由線連接的兩體運(yùn)動問題

1、由線連接的兩體運(yùn)動問題摘要：光滑的水平板開有光滑小孔，用細(xì)線穿過小孔將置于水平面上做勻速圓周運(yùn)動的物體與下垂物體連 接.當(dāng)下垂物體掛上另一物體后，體系將如何運(yùn)動，通過兩種方法對此體系的運(yùn)動問題進(jìn)行了解答.可以確定，下垂 物體掛上質(zhì)量適當(dāng)?shù)奈矬w后，下垂的物體隨后將做上下振動，置于水平面上的物體將做非圓周轉(zhuǎn)動.關(guān)鍵詞：圓周運(yùn)動 角動量守恒 機(jī)械能守恒1引言聯(lián)立式（1）（3）1引言(1)(7(1)(71 / 7&)g =7盤2(2)(4)(5)為加深學(xué)生對物理概念、定義、理論的理解與應(yīng) 用，大學(xué)物理教材都會設(shè)計或提煉出相關(guān)的練習(xí)題 供學(xué)生訓(xùn)練.然而，在設(shè)計題時不能想當(dāng)然，否則會 出現(xiàn)難以發(fā)現(xiàn)的錯誤.

2、下面這道題就是這種情況.【例題】光滑的水平板中央開一小孔，質(zhì)量為7 的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過光滑的小孔后掛一質(zhì) 量為71的物體.小球做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)半徑為% 時與71物體達(dá)到平衡.今在71的下方再掛一質(zhì)量 為7&的物體，如圖1所示.試問這時小球做勻速圓 周運(yùn)動的角速度3和半徑/為多少逆？圖1 運(yùn)動系統(tǒng)示意圖解析：在只掛重物71時，小球做圓周運(yùn)動的向 心力為71g，即71g =7%3&掛上7&后，則有重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動 量守恒.即71g3%=$ TOC o 1-5 h z / 271g（71 / 7& ） 7% 71/1 ,71 / 72/71 3=形一g （ 工 ）%

3、737/ 72 /以上的解題過程似乎正確，然而題目是有問題的，問題在于題目中已經(jīng)預(yù)先設(shè)想小球還能達(dá)到“勻 速圓周運(yùn)動”狀態(tài)，實際運(yùn)動并非如此.下面通過兩 種方法來處理問題.2 動力學(xué)方程如圖2所示，建立柱坐標(biāo)系，圓孔。為極點(diǎn)，z軸 正向垂直于平板向上.T所1.（X+%）g圖2 受力分析設(shè)Z時刻7的位矢為！，所受細(xì)線拉力為一 Ter，將71與72看成整體，則其位矢為（ i）ez， 所受繩子的拉力為Tez，l為細(xì)線長度.另設(shè)z時刻 7的速度為，71與72的速度為，而的徑向分量 等于H，因為= =C.對于 7 的動力KtKt學(xué)方程為7a = 7dr _ r ()2-_di2(d _=T( 6 )7a

4、 =1 d & d7r dZ( r dt/=%( 7 )( 37 1 / &7 &) + % a = T T71 /7& /7 _ 2(71 /72) +7 / 71 / 7&對71與72進(jìn)行受力分析，其動力學(xué)方程為T (71 + 72)+ =(71 / 72)；=d2(r %)(71 /7t(8)式(7)反映7在橫向不受力、徑向受力，角動 量守恒由式(7)得dtr27 1 +3%C =7 / 71 / 7&要確定=%對應(yīng)的r %可求解f(r) =;r2 br3 c = %其兩個真實根可由圖3所示求出.另外的最大值對應(yīng)的r處于七r%之間,可由(9)r $(;br=2) =%得到式中灸為常量，可

5、由7做圓周運(yùn)動的初始條件確定(=2%r0 = r%o %又 71g=竺0.由式(6)、(8)與(9)得r%(71 / 72)+(1%)dt !&7 1 /7 & /7 37 1 /7 & / 7對于該微分方程的解% 般令? =u =-，則dtd&7 1 +3%r = (=)!由此可見，r在零至最大值之間變化，即掛上 物體72后，實際上71與72隨后將做上下的振動， 而7將做繞圓孔。點(diǎn)的非圓周運(yùn)動.udu =積分得dudu drdu=u%則上式為dZdr dZdr71+r%(71 / 72)+ _71 /72 /7371 /72 /7dr (11)0時r的兩個真實根圖333 機(jī)械能守恒7 1+%

6、32(71 /7 2)+u =71 /72 /7 r 71 /72 /7 /C常數(shù)=可由初始時刻u常數(shù)=可由初始時刻u =0%r =r%確定(371 / 27&)r%(13)(14)(15)(12)!71/ 72 / 7 則7的徑向速度或71與72的速度為(371 /272)+ r%2(71 / 72)+r71 /7& /77 /71 /7&71+ r%(7 /7 1 / 7 &) &由此可見71與72的速度并非常量考慮極端情況71 # 72%由式(10)可見71與72的加速度趨近于+ ,近似自由落體運(yùn)動，它們的速度由式(14) 2 =2+(r% r)確定.對于一般情況，式(14)可以改寫為a

7、 r2 b r3 c r = 士3以桌面為勢能零點(diǎn)，由于3個物體構(gòu)成的系統(tǒng) 機(jī)械能守恒，有&70 (71 /7&)+% r%) = &72(71 /72)+%r)/ 2(71 /72)u2 (16) 在極坐標(biāo)系中7的速度為dr.d。V =Ter / r reodtdt2 & (dd 22 = (t) /r2 (t)2u =，加上式(9)，又71+ =，于是式(16)為dzr%(7 / 71 /72)(r)=式中式中7 1 + % / &(7 1 /7 &)+ ( % nil與m2的速度或m的徑向速度則為u C3m1 + 2m2)gr02(m1 + m2)gr_+ m2 m m + m2m1grlCm + 初1 + m2 )r2 _(17)結(jié)果與前相同.4 結(jié)論一個置于水平面上做勻速圓周運(yùn)動