函數(shù)奇偶性與單調(diào)性1

1、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一.知識總結(jié)1.函數(shù)的奇偶性（第必定義域必定關(guān)于原點對稱）(1)為奇函數(shù);為偶函數(shù);(2)奇函數(shù)在原點有定義(3)任一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)必然可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和即（奇）（偶）.函數(shù)的單調(diào)性(注:先確定定義域;單調(diào)性證明必然要用定義)(1)定義:區(qū)間上任意兩個值,若時有,稱為上增函數(shù),若時有,稱為上減函數(shù).(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法,即比差法;圖象法;單調(diào)性的運算性質(zhì)（實質(zhì)上是不等式性質(zhì)）;復合函數(shù)單調(diào)性判斷法規(guī).3.周期性:周期性主要運用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中,是

2、化歸思想的重要手段.求周期的重要方法:定義法;公式法;圖象法;利用重要結(jié)論:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a則b,T=2|a-b|.二.例題精講【例1】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).()求的值;()若對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.剖析：（）由于是奇函數(shù)，所以=0，即又由f（1）=-f（-1）知（）由（）知又由題設(shè)條件得：，即：，整理得上式對所有均成立，從而鑒識式【例2】設(shè)函數(shù)在處獲取極值2,試用表示和,并求的單調(diào)區(qū)間.解：依題意有而故解得從而。令，得或。由于在處獲取極值，故，即。（1）若，即，則當時，；（2）當時，；當時，；從而的單調(diào)增區(qū)間為；

3、單調(diào)減區(qū)間為若，即，同上可得，的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為【例3】(理)設(shè)函數(shù),若對所有的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍(文)談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性（理）解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，對函數(shù)g(x)求導數(shù)：g(x)ln(x1)1a，令g(x)0，解得xea11，(i)當a1時，對所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對x0，都有g(shù)(x)g(0)，即當a1時，關(guān)于所有x0，都有f(x)ax當a1時，關(guān)于0 xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對0 xea11，都有g(shù)(x)g(0)，即當a1時，不是對所有的x0，

4、都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是（，1解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成馬上為g(x)g(0)成立對g(x)求導數(shù)g(x)ln(x1)1a令g(x)0解得xea11，當xea11時，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當1xea11，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，所以要對所有x0都有g(shù)(x)g(0)充要條件為ea110由此得a1，即a的取值范圍是（，1（文）解：設(shè)，則，當時，則為增函數(shù)當時，則為減函數(shù)當時，為常量，無單調(diào)性【例4】(理)已知函數(shù),其中為常數(shù).()若,談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性;()若,且=4,試證:.(文)已知為定義在上的奇函數(shù)，當時，求的表達式.（理

5、）（文）解：為奇函數(shù)，當時，為奇函數(shù)三.牢固練習1.已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是()A.B.C.D.2.已知是周期為2的奇函數(shù),當時,設(shè)則()A.B.C.D.3.以下函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A.B.C.D.4.若不等式關(guān)于所有(0,)成立,則的取值范圍是()A.0B.2C.-D.-35.設(shè)是上的任意函數(shù),則以下表達正確的選項是()A.是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足,則的值為()A.1B.0C.1D.27.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱,記.若在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.8.(理)若

6、是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍是().9.關(guān)于上可導的任意函數(shù),若滿足,則必有()A.B.C.D.10.已知,則()A.B.C.D.11.已知函數(shù),若為奇函數(shù),則.12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).當時,則當時,.13.是定義在上的以3為周期的偶函數(shù),且,則方程=0在區(qū)間（0,6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是()A.5B.4C.3D.214.以下函數(shù)既是奇函數(shù),又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A.B.C.D.15.若函數(shù),則該函數(shù)在上是()A.單調(diào)遞減無最小值B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞加無最大值D.單調(diào)遞加有最大值16.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞加,則的取值范圍是()A.B.C.D.17.設(shè)是定義

7、在上的奇函數(shù),且的圖象關(guān)于直線對稱,則_.18.設(shè)函數(shù)()試判斷函數(shù)()試求方程在=0上滿足0，7上,只有的奇偶性;在閉區(qū)間-2005,2005,.上的根的個數(shù),且在閉區(qū)間,并證明你的結(jié)論.19.(理)已知,函數(shù)(1)當為何值時,獲取最小值？證明你的結(jié)論;(2)設(shè)在-1，1上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.(文)已知為偶函數(shù)且定義域為,的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱,當時,為實常數(shù),且.(1)求的剖析式;(2)求的單調(diào)區(qū)間;(3)若的最大值為12,求.20.已知函數(shù)的圖象過點（0,2）,且在點處的切線方程為.(1)21.已知向量求函數(shù)的剖析式;(2)求函數(shù)若函數(shù)求的取值范圍.的單調(diào)區(qū)間在區(qū)間（.1,1）

8、上是增函數(shù)22.(理)已知函數(shù),.若,且存在單調(diào)遞減區(qū)間,求的取值范圍.(文)已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的值.牢固練習參照答案1.C2.D3.A4.C5.D6.B7.D8.B9.C10.A11.a=12.-x-x414.D15.A16.B17.013.B18.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802

9、個解.19.(理)解：（I）對函數(shù)求導數(shù)得令得+2(1)2=0從而+2(1)2=0解適合變化時，、的變化以下表+00+遞加極大值遞減極小值遞加在=處獲取極大值，在=處獲取極小值。當0時，1,在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù),而當時=，當x=0時，.所以當時，獲取最小值（II）當0時，在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即，解得，于是在-1，1上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即的取值范圍是(文)解:(1)先求在上的剖析式設(shè)是上的一點,則點關(guān)于的對稱點為且所以得.再依照偶函數(shù)的性質(zhì),求當上的剖析式為所以(2)當時,因時,所以因,所以,所以而.所以在上為減函數(shù).當時,因,所以因所以,所以,即所以在上為增函數(shù)(3)由(2)知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),又由于偶函數(shù),所以所以在上的最大值由得.20.解：（）由的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的剖析式是（）解適合當故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù).21.解法1：依定義張口向上的拋物線，故要使在區(qū)間（1，1）上恒成立.解法2：依定義的圖象是張口向下的拋物線，22.(理)解：，則