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文檔簡介
1、第八章立體幾何初步數(shù)學(xué)必修第二冊RJA第一節(jié)基本立體圖形1.2019重慶萬州三中高二月考下列關(guān)于棱柱的說法中,正確的是 ()A.棱柱的所有面都是四邊形B.一個棱柱中只有兩個面互相平行C.一個棱柱至少有6個頂點、9條棱、5個面D.棱柱的側(cè)棱長不都相等知識點1棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征答案1.C【解析】A說法不正確,比如三棱柱的底面為三角形;B說法不正確,比如長方體中,相對側(cè)面互相平行,兩個底面互相平行;C說法正確,一個棱柱至少有6個頂點、9條棱、5個面;D說法不正確,由棱柱的定義可知,棱柱的側(cè)面為平行四邊形,側(cè)棱長都相等.故選C.2.設(shè)集合M=正四棱柱,N=長方體,P=直四棱柱,Q=正方體,則這
2、四個集合之間的關(guān)系是 ()A.PNMQB.QMNPC.PMNQD.QNMP知識點1棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征答案2.B【解析】根據(jù)定義知,正方體是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的長方體,長方體是特殊的直四棱柱,所以正方體正四棱柱長方體直四棱柱,故選B.3.2019山東德州陵城一中高二(上)月考若正棱錐底面邊長與側(cè)棱長相等,則該棱錐一定不是 ()A.正三棱錐B.正四棱錐C.正五棱錐D.正六棱錐知識點1棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征答案3.D【解析】因為正六邊形的中心與相鄰兩個頂點連接構(gòu)成等邊三角形,所以正六棱錐的側(cè)棱長應(yīng)大于底面邊長,所以當側(cè)棱長與底面邊長相等時,一定不是正六棱錐.故選D.知識點1棱
3、柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征答案5.2019湖北荊州中學(xué)高一月考下列命題中正確的個數(shù)是()由五個面圍成的多面體只能是三棱柱;僅有一組對面平行的五面體是棱臺;有一個面是多邊形,其余各面是三角形的幾何體是棱錐.A.0B.1C.2D.3知識點1棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征答案5.A【解析】由五個面圍成的多面體也可以是四棱錐,故錯誤;僅有一組對面平行的五面體也可能是三棱柱,故錯誤;有一個面是多邊形,其余各面是具有公共頂點的三角形的幾何體是棱錐,故錯誤.故選A.6.2019河南洛陽一高高一月考如圖,四邊形AA1B1B為矩形,AA1=3,CC1=2,CC1AA1,CC1BB1,這個幾何體是棱柱嗎?若是棱柱,指出
4、是幾棱柱;若不是棱柱,作出一個過點C1的截面,截去一部分,使剩余部分是一個側(cè)棱長為2的三棱柱,并指出截去的幾何體的名稱.知識點1棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征答案6.【解析】因為這個幾何體中沒有兩個互相平行的面,所以這個幾何體不是棱柱.如圖,在AA1上取點E,使AE=2,在BB1上取點F,使BF=2,連接C1E,EF,C1F,則過點C1,E,F的截面將原幾何體分成兩部分,其中一部分是三棱柱ABC-EFC1,其側(cè)棱長為2;另一部分是四棱錐C1-EA1B1F,即截去的幾何體是四棱錐.7.(多選)下列關(guān)于圓柱的說法中,正確的是 ()A.分別以矩形(非正方形)的長和寬所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形
5、成的面所圍成的兩個圓柱是兩個不同的圓柱B.用平行于圓柱底面的平面截圓柱,截面是與底面全等的圓面C.用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱,截面是一個圓面D.以矩形的一組對邊中點的連線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)180而形成的面所圍成的幾何體是圓柱知識點 2圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征答案7.ABD【解析】用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱,截面不是圓面,如用垂直于圓柱底面的平面截圓柱,截面是矩形,故C錯誤,顯然A,B,D正確.8.給出下列命題:過球面上任意兩點只能作球的一個大圓;球的任意兩個大圓的交點的連線是球的直徑;用不過球心的平面截球,球心和截面圓心的連線垂直于截面;球面可看作空間中到一
6、個定點的距離等于定長的點的集合.其中正確命題的個數(shù)是 ()A.4B.3C.2D.1知識點 2圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征答案8.B【解析】過球的直徑的兩端點可作無數(shù)個大圓,故不正確,易知均正確,即正確的命題有3個.9.下列命題:圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個;用任意一個平面去截圓錐得到的截面一定是一個圓;圓臺的任意兩條母線的延長線,可能相交也可能不相交;球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段.其中正確的個數(shù)為 ()A.0B.1C.2D.3知識點 2圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征答案9.C【解析】錯誤,因為截面可能是一個三角形;錯誤,因為圓臺的任意兩條母線的延長線必相交于一點;正確.故
7、選C.10.如圖所示的組合體,其結(jié)構(gòu)特征是 ()A.左邊是三棱臺,右邊是圓柱B.左邊是三棱柱,右邊是圓柱C.左邊是三棱臺,右邊是長方體D.左邊是三棱柱,右邊是長方體知識點3 簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征答案10.D【解析】根據(jù)三棱柱和長方體的結(jié)構(gòu)特征,可知此組合體左邊是三棱柱,右邊是長方體. 11.如圖所示的平面中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)軸(虛線)旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體為 ()A.一個球B.一個球挖去一個圓柱C.一個圓柱D.一個球挖去一個長方體知識點3 簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征答案11.B【解析】由題意知形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱.1.(多選)如圖所示,觀察四個幾何體,其中判斷正確的是 ()A.是棱臺B.是圓
8、臺C.是棱錐D.是棱柱答案1.CD【解析】題圖中的幾何體不是由棱錐被一個平面所截得到的,且上、下底面不是相似的圖形,所以不是棱臺;題圖中的幾何體上、下兩個面不平行,所以不是圓臺;題圖中的幾何體是三棱錐;題圖中的幾何體前、后兩個面平行,其他面都是平行四邊形,且每兩個相鄰平行四邊形的公共邊都互相平行,所以是棱柱.2.下列結(jié)論中正確的是()A.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個圓錐B.以直角梯形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個圓臺C.以平行四邊形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個
9、圓柱D.圓面繞其一條直徑所在直線旋轉(zhuǎn)180后得到的幾何體是一個球答案2.D【解析】在選項A中,若繞直角三角形的斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則得到的幾何體不是一個圓錐,故選項A錯誤;在選項B中,若繞直角梯形的上底所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則得到的幾何體不是圓臺,故選項B錯誤;在選項C中,若平行四邊形的一個內(nèi)角為銳角,則繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,得到的幾何體不是圓柱,故選項C錯誤;在選項D中,圓面繞其一條直徑所在直線旋轉(zhuǎn)180后得到的幾何體是一個球,故選項D正確.故選D.3.2019江西南昌月考給出下列說法:有一條側(cè)棱與底面兩邊垂直的棱柱是直棱柱;底面為正多邊形的棱柱是正棱柱;頂點在底面上的射影到底面各頂點的距
10、離相等的棱錐是正棱錐.其中說法正確的個數(shù)是 ()A.0B.1C.2D.3答案3.A【解析】若側(cè)棱與底面兩條平行的邊垂直,則側(cè)棱與底面不一定垂直,此時的棱柱不一定是直棱柱,所以錯誤;底面為正多邊形的直棱柱為正棱柱,所以錯誤;頂點在底面上的射影到底面各頂點的距離相等表示頂點在底面上的射影落在底面的外心上,底面不一定是正多邊形,所以該棱錐不一定是正棱錐,所以錯誤.故選A.4.2019河北石家莊一中高一期中考試已知正四面體內(nèi)接于一個球,某學(xué)生畫出四個過球心的平面截球與正四面體所得的圖形如圖所示,則 ()A.都是正確的B.只有是正確的C.只有是錯誤的D.只有是正確的答案4.C【解析】正四面體內(nèi)接于球,所
11、以四個頂點都在球面上.(1)若截面是過球心且平行于正四面體某一面的平面,則截面可能是題圖;(2)若截面是過球心和正四面體的兩個頂點的平面,則截面可能是題圖;(3)若截面是過正四面體的一個頂點和球心的平面,則截面可能是題圖;(4)若正四面體的三個頂點都在截面上,則截面不過球心,與題意矛盾,故題圖不正確.故選C.5.如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面,下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體,現(xiàn)用一個垂直于圓柱底面的平面去截這個組合體,則截面圖形可能是(填序號).答案5.【解析】當垂直于圓柱底面的平面經(jīng)過圓錐的頂點時,截面圖形如圖;當垂直于圓柱底面的平面不經(jīng)過圓錐的頂點時,截面圖
12、形可能為圖.6.在一個長方體形的容器中,里面裝有少量的水,現(xiàn)在將容器繞著其底部的一條棱傾斜.(1)在傾斜的過程中,水面的形狀不斷變化,可能是矩形,也可能變成不是矩形的平行四邊形,對嗎?(2)在傾斜的過程中,水的形狀也不斷變化,可能是棱柱,也可能變?yōu)槔馀_或棱錐,對嗎?(3)如果傾斜時,不是繞著底部的一條棱,而是繞著其底面的一個頂點,上面的第(1)問和第(2)問對不對?答案6.【解析】(1)不對.水面的形狀就是用一個與棱(長方體形容器傾斜時固定不動的棱)平行的平面截長方體時截面的形狀,該截面的形狀一定是矩形.(2)不對.水的形狀就是用與棱(長方體形容器傾斜時固定不動的棱)平行的平面將長方體截去一部
13、分后,剩余幾何體的形狀,剩余幾何體一定是棱柱,水比較少時,是三棱柱,水比較多時,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱臺或棱錐.(3)用任意一個平面去截長方體,其截面形狀可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形,因而水面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形;水的形狀可能是棱錐,也可能是棱柱,但不可能是棱臺.故(1)對,(2)不對.7.2019陜西西安鐵一中高一月考如圖所示,正三棱錐P-ABC的底面邊長為a,高PO為h,求側(cè)棱PA的長和斜高PD的長.答案8.一個圓臺的母線長為12 cm,兩底面面積分別為4 cm2和 25 cm2.(1)求圓臺的高;(2)求截得此圓臺的圓錐的母線長.答案第二節(jié)立體圖
14、形的直觀圖1.對于用“斜二測畫法”畫平面圖形的直觀圖,下列說法正確的是 ()A.等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形B.梯形的直觀圖可能不是梯形C.正方形的直觀圖為平行四邊形D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形知識點1 水平放置的平面圖形的直觀圖答案1.C【解析】根據(jù)“斜二測畫法”的作圖步驟可知,平行于x軸和y軸的線段的平行性不變,所以正方形的直觀圖的對邊仍是平行的,所以正方形的直觀圖為平行四邊形,故選C.2.2020浙江寧波四中高二期中考試如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖,D是ABC中BC邊上的一點,且DCDC,ABACAD, ABC的AB,AD,AC三條線段中,最長的是AB,最短的是AD.故
15、選C.知識點1 水平放置的平面圖形的直觀圖答案4.用斜二測畫法畫出圖中水平放置的四邊形OABC的直觀圖.知識點1 水平放置的平面圖形的直觀圖答案4.【解析】(1)畫x軸,y軸,兩軸相交于點O,使xOy=45.(2)在x軸上取點H,使OH=3,作HAy軸,并取AH=1(A在x軸下方),在y軸正半軸上取點C,使OC=1,在x軸正半軸上取點B,使OB=4,順次連接O,A,B,C,如圖1所示.(3)擦去作為輔助線的坐標軸、線段AH、點H,便得到四邊形OABC的直觀圖OABC,如圖2所示.知識點2直觀圖的還原與計算答案6.2019重慶巴蜀中學(xué)月考如圖,用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正
16、方形,則原圖的形狀是 ()知識點2直觀圖的還原與計算答案6.A【解析】根據(jù)斜二測畫法,知在y軸上的線段長度為直觀圖中y軸上相應(yīng)線段長度的2倍,故選A.7.如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖,請畫出該四邊形的原圖形,并求出原圖形的面積.知識點2直觀圖的還原與計算答案知識點2直觀圖的還原與計算答案【名師點睛】將水平放置的平面圖形的直觀圖還原成原來的圖形,其作法就是逆用斜二測畫法,也就是使平行于x軸的線段的長度保持不變,而平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼?倍.作圖時要充分利用給定圖形中與坐標軸平行或在坐標軸上的線段,以及一些對確定圖形起關(guān)鍵作用的點.8.
17、已知一個建筑物上部為四棱錐,下部為長方體,且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣,長方體的長、寬、高分別為20 m,5 m,10 m,四棱錐的高為 8 m.如果按1500 的比例畫出它的直觀圖,那么在直觀圖中,長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為 ()A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm知識點3空間幾何體的直觀圖答案8.C【解析】由比例尺可知,長方體的長、寬、高和棱錐的高分別為4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再結(jié)合直觀圖,知
18、在直觀圖中,長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.【名師點睛】畫空間幾何體的直觀圖時,已知圖形中平行于x軸或z軸的線段,在直觀圖中保持長度不變,平行于y軸的線段,長度變?yōu)樵瓉淼囊话?9.已知一棱柱的底面是邊長為3 cm的正方形,各側(cè)面都是矩形,且側(cè)棱長為4 cm,試用斜二測畫法畫出此棱柱的直觀圖.知識點3空間幾何體的直觀圖答案1.2019山西太原五中高一(上)期末考試下列選項中的ABC均是水平放置的邊長為1的正三角形,在斜二測畫法下,其直觀圖不是全等三角形的一組是 ()答案2.如圖,矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,BC與y軸交于點D
19、,其中OA=6,OC=2,則原圖形OABC是 ()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形答案答案答案5.用斜二測畫法畫出如圖所示的水平放置的四邊形OBCD的直觀圖.答案易錯疑難集訓(xùn)(一)集訓(xùn)(一)1.一個正三角形和它的內(nèi)切圓如圖所示,將陰影部分繞直線l旋轉(zhuǎn)180得到一個幾何體,請描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.易錯點對空間幾何體的結(jié)構(gòu)認識不準確答案1.【解析】正三角形三邊繞直線l旋轉(zhuǎn)180形成的面所圍成的幾何體是圓錐,圓繞直線l旋轉(zhuǎn)180形成的面所圍成的幾何體是球體,所以將陰影部分繞直線l旋轉(zhuǎn)180得到的幾何體是圓錐挖去一個與圓錐底面和側(cè)面均相切的球.2.2020江西南昌二中調(diào)考試從如圖所示的正方體ABC
20、D-A1B1C1D1的八個頂點中取若干個點,連接后構(gòu)成以下空間幾何體,并且用適當?shù)姆枌⑵浔硎境鰜?(1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐;(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐;(3)三棱柱.易錯點對空間幾何體的結(jié)構(gòu)認識不準確答案2.【解析】(1)如圖所示,三棱錐A1-AB1D1(答案不唯一).易錯點對空間幾何體的結(jié)構(gòu)認識不準確答案(2)如圖所示,三棱錐B1-ACD1(答案不唯一).(3)如圖所示,三棱柱ABD-A1B1D1(答案不唯一).1.如圖,菱形ABCD的邊長為2,A=45,且它是一個水平放置的四邊形利用斜二測畫法得到的直觀圖,請畫出這個四邊形的原圖形,并求出原圖形的面積.疑難點平面圖形的
21、直觀圖與其原圖的面積關(guān)系疑難點平面圖形的直觀圖與其原圖的面積關(guān)系答案1.【解析】畫軸.在菱形ABCD中,分別以AB,AD所在的直線為x軸、y軸建立坐標系xOy(A與O重合),如圖1,另建立平面直角坐標系xOy,如圖2.取點.在坐標系xOy中,分別在x軸、y軸上取點B,D,使AB=AB(A與O重合),AD=2AD.過點D作DCx軸,且DC= DC.成圖.連接BC,得到的矩形ABCD即為這個四邊形的原圖形.原圖形的面積S=24=8.2.用斜二測畫法得到的多邊形A1A2An的直觀圖為多邊形A1A2An,試探索多邊形A1A2An與多邊形A1A2An的面積之間有無確定的數(shù)量關(guān)系.疑難點平面圖形的直觀圖與
22、其原圖的面積關(guān)系答案疑難點平面圖形的直觀圖與其原圖的面積關(guān)系答案綜上,可知多邊形A1A2An與其直觀圖多邊形A1A2An的面積之間有確定的數(shù)量關(guān)系.【練后反思】利用斜二測畫法畫水平放置的幾何體的直觀圖時,由于不同的直角坐標系的建系方式,得到直觀圖的形狀、長度關(guān)系可能不同,但是其與原圖之間的面積關(guān)系是確定的.課時1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積第三節(jié)簡單幾何體的表面積與體積知識點 1棱柱、棱錐、棱臺的表面積答案知識點 1棱柱、棱錐、棱臺的表面積答案3.已知正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面面積的2倍,高為3.求此正三棱錐的表面積.知識點 1棱柱、棱錐、棱臺的表面積答案4.已知四棱臺的上、下底面分別
23、是邊長為4和8的正方形,側(cè)面是腰長為8的等腰梯形,求該四棱臺的表面積.知識點 1棱柱、棱錐、棱臺的表面積答案5.若棱臺的上、下底面面積分別為4,16,高為3,則該棱臺的體積為 ()A.26B.28C.30D.32知識點 2棱柱、棱錐、棱臺的體積答案知識點 2棱柱、棱錐、棱臺的體積答案知識點 2棱柱、棱錐、棱臺的體積答案8.已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為20和30的正三角形,側(cè)面是全等的等腰梯形,且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和,求棱臺的高和體積.知識點 2棱柱、棱錐、棱臺的體積答案知識點 2棱柱、棱錐、棱臺的體積答案答案2.2019湖北荊州期中考試三棱臺ABC-A1B1C1中,A1B1
24、AB=12,則三棱錐A1-ABC,A1-B1C1B,A1-C1BC的體積之比為 ()A.111B.211C.421D.412答案答案4.如圖,半徑為2的半球內(nèi)有一個內(nèi)接正六棱錐P-ABCDEF,則此正六棱錐的側(cè)面積是.答案5.用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住,不將紙撕開,則所需紙的最小面積是.答案6.如圖,在幾何體ABCFED中,AB=8,BC=10,AC=6,側(cè)棱AE,CF,BD均垂直于底面ABC,BD=3,FC=4,AE=5,求該幾何體的體積.答案【名師點睛】當給出的幾何體為不規(guī)則幾何體或體積不方便直接求解時,可以采用等體積法、補形法或分割法,化復(fù)雜的幾何體為簡單的幾何
25、體(柱體、錐體、臺體等),化“不規(guī)則”為“規(guī)則”.利用簡單幾何體的體積的和或差求解.答案課時2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積第三節(jié)簡單幾何體的表面積與體積知識點 1圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積答案知識點 1圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積答案3.已知某圓臺的上、下底面面積分別是,4,側(cè)面積是6,則這個圓臺的體積是.知識點 1圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積答案4.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,側(cè)面積為84,則圓臺較小的底面半徑為.知識點 1圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積答案4.7【解析】設(shè)圓臺較小的底面半徑為r,因為圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長l=
26、3,側(cè)面積為84,所以S側(cè)=(r+3r)l=84,解得r=7.5.將一定量的水倒入底面半徑為4 cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為8 cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面的高度是cm.知識點 1圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積答案6.將一個圓形紙片沿半徑剪開為兩個扇形,其圓心角之比為34,再將它們卷成兩個圓錐側(cè)面,則這兩個圓錐的體積之比為.知識點 1圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積答案知識點 2球的表面積和體積答案8.2019湖北十堰模擬若一個實心球?qū)Π敕殖蓛砂牒蟊砻娣e增加了4,則原來實心球的表面積為 ()A.4B.8C.12D.16知識點 2球的表面積和體積答案8.B【解
27、析】設(shè)實心球的半徑為R.由題意可得,2R2=4,原來實心球的表面積為4R2=8.故選B.9.2019河北保定一中高二(上)月考若兩個球的表面積之差為48,其直徑所在圓的周長之和為12,則這兩個球的半徑之差為 ()A.4B.3C.2D.1知識點 2球的表面積和體積答案10.已知正方體、球、底面直徑與母線相等的圓柱,它們的表面積相等,則它們的體積的大小關(guān)系是 ()A.V正方體=V圓柱=V球B.V正方體V圓柱V圓柱V球D.V圓柱V正方體V球知識點 2球的表面積和體積答案11.2019江西高安中學(xué)高一期末考試已知H是球O的直徑AB上一點,AHHB=12,過點H的平面截球O所得截面圓的圓心為點H,且截面
28、圓的面積為4,則球O的表面積為.知識點 2球的表面積和體積答案12.已知球心到過球面上A,B,C三點的截面的距離等于球的半徑的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面積.知識點 2球的表面積和體積答案13.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,則球O的表面積為 ()A.153B.160C.169D.360知識點 3球的切、接問題答案14.如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍,則圓錐的側(cè)面積S1和球的表面積S2之比為 ()A.43B.31C.32D.94知識點 3球的切、接問題答案15.圓柱形容器內(nèi)盛有高為8 cm的
29、水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是cm.知識點 3球的切、接問題答案知識點 3球的切、接問題答案17.有三個球,已知球O1內(nèi)切于正方體,球O2與這個正方體各棱都相切,球O3過這個正方體的各個頂點,求球O1、球O2、球O3的表面積之比.知識點 3球的切、接問題答案知識點 3球的切、接問題答案知識點 4組合體的表面積和體積知識點 4組合體的表面積和體積答案19.如圖所示,一個正方體的棱長為2,以相對兩個面的中心連線為軸,鉆一個直徑為1的圓柱形孔,則所得幾何體的表面積為.知識點 4組合體的表面積和體積答案19.24+1.5【解析】
30、幾何體的表面積為S=622-0.522+20.52=24+1.5.20.2020江蘇徐州高一(下)期末考試現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m,當PO1為多少時,下部的正四棱柱的側(cè)面積最大?最大側(cè)面積是多少?知識點 4組合體的表面積和體積知識點 4組合體的表面積和體積答案答案答案答案答案5.2019山東濰坊高一期末考試九章算術(shù)是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著,
31、書中有如下問題:“今有委菽依垣,下周三丈,高七尺.問:積及為菽各幾何?”其意思為:“現(xiàn)將大豆靠墻堆放成半圓錐形,底面半圓的弧長為3丈,高7尺,問這堆大豆的體積是多少立方尺?應(yīng)有大豆多少斛?”已知圓周率約為3,1丈等于10尺,1斛大豆的體積約為2.5立方尺,估算出堆放的大豆為斛.答案答案7.已知球與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切,且球的表面積與圓臺的側(cè)面積之比為34,求球的體積與圓臺的體積之比. 答案8.一倒置圓錐體的母線長為 10 cm,底面半徑為6 cm.(1)求圓錐體的高;(2)若有一球剛好放進該圓錐體(球與圓錐的底面相切)中,求這個球的半徑以及此時圓錐體剩余空間的體積.答案易錯疑難集訓(xùn)(二
32、)集訓(xùn)(二)1.2019山東聊城高一期末考試如圖所示(單位:cm),直角梯形ABCD的左上角剪去四分之一圓,求剩下的陰影部分繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積.易錯點求幾何體的表面積時考慮不全答案2.如圖所示,在邊長為4的正三角形ABC中,E,F分別是AB,AC的中點,D為BC的中點,H,G分別是BD,CD的中點,若將正三角形ABC繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)180,求陰影部分形成的幾何體的表面積.易錯點求幾何體的表面積時考慮不全答案【練后反思】幾何體的表面積是各個面的面積之和,因此求組合體的表面積時切忌直接套用柱體、錐體、臺體、球體的表面積公式,而應(yīng)先分析該幾何體由幾部分組成,幾何體各個面間有
33、無重疊,再結(jié)合相應(yīng)幾何體選擇公式求解.1.2019寧夏石嘴山市三中高一月考我國古代數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)中有這樣一個問題:“今有木長二丈,圍之三尺.葛生其下,纏木七周,上與木齊.問葛長幾何?”其意思為:“圓木長2丈,圓周長為3尺,葛藤從圓木的底部開始向上生長,繞圓木7周,頂部剛好與圓木平齊,問葛藤長為多少?”若1丈=10尺,則葛藤最少長 ()A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺疑難點1空間幾何體展開圖的應(yīng)用答案2.如圖,在正三棱錐P-ABC中,APB=30,側(cè)棱長為a,E,F分別是PB,PC上的點,求AEF周長的最小值.疑難點1空間幾何體展開圖的應(yīng)用答案【練后反思】研究空間幾何體表面上兩點之間的
34、最短路線問題時,常常要借助幾何體的側(cè)面展開圖,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.3.如圖,圓臺上、下底面半徑分別為5 cm,10 cm,母線長為20 cm,從母線AB的中點M拉一條細繩,圍繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)至下底面的點B,求B,M間細繩的最短長度.疑難點1空間幾何體展開圖的應(yīng)用答案4.如圖,已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截,剩下部分母線長的最大值為a,最小值為b,那么圓柱被截后剩下部分的體積是多少?疑難點2割補法求幾何體的體積答案5.如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分別為AB,AC的中點,平面EB1C1F將三棱柱分成體積分別為V1,V2的兩部分,那么V1V2等于多少?疑難點2割補法
35、求幾何體的體積疑難點2割補法求幾何體的體積答案【練后反思】當所給幾何體的體積不容易計算時,可根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征將其分解成多個體積易求的幾何體,或者補成體積易求的幾何體,這種解法就是割補法,割補法求體積體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.疑難點3等體積法求棱錐的體積答案7.如圖,已知E,F分別是三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1和CC1上的點,且B1E=CF,三棱柱ABC-A1B1C1的體積為m,求四棱錐A-BEFC的體積. 疑難點3等體積法求棱錐的體積疑難點3等體積法求棱錐的體積答案疑難點3等體積法求棱錐的體積答案疑難點4有關(guān)球的計算問題答案9.已知圓柱的上底面圓周經(jīng)過正三棱錐P-ABC的三條側(cè)
36、棱的中點,下底面圓心為此三棱錐底面中心O,若三棱錐P- ABC的高為該圓柱外接球半徑的2倍,則該三棱錐的外接球與圓柱外接球的半徑之比為 ()A.74B.21C.31D.53疑難點4有關(guān)球的計算問題答案10.2020福建福州高三(上)期末質(zhì)量檢測端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗,粽子又稱粽籺,古稱角黍.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為;若該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最大值為.疑難點4有關(guān)球的計算問題答案疑難點4有關(guān)球的計算問題疑難點4有關(guān)球的計算問題答案課時1平面第四節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
37、1.若點A在直線a上,直線a在平面內(nèi),點B在平面內(nèi),則可以用符號表示為 ()A.Aa,a,BB.Aa,a,BC.Aa,a,BD.Aa,a,B知識點1點、直線、平面之間位置關(guān)系的表示答案1.B【解析】點A在直線a上,直線a在平面內(nèi),點B在平面內(nèi),用符號表示為Aa,a,B.2.下圖中正確表示兩個相交平面的是 ()知識點1點、直線、平面之間位置關(guān)系的表示答案2.D【解析】A中沒有畫出相交平面的交線,且不可見的線沒有畫成虛線;B中不可見的線沒有畫成虛線;C中虛、實線沒按畫圖規(guī)則畫;D中交線及實、虛線均正確.故選D.3.按下列敘述畫出圖形(不必寫出畫法):=m,a,b,am=N,Mm,bm.知識點1點、
38、直線、平面之間位置關(guān)系的表示答案3.【解析】4.2020江西宜春昌黎實驗學(xué)校高一(上)月考空間兩兩相交的三條直線,可以確定的平面數(shù)是 ()A. 1B. 2C. 3D. 1或3知識點 2 基本事實13及其推論的應(yīng)用答案4.D【解析】當三條直線相交于同一點時,若三條直線不共面,如長方體中共頂點的三條棱所在的三條直線,則確定3個平面;若三條直線共面,則確定1個平面.當三條直線兩兩相交于三個不同的點時,根據(jù)不共線的三點確定1個平面,可知確定1個平面.故選D.5.下列各圖均是正六棱柱,P,Q,R,S分別是其所在棱的中點,則這四個點不共面的圖形是 ()知識點 2 基本事實13及其推論的應(yīng)用答案5.D【解析
39、】在選項A,B,C中,由棱柱、正六邊形、中位線的性質(zhì),知均有PSQR,即在此三個圖形中,P,Q,R,S共面,故選D.6.已知A,B,C,D四點和直線l,且Al,Bl,Cl,Dl,求證:直線AD,BD,CD共面.知識點 2 基本事實13及其推論的應(yīng)用答案6.【證明】因為Dl,所以直線l與點D可以確定平面,如圖所示,因為Al,所以A,又D,所以AD.同理可證BD,CD,所以AD,BD,CD在同一平面內(nèi),即直線AD,BD,CD共面.7.如圖所示,ABCD,AB=B,CD=D,AC=E.求證:B,E,D三點共線.知識點 2 基本事實13及其推論的應(yīng)用答案7.【證明】ABCD,AB,CD共面.設(shè)AB,C
40、D,AC.又EAC,E.由AB=B,CD=D,AC=E,可知B,E,D為平面與平面的公共點,所以B,E,D三點共線.8.2019安徽安慶一中高一檢測已知三個不重合的平面,三條不同的直線a,b,c,若=c,=a,=b,且a和b不平行.求證:a,b,c三條直線必過同一點.知識點 2 基本事實13及其推論的應(yīng)用答案8.【證明】=b,=a,a,b.又直線a和直線b不平行,a,b必相交.設(shè)ab=P,如圖,則Pa,Pb.a,b,P,P.又=c,Pc,即直線c經(jīng)過點P.a,b,c三條直線必過同一點.1.(多選)已知A,B,C表示不同的點,l表示直線,表示不同的平面,則下列推理正確的是 ()A.Al,A,Bl
41、,BlB.A,A,B,B=ABC.l,AlAD.A,Al,ll=A答案1.ABD【解析】顯然A,B,D正確.C中l(wèi)分兩種情況:l與相交或l.當l與相交時,若交點為A,則A,C錯誤.故選ABD.2.設(shè)P1,P2,P3,P4為空間中的四個不同點,則“P1,P2,P3,P4中有三點在同一條直線上”是“P1,P2,P3,P4在同一個平面內(nèi)”的 ()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件答案2.A【解析】由過一條直線和直線外一點有且只有一個平面,可得P1,P2,P3,P4在同一個平面內(nèi),故充分條件成立.由過兩條平行直線有且只有一個平面可得,當P1l1,P2l1,P3l2
42、、P4l2,l1l2時,P1,P2,P3,P4在同一個平面內(nèi),但P1, P2,P3,P4中無三點共線,故必要條件不成立.故選A.3.如圖,在底面是平行四邊形的四棱錐S-ABCD中,O為AC,BD的交點,P,Q分別為SAD,SBC的重心.求證:S,P,O,Q四點共面.答案3.【證明】如圖,連接SP,SQ并延長,分別交AD,BC于點M,N,連接MN.因為P,Q分別為SAD,SBC的重心,所以M,N分別為AD,BC的中點,所以O(shè)MN.由棱錐的性質(zhì),知點S,M,N不共線,所以確定一個平面SMN,所以MN平面SMN,所以O(shè)平面SMN.又PSM,QSN,SM平面SMN,SN平面SMN,所以P平面SMN,Q
43、平面SMN,所以S,P,O,Q四點共面.【名師點睛】證明空間中的點(或直線)共面問題,通常采用以下兩種方法:根據(jù)已知條件先確定一個平面,再證明其他點(或直線)也在這個平面內(nèi);分別過某些點(或直線)作兩個平面,證明這兩個平面重合.4.2019廣東執(zhí)信中學(xué)高一月考如圖所示的幾何體中,ABA1B1,ACA1C1,BCB1C1,且ABA1B1,ACA1C1,BCB1C1.求證:直線A1A,B1B,C1C相交于同一點.答案4.【證明】ABA1B1,ABA1B1,直線A1A,B1B在同一個平面內(nèi),并且它們相交,設(shè)A1AB1B=D.ACA1C1,AC與A1C1確定一個平面AA1C1C,A1A平面AA1C1C
44、,D平面AA1C1C.同理D平面BB1C1C.又平面AA1C1C平面BB1C1C=C1C,DC1C.由,可知A1A,B1B,C1C三線共點,即直線A1A,B1B,C1C相交于同一點.5.如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ與CB的延長線交于點M,RQ與DB的延長線交于點N,RP與DC的延長線交于點K.(1)求證:直線MN平面PQR;(2)求證:點K在直線MN上.答案5.【證明】(1)PQ平面PQR,M直線PQ,M平面PQR.RQ平面PQR,N直線RQ,N平面PQR.直線MN平面PQR.(2)M直線CB,CB平面BCD,M平面BCD.由(1),知M平面PQR,M在平面PQR與平面BCD的
45、交線上,同理可知N,K也在平面PQR與平面BCD的交線上,M,N,K三點共線,點K在直線MN上.6.已知a,b,c,d是兩兩相交且不共點的四條直線,求證:a,b,c,d共面.答案6.【證明】(1)無三線共點的情況,如圖.設(shè)ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因為ad=M,所以a,d可確定一個平面,設(shè)為.因為Nd,Qa,所以N,Q.所以NQ,即b.同理c,所以a,b,c,d共面.(2)有三線共點的情況,如圖.設(shè)b,c,d三線相交于點K,它們與a分別交于點N,P,M,且Ka.因為Ka,所以K和a可確定一個平面,設(shè)為.因為Na,a,所以N,所以NK,即b.同理c,d,所以a,
46、b,c,d共面.由(1)(2)知a,b,c,d共面.課時2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系第四節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1.2019江蘇鹽城期末考試已知平面平面,直線m,直線n,則直線m,n的位置關(guān)系為 ()A.平行或相交B.相交或異面C.平行或異面D.平行、相交或異面知識點 1空間中直線與直線的位置關(guān)系答案1.C【解析】因為平面平面,直線m,直線n,所以直線m,n沒有公共點,所以兩條直線平行或異面.故選C.2.2020四川成都七中高一(下)月考已知異面直線a,b分別在平面, 內(nèi),且=c,那么直線c一定 ()A.與a, b都相交B.只能與a,b中的一條相交C.至少與a, b中的一條相交
47、D.與a, b都平行知識點 1空間中直線與直線的位置關(guān)系答案2.C【解析】因為異面直線a,b分別在平面,內(nèi),且=c,所以直線c與a,b可能都相交,也可能只與其中一條相交.若c與a,b都不相交,則ac,bc, 此時ab,與a,b是異面直線相矛盾,所以直線c至少與a,b中的一條相交.故選C.3.已知A,B,C,D是空間內(nèi)四點,命題甲:A,B,C,D四點不共面,命題乙:直線AC和BD不相交,則甲是乙的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件知識點 1空間中直線與直線的位置關(guān)系答案3.A【解析】若A,B,C,D四點不共面,則直線AC和BD不共面,所以AC和BD不相
48、交;若直線AC和BD不相交,當直線AC和BD平行時,A,B,C,D四點共面,所以甲是乙的充分不必要條件.4.設(shè)a為空間中的一條直線,記直線a與正方體ABCD-A1B1C1D1的六個面相交的平面?zhèn)€數(shù)為m,則m的所有可能取值構(gòu)成的集合為 ()A.2,4B.2,6C.4,6D.2,4,6知識點2空間中直線與平面的位置關(guān)系答案4.D【解析】體對角線所在的直線與正方體的6個面都相交,面對角線所在的直線與正方體的4個面相交,而棱所在的直線與正方體的2個面相交,故選D.5.2020陜西鎮(zhèn)安中學(xué)月考下列說法:若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則l;若直線a在平面外,則a;若直線a直線b,b平面,則a;若直線a
49、直線b,b平面,那么直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.其中正確的個數(shù)為 ()A.1B.2C.3D.4知識點2空間中直線與平面的位置關(guān)系答案5.A【解析】對于,l有可能在平面內(nèi),l不一定平行于,錯誤;對于,若直線a在平面外,則a或a與相交,a和不一定平行,錯誤;對于,a可能在平面內(nèi),a不一定平行于,錯誤;對于,ab,b,a或a, a與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行,正確.6.下列命題中正確的是(填序號).若直線l與平面相交,則l與平面內(nèi)的任意直線都是異面直線;若兩條異面直線中的一條與一個平面平行,則另一條一定與該平面相交;若直線l與平面平行,則l與平面內(nèi)的直線平行或異面.知識點2空間中直線與平面的位置關(guān)系
50、答案6.【解析】若直線l與平面相交,則l與平面內(nèi)過交點的直線不是異面直線,故不正確;若兩條異面直線中的一條與一個平面平行,則另一條可能與該平面平行或相交或在平面內(nèi),故不正確;若直線l與平面平行,則l與平面無公共點,所以l與平面內(nèi)的直線也無公共點,即平行或異面,故正確.7.已知平面 平面,若P,Q是,之間的兩個點,則 ()A.過P,Q的平面一定與,都相交B.過P,Q有且僅有一個平面與,都平行C.過P,Q的平面不一定與,都平行D.過P,Q可作無數(shù)個平面與,都平行知識點3 空間中平面與平面的位置關(guān)系答案7.C【解析】當過P,Q的直線與,相交時,過P,Q的平面一定與平面,都相交,排除B,D;當過P,Q
51、的直線與,都平行時,可以作唯一的一個平面與,都平行,排除A,故選C.8.(多選)2019江西南昌外國語學(xué)校期中考試如圖,=l,A,B,c,且Cl,直線ABl=M,過A,B,C三點的平面記作,則與的交線必通過 ()A.點AB.點BC.點CD.點M知識點3 空間中平面與平面的位置關(guān)系答案8.CD【解析】直線ABl=M,過A,B,C三點的平面記作,=MC,與的交線必通過點C和點M,故選CD.9.在底面為正六邊形的六棱柱中,互相平行的面視為一組,則共有組互相平行的面,與其中一個側(cè)面相交的面共有個.知識點3 空間中平面與平面的位置關(guān)系答案9.46【解析】六棱柱的兩個底面互相平行,每個側(cè)面與其直接相對的側(cè)
52、面平行,故共有4組互相平行的面;六棱柱共由8個面圍成,與其中某個側(cè)面平行的面有1個,其余6個面與該側(cè)面均相交.1.2019湖南長沙市一中高一(下)期中考試已知,為不同的平面,a,b,c為不同的直線,則下列說法正確的是 ()A.若a,b,則a與b是異面直線B.若a與b異面,b與c異面,則a與c異面C.若a,b不同在平面內(nèi),則a與b異面D.若a,b不同在任何一個平面內(nèi),則a與b異面答案1.D【解析】若a,b,則a與b可能平行,可能相交,也可能異面,故A錯誤;若a與b異面,b與c異面,則a與c可能平行,可能相交,也可能異面,故B錯誤;若a,b不同在平面內(nèi),則a與b可能平行,可能相交,也可能異面,故C
53、錯誤;由異面直線的定義,知D正確.2.平面外的一條直線a與平面內(nèi)的一條直線b不平行,則 ()A.a一定不平行于B.aC.a與b一定是異面直線D.內(nèi)可能有無數(shù)條直線與a平行答案2.D【解析】由題意,知若a,b,則a與b異面;若a與不平行,b,則a與b相交或異面,由此可知A,B,C均不正確,故選D.3.若直線l上有2個點在平面外,則 ()A.直線l上至少有1個點在平面內(nèi)B.直線l上有無數(shù)個點在平面內(nèi)C.直線l上所有點都在平面外D.直線l上至多有1個點在平面內(nèi)答案3.D【解析】由于直線l上有2個點在平面外,則直線l在平面外,即直線l與平面相交,或直線l與平面平行,所以直線l上至多有1個點在平面內(nèi).故
54、選D.4.2019河南鄭州一中高一(上)周練空間三個平面能把空間分成 ()A.4部分或6部分B.7部分或8部分C.5部分或6部分或7部分D.4部分或6部分或7部分或8部分答案4.D【解析】若三個平面兩兩平行,則把空間分成4部分,如圖1;若三個平面兩兩相交,且只有一條交線,則把空間分成6部分,如圖2;若三個平面兩兩相交,有三條交線,且三條交線不交于一點,則把空間分成7部分,如圖3;若三個平面兩兩相交,有三條交線,且三條交線相交于一點,則把空間分成8部分,如圖4.故選D.5.已知異面直線a,b外的一點M,那么過點M可以作個平面與直線a,b都平行.答案5.0或1【解析】過點M分別作直線a,b的平行線
55、,若其中一條平行線與已知直線a或b相交,則滿足題意的平面不存在,否則過點M的兩條相交直線確定的平面與a,b都平行,故可以作0或1個滿足題意的平面.6.2019遼寧沈陽高一月考已知下列說法:若直線a平面,直線b平面,與相交,則a,b相交;若平面平面=直線l,直線a平面,直線b平面,且ab=點P,則Pl;若平面平面,直線a平面,直線b平面,則a與b平行或異面;若平面平面=直線b,直線a平面,則a與一定相交.其中正確的說法是(填序號).答案6.【解析】易知正確.對于,a,b也可能平行或異面,故不正確;對于,a與也可能平行,故不正確.7.如圖,點P在平面ABC外,點F在BC的延長線上,E在線段PA上,
56、則直線AB,BC,AC,EF,AP,BP中有對異面直線.答案7.5【解析】異面直線有5對,分別是AB與EF,BC與AP,AC與BP,AC與EF,EF與BP.8.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別為A1B1,B1C1的中點.求證:平面ACC1A1與平面BEF相交.答案8.【證明】在矩形AA1B1B中,E為A1B1的中點,AA1與BE不平行,則AA1,BE的延長線相交于一點,設(shè)此點為G,GAA1,GBE.又AA1平面ACC1A1,BE平面BEF,G平面ACC1A1,G平面BEF,平面ACC1A1與平面BEF相交.【名師點睛】判斷或證明平面與平面的位置關(guān)系時主要考慮:平面與平面有無公
57、共點,如果沒有公共點,則兩平面平行;如果可以找到一個公共點,則兩平面相交.易錯疑難集訓(xùn)(三)集訓(xùn)(三)1.某正方體的平面展開圖如圖,則在這個正方體中,有以下四個結(jié)論,其中正確結(jié)論的序號是 ()BM與ED平行;CN與BE是異面直線;CN與BM成60角;DM與BN是異面直線.A.B.C.D.易錯點對異面直線認識不清答案1.C【解析】把該正方體的平面展開圖還原成如圖所示的正方體ABCD-EFMN.BM與ED是異面直線,故錯誤;CN與BE是平行直線,故錯誤;連接AN,AC,BMAN,ANC是CN與BM所成的角.ANC是等邊三角形,ANC= 60,CN與BM成60角,故正確; DM與BN是異面直線,故正
58、確.故選C.2.如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F是棱AD上異于A,D的不同兩點,G,H是棱BC上異于B,C的不同兩點,給出下列說法:AB與CD為異面直線;FH與CD,DB均為異面直線;EG與FH為異面直線;EG與AB為異面直線.其中正確的說法是(填序號).易錯點對異面直線認識不清答案2.【解析】因為直線CD平面BCD,直線AB平面BCD,點B直線DC,所以AB與CD為異面直線,正確;同理,正確.【方法點撥】判斷兩條直線是否為異面直線的方法:第一,不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線;第二,若一條直線與一個平面相交于一點,那么這條直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.1.如圖所示
59、,在四邊形ABCD中,已知ABCD,直線AB,BC,AD,DC分別與平面相交于點E,G,H,F.求證:E,F,G,H四點共線.疑難點 證明共線、共點或共面問題答案1.【證明】因為ABCD,所以AB,CD可確定一個平面.又AB=E,AB,所以E,E,即E為平面與的一個公共點.同理可證F,G,H均為平面與的公共點.若兩個平面有公共點,則它們有且只有一條通過該公共點的公共直線,所以E,F,G,H四點共線.2.如圖,在三棱錐A-BCD中,G,H分別為ABC與ACD的重心,E,F分別為BC,CD的中點.求證:EH,FG,GH三線共面.疑難點 證明共線、共點或共面問題答案2.【證明】連接AE,AF.由三棱
60、錐的性質(zhì),知A,E,F三點不共線,則A,E,F確定一個平面.所以A平面,E平面,F平面,AE平面,AF平面.根據(jù)三角形重心的性質(zhì),知GAE,HAF,所以G平面,H平面,所以EH平面,FG平面,GH平面,所以EH,FG,GH三線共面.3.如圖所示,在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點,F為A1A的中點.求證:(1)E,C,D1,F四點共面;(2)CE,D1F,DA三線共點.疑難點 證明共線、共點或共面問題答案疑難點 證明共線、共點或共面問題答案【練后反思】解決點共線問題的主要依據(jù)是公理3.證明三線共點的思路:先證明其中兩條直線交于一點,再證明第三條直線經(jīng)過這個點,把問題轉(zhuǎn)化為證
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