共20分）13.若 A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 為 BC 的中點(diǎn)， |AD|= _. 14.函數(shù) f(x)=alnxx 的圖象在 x=1 處的切線方程為 y=x2 ，則 15.定義在 R 上的連續(xù)函數(shù) f(x) 滿足 f(1)=2 ，且 f(x) 在 R 上的導(dǎo)函數(shù) f(x)1

5、，則不等式 f(x)0 的解集為 故答案為：D 【分析】由圖可知 f(x) 在 (,1),(1,+) 上單調(diào)遞增，再利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，從而求出不等式 f6.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD ， 且AB=BC=CD ， 則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（ ） A.12B.- 12C.2D.3【答案】 A 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角 【解析】【解答】解：如圖所示， 分別取 AB ， AD ， BC ， BD 的中點(diǎn) E ， F ， G ， O ，則 EF/BD ， EG/AC ， FOOG ，F(xiàn)EG 或

6、其補(bǔ)角為異面直線 AC 與 BD 所成角設(shè) AB=2a ，則 EG=EF=2a ， FEG=60 ， 異面直線 AC 與 BD 所成角的余弦值為 12故答案為：A 【分析】分別取 AB ， AD ， BC ， BD 的中點(diǎn) E ， F ， G ， O ，則 EF/BD ， EG/AC ， FOOG ，所以FEG 或其補(bǔ)角為異面直線 AC 與 BD 所成角，設(shè) AB=2a ，則 EG=EF=2a ，再利用勾股定理求出 FG=2a ，從而結(jié)合等邊三角形的定義判斷出三角形為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)，從而得出FEG=60 ，進(jìn)而求出異面直線 7.若 f(x)=x3+aA.32 或 12B.3

7、2 或 12C.【答案】 C 【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【解析】【解答】 f(x)=x3+a又 f(x)=x f(1)=3+2a+b=0 ， f(1)=1+a+ba a2 a=2,b=1 或 a=6,b=9 當(dāng) a=2,b=1 時(shí)， f(x)=3x當(dāng) 13 x1時(shí)， f(x)0f（x）在x=1處取得極小值，與題意不符；當(dāng) a=6,b=9 時(shí)， f(x)=3x當(dāng)x1時(shí)， f(x)0 ，當(dāng)x3時(shí)， f(x)1時(shí)，2+cosx1,3，(2+cosx)x1，sinx-1,1，則f(x)0恒成立， 當(dāng)x0,2時(shí)，sinx0，cosx0，x0，則f(x)0恒成立， 因?yàn)?,

8、10,2 ， 所以f(x)0在（0,1）恒成立，二、多選題（共4題；共20分）9.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有（ ） A.(1x)=1x2B.(xe【答案】 B,C 【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則，簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【解析】【解答】對(duì)于A， (1對(duì)于B， (xe對(duì)于C， (e對(duì)于D， (ln故答案為：BC. 【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解方法，從而選出導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的選項(xiàng)。10.函數(shù) y=f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A.(1,3) 為函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間B.(3,5) 為函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間C.函數(shù) y=f(x) 在 x=5

9、處取得極小值D.函數(shù) y=f(x) 在 x=0 處取得極大值【答案】 D 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【解析】【解答】由題意，函數(shù) y=f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知： 當(dāng) x1 時(shí)， f(x)0 ，函數(shù) 當(dāng) 1x0 ，函數(shù) 當(dāng) 3x5 時(shí)， f(x)5 時(shí)， f(x)0 ，函數(shù) 所以函數(shù) f(x) 單調(diào)遞減區(qū)間為 (,1),(3,5) ，單調(diào)遞增區(qū)間為 (1,3),(5,+) ，且函數(shù) f(x) 在 x=1 和 x=5 取得極小值，在 x=3 取得極大值。故答案為：D 【分析】利用函數(shù) y=f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù) f(

10、x) 單調(diào)遞減區(qū)間為 (,1),(3,5) ，單調(diào)遞增區(qū)間為 (1,3),(5,+) ，再利用函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而得出函數(shù) f(x) 在 x=1 和 x=5 取得極小值，在 x=3 取得極大值，從而選出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)。11.已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（ ） A.i+B.復(fù)數(shù) z=3i 的虛部為 iC.若 z=(1+2i)2 ，則復(fù)平面內(nèi) D.已知復(fù)數(shù)z滿足 |z1|=|z+1| ，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線 【答案】 A,D 【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)求模 【解析】【解答】A選項(xiàng)， i+iB選項(xiàng)， z 的虛部為 1 ，B選

11、項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)， z=1+4i+4i2=3+4i,D選項(xiàng)， |z1|=|z+1|=|z(1)| 表示 z 到 A(1,0) 和 B(1,0) 兩點(diǎn)的距離相等，故 z 的軌跡是線段 AB 的垂直平分線，D選項(xiàng)正確.故答案為：AD 【分析】 利用虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)定義判斷B；利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)z進(jìn)一步求得 z的坐標(biāo)判斷C；由復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷D12.已知空間四點(diǎn) O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,1),C(3,2,1) ，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A.OAOB=2B.cos=2【答案】 A,B,C 【考點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，

12、點(diǎn)到直線的距離公式，共線向量與共面向量 【解析】【解答】 OA=(0,1,2),OAcosBC=(1,2,2) ， OBBC=21+02+(1)2=0 ，所以 OBBC ， OC=(3,2,1)假設(shè)若O，A，B，C四點(diǎn)共面，則 OA,OB,則 2y=3故答案為：ABC 【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出數(shù)量積的值；再利用數(shù)量積求向量夾角公式結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出兩向量的夾角；再利用數(shù)量積為0兩向量垂直結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而證出兩向量垂直，再結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)O到直線 BC 的距離；再利用假設(shè)法，若O，A，B，C四點(diǎn)共面則兩向量共面，再結(jié)合平面

13、向量基本定理，進(jìn)而推出方程無(wú)解，得出 O，A，B，C四點(diǎn)不共面，進(jìn)而選出說(shuō)法正確的選項(xiàng)。三、填空題（共4題；共20分）13.若 A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 為 BC 的中點(diǎn)， |AD|= _. 【答案】10【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式 【解析】【解答】因?yàn)?A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 為 BC 的中點(diǎn)， 所以 D 的坐標(biāo)為 D(1+32,22故答案為： 10。 【分析】利用已知條件結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，從而求出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用空間兩點(diǎn)求距離公式，從而求出|AD|的長(zhǎng)。14.函數(shù) f(x)=alnxx 的圖象在

14、x=1 處的切線方程為 y=x2 ，則 【答案】 2 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【解析】【解答】依題意 f(x)=ax1 ，由于函數(shù) f(x)=alnxx 的圖象在 x=1故答案為：2。 【分析】利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線的斜率，再利用函數(shù) f(x)=alnxx 的圖象在 x=1 處的切線方程為 15.定義在 R 上的連續(xù)函數(shù) f(x) 滿足 f(1)=2 ，且 f(x) 在 R 上的導(dǎo)函數(shù) f(x)1 ，則不等式 f(x)x+1 的解集為_(kāi) 【答案】x|x1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【解析】【解答】設(shè) (x)=f(x)x1 ，則 /(x)=f/(x)1x+1

15、等價(jià)于 f(x)x10 ，即 (x)(1) ，所以 x1【分析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。主要是要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)行求解。16.已知 f(x)=x2+lnx+mx1【答案】m3【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【解析】【解答】 f(x)=2x+1x+m=即 2x2+mx+10 在 x(1,2)由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知 y=2x+1x 在 (1,2) 單調(diào)遞增，所以 所以 m3 ，即 m3 。故答案為： m3 。 【分析】利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù) f(x)=x2+lnx+mx1 在區(qū)間 (1,2) 上為單調(diào)遞增函數(shù)，得出 f(x)0 在 x(

16、1,2) 時(shí)恒成立，即 2x2+mx+10 在 四、解答題（共6題；共70分）17.已知向量 a 與 b 的夾角 =34 ，且 |a（1）求 ab ， （2）求 a 與 a+【答案】 （1）解：由已知，得 a|a（2）解：設(shè) a 與 a+b 的夾角為 則 cos=因此， a 與 a+b 的夾角的余弦值為 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角 【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的定義可計(jì)算得出 ab 的值，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算得出 |a18.如圖，四邊形 ABCD 為正方形， PD 平面 ABCD ，點(diǎn) E,F 分別為 AD,PC 的中點(diǎn)，且 DC=1 ， P

17、C=2（1）證明： DF/ 平面 PBE（2）求二面角 APBC 的大小. 【答案】 （1）解：證明：取 PB 的中點(diǎn)為 G ，連接 EG,FG又 F 為 PC 的中點(diǎn)，所以 FG/BC ，且 因?yàn)?DE/BC ，且 所以 DE/FG ，且 故四邊形 DEGF 為平行四邊形，則 DF又 DF 平面 PBE ， EG 平面 PBE ，所以 DF/ 平面 PBE（2）因?yàn)?DC=1 ， PC=2 ， PD 平面 ABCD ，所以 而四邊形 ABCD 為正方形，所以可如圖建立空間直角坐標(biāo)系 DxyzA(1,0,0) ， B(1,1,0) ， P(0,0,1) ， C(0,1,0)所以 PB=(1,1

18、,1) ， PA=(1,0,1)設(shè)平面 APB 的一個(gè)法向量為 m=(x,y,z) ，則 x+yz=0 xz=0同理可得平面 PBC 的一個(gè)法向量為 n所以 cos由圖知二面角 APBC 為鈍角，則大小為 120【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角 【解析】【分析】（1） 取 PB 的中點(diǎn)為 G ，連接 EG,FG ， 又因?yàn)?F 為 PC 的中點(diǎn)，再利用中點(diǎn)作中位線的方法結(jié)合中位線的性質(zhì)，所以 FG/BC 且 FG=12BC所以 DE/FG 且 DE=FG ，故四邊形 DEGF 為平行四邊形，則 DF/EG ， 再利用線線平行證出線面平行，從而證出直線DF/ 平面 PBE

19、。 （2） 因?yàn)?DC=1 ， PC=2 ， PD 平面 ABCD ，所以 PD=1 ， 而四邊形 19.已知函數(shù) f(x)=ax3+bx+c 在 x=2（1）求 a 、 b 的值； （2）若 f(x) 有極大值 28 ，求 f(x) 在 3【答案】 （1）因 f(x)=ax3+bx+c 故 f(x)=3a故有 f(2)=0f(2)=c16 即 （2）知 f(x)=x312x+c ， f(x)=3x當(dāng) x(，2) 時(shí)， f當(dāng) x(2，2) 時(shí)， f當(dāng) x(2，+) 時(shí)， f由此可知 f(x) 在 x1=2 處取得極大值 f(x) 在 x2=2由題設(shè)條件知 16+c=28 得 c=12此時(shí) f(

20、3)=9+c=21 ， f(3)=9+c=3 ， f(2)=c16=4因此 f(x) 上 3，因 f(x)=ax3+bx+c 故 f(x)=3a故有 f(2)=0f(2)=c16 即 知 f(x)=x312x+c ， f(x)=3x當(dāng) x(，2) 時(shí)， f當(dāng) x(2，2) 時(shí)， f當(dāng) x(2，+) 時(shí)， f由此可知 f(x) 在 x1=2 處取得極大值 f(x) 在 x2=2由題設(shè)條件知 16+c=28 得 c=12此時(shí) f(3)=9+c=21 ， f(3)=9+c=3 ， f(2)=c16=4因此 f(x) 上 3，【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

21、的極值，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【解析】【分析】（1）利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而求出相應(yīng)的極值，再利用已知條件函數(shù) f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 處取得極值為 c16 ， 從而解方程組求出a,b的值。 （2)利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值，再利用已知條件函數(shù) f(x)20.某偏遠(yuǎn)貧困村積極響應(yīng)國(guó)家“扶貧攻堅(jiān)”政策，在對(duì)口幫扶單位的支持下建了一個(gè)工廠，已知每件產(chǎn)品的成本為 a 元，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為 x 元 (3x8) 時(shí)，年銷(xiāo)量為 (9x)2 萬(wàn)件.若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為 6 元時(shí)，預(yù)計(jì)年利潤(rùn)為 27（1）試求每件產(chǎn)品的成本

22、 a 的值； （2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)定為多少元時(shí)？年利潤(rùn) y （萬(wàn)元）最大，并求最大值 【答案】 （1）解：由題意可知，該產(chǎn)品的年利潤(rùn)為 y=(xa)(9x)2 ， 當(dāng) x=6 時(shí)， y=9(6a)=27 ，解得： a=3（2）解：由 y=(x3)(9x)2 ， 得： y由 y=0 ，得 x=5 或 當(dāng) x3,5) 時(shí)， y0 ，當(dāng) x(5,8 時(shí)， 所以當(dāng) x=5 時(shí)， ymax即每件產(chǎn)品的售價(jià)定為 5 元時(shí)，年利潤(rùn) y 最大，最大值為 32 萬(wàn)元.【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型 【解析】【分析】 （1）根據(jù)題意可得 (6a)(96)2=27 ， 解得a；21.如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形 ABCD 中， BAD=60 ， DEAB 于點(diǎn) E ，將 ADE 沿 DE 折起到 A1DE（1）求證： A1E 平面 （2）在線段 BD 上是否存在點(diǎn) P ，使平面 A1EP 平面 A1【答案】 （1）證明：因?yàn)?DEAB 于點(diǎn) E ， 所以 A1A1DBE ， EDBE ，且 BE 平面 A1BEAA1E 平面 （2）假設(shè)在線段 BD 上是否存在點(diǎn) P ，使平面 A1EP 平面 根據(jù)（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則 B(1,0,0),D(0,3,0),A設(shè) P(x,y,z),BP=BD(01) ，則 (x1,y,z)=(1,3,0) ，所以