博弈論-混合策略與隨機(jī)行動(dòng)

1、混合策略與隨機(jī)行動(dòng)賽場(chǎng)點(diǎn)球射門(mén)攻方的策略是：攻左邊，或攻右邊守方的策略是：守左邊，或守右邊（以守方的方向?yàn)闇?zhǔn)）守左邊右邊攻左邊58，4295，5右邊93，770，30混合策略提出 得益：進(jìn)球得分的百分比。根據(jù)1995-2000年間意大利、西班牙和英國(guó)最高聯(lián)盟的數(shù)據(jù) 就一次游戲而言，猜測(cè)對(duì)方的策略，保密自己的策略。在多次反復(fù)游戲中，避免任何的傾向性和規(guī)律性。嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈 零和博弈實(shí)驗(yàn)辦法是將行動(dòng)隨機(jī)化。 混合策略： 參與人在每一個(gè)給定信息的情況下以某種概率分布隨機(jī)地選擇不同的行動(dòng)。 例如：乒乓球員以60的概率選擇正手發(fā)球，40的概率選擇反手發(fā)球。 什么是純策略？混合策略如果你是踢球人,這兩個(gè)純策

2、略中你更喜歡哪一種?（70）你能不能做得更好? 混合策略(1)以50:50（拋硬幣）的比例隨機(jī)地選擇左邊或右邊。如果守門(mén)員選擇左邊，你混合策略成功的概率：*58%+ * 93%= 75.5%如果守門(mén)員選擇右邊，你混合策略成功的概率：*95%+ * 70%= 82.5%50：50是你最佳混合策略嗎? 混合策略(2)以40:60（在你的口袋里放一本書(shū)，如果頁(yè)眉最后一位數(shù)是1到4選左，0到5則選右）的比例隨機(jī)地選擇左邊或右邊。如果守門(mén)員選擇左邊，你混合策略成功的概率：0.4*58%+ 0.6* 93%= 79%如果守門(mén)員選擇右邊，你混合策略成功的概率：0.4*95%+ 0.6* 70%= 80%你的

3、連續(xù)更優(yōu)的混合策略比例就是如何使自己在守門(mén)員選擇左邊時(shí)和選擇右邊的成功概率差距縮小。58701275.5% 82.5%7.379% 80%1xy0 混合策略不管守門(mén)員選擇他的左邊還是右邊，你的最佳混合比例都會(huì)使你得到相等的成功率 混合策略(3)以x:1x的比例隨機(jī)地選擇左邊或右邊。如果守門(mén)員選擇左邊，你混合策略成功的概率：x*58%+ （1x）* 93%如果守門(mén)員選擇右邊，你混合策略成功的概率：x*95%+ （1x） * 70%兩者相等，求得選x0.383不管守門(mén)員選擇他的左邊還是右邊，你的最佳混合比例都會(huì)使你得到相等的成功率 混合策略(4)以0.383:0.617的比例隨機(jī)地選擇左邊或右邊。

4、如果守門(mén)員選擇左邊，你混合策略成功的概率：0.383*58%+ 0.617* 93%79.6如果守門(mén)員選擇右邊，你混合策略成功的概率：0.383*95%+ 0.617 * 70% 79.6那么守門(mén)員的策略怎樣？混合策略納什均衡? 混合策略守門(mén)員的最佳策略是使踢球者選擇左邊和選擇右邊的成功率相等的策略。守門(mén)員應(yīng)當(dāng)分別以41.7和58.3的比例選擇自己的左邊和右邊，使踢球者成功的概率為79.6%.法則 混合策略在純沖突博弈（零和博弈）中，如果讓你的對(duì)手事先看清楚你的真實(shí)選擇對(duì)你不利，那么你可以通過(guò)隨機(jī)選擇自己備選的純策略而獲益。你的混合比例應(yīng)該是這樣的：對(duì)手采取任何特定的備選純策略，都不可能利用你

5、的選擇，即，當(dāng)你以混合策略對(duì)付他的混合策略中任一純策略時(shí)，你得到的平均贏利都相等。實(shí)驗(yàn)拋硬幣 怎樣隨機(jī)行動(dòng)？拋硬幣翻出正面之后再拋一次，這時(shí)出正面的可能性與拋出反面的可能性相等。無(wú)規(guī)律的隨機(jī)行動(dòng)（點(diǎn)名4/18=22%,不點(diǎn)名78）。例如：一個(gè)秘密的、足夠復(fù)雜以致讓人難以破解的規(guī)則。舉例：秘密報(bào)案（reporting a crime）n個(gè)人目睹一樁罪行，每個(gè)人都希望報(bào)警，但是都傾向于其他人打電話。特別的，假定能從報(bào)警中得到v單位的收益，而打電話的人需要付出c單位的成本，vc0。分析這個(gè)問(wèn)題的純戰(zhàn)略NE和混合戰(zhàn)略NE。混合策略案例分析：參與人：n個(gè)每個(gè)參與人的戰(zhàn)略集：打電話，不打電話效用：沒(méi)有任何

6、人打，所有人0支付； 打，v-c； 不打，但其他人至少有一個(gè)人打，v混合策略案例純戰(zhàn)略NE當(dāng)只有兩個(gè)參與人的時(shí)候（公共產(chǎn)品提供的斗雞博弈）兩個(gè)NEn個(gè)人的時(shí)候： 假設(shè)有m個(gè)人提供，m1 or m=1 n個(gè)NE混合策略案例混合策略案例混合戰(zhàn)略NE 隨著人數(shù)n的增加，p減小，即人越多，每個(gè)人選擇報(bào)案的概率就會(huì)越小，如果n1，則p1社會(huì)心理學(xué)與博弈分析混合策略案例 小孩玩的游戲“石頭，剪子，布”，也是一種博弈。但是，這個(gè)博弈有一種有趣的特征，即給定一方的任何選擇，另一方都有制勝對(duì)方的戰(zhàn)略，所以，給定一方任何一個(gè)戰(zhàn)略，對(duì)方都有制勝這個(gè)戰(zhàn)略的戰(zhàn)略，因而這個(gè)戰(zhàn)略不是最優(yōu)的。任何“純戰(zhàn)略”都不是最優(yōu)的，純戰(zhàn)

7、略是“石頭，剪子，布”中的任何一個(gè)。 但是，我們知道，玩這個(gè)游戲是總是以對(duì)方不易猜出的隨機(jī)方式出招。事實(shí)上，可以通過(guò)數(shù)學(xué)證明，當(dāng)雙方都以每個(gè)戰(zhàn)略按1/3的概率出招時(shí)，達(dá)成一種雙方都不愿改變這種概率分布的局面。這被稱為“混合戰(zhàn)略納什均衡”，而這種以隨機(jī)方式選擇純戰(zhàn)略的博弈被稱為“混合戰(zhàn)略博弈”。 實(shí)驗(yàn)顯示：“陷入無(wú)意識(shí)但仍可預(yù)測(cè)的模式”例如：官僚作風(fēng)連續(xù)出“布” 雪崩連續(xù)出石頭 排除策略省略一個(gè)隨機(jī)：秘密的，足夠復(fù)雜以至難以讓人破解的規(guī)則 例子1 田忌賽馬新編 春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊威王常與旗下大將田忌賽馬。規(guī)則是：每次賽三局，每一局齊威王與田忌各出一匹馬比賽奔跑速度。每一局中的勝者贏敗方一千斤銅。田

8、忌有上、中、下三匹馬，而齊威王也有上、中、下三匹馬。每次比賽，第一局田忌出上馬，齊威王也出上馬；第二局田忌出中馬，齊威王也出中馬；第三局，田忌出下馬，齊威王也出下馬。齊威王的上馬比田忌的上馬好，齊威王的中馬也比田忌的中馬好，齊威王的下馬還是比田忌的下馬好。于是，每次比賽的結(jié)果都是田忌連輸三局。 田忌的謀士孫臏了解了田忌的困境后，就打聽(tīng)到這樣一個(gè)消息：盡管齊威王的上、中、下三匹馬都要比田忌的對(duì)應(yīng)上、中、下三匹馬好，但碰巧的是田忌的上馬可勝齊威王的中馬，田忌的中馬可勝齊威王的下馬。于是，孫臏為田忌獻(xiàn)計(jì)：下一次比賽中第一局時(shí)田忌出下馬對(duì)齊威王的上馬輸一局，第二局田忌出上馬對(duì)齊威王的中馬，第三局田忌出

9、中馬對(duì)齊威王的下馬，這樣可連贏兩局，最后凈勝一千斤銅。田忌依計(jì)而行，果真贏回一千斤銅。 這個(gè)故事曾經(jīng)被很多人當(dāng)作博弈論的例子來(lái)演繹，但實(shí)際上這個(gè)故事與博弈論無(wú)關(guān)。博弈論會(huì)假定所有局中人都是理性的，不能假定一些局中人聰明而另一些局中人卻是傻子。當(dāng)田忌出下馬時(shí)，齊威王最好的選擇是出下馬而不是上馬。孫臏的計(jì)謀中假定齊威王是傻子，當(dāng)田忌出下、上、中馬時(shí)，他仍然按上、中、下馬出，當(dāng)然要輸了。事實(shí)上，當(dāng)田忌出下馬時(shí)，齊威王應(yīng)出下馬，但齊威王出下馬時(shí)，田忌不應(yīng)出下馬而是出中馬，但此時(shí)齊威王又應(yīng)出中馬而不是下馬了，。這樣，博弈不會(huì)有純戰(zhàn)略的均衡。 兩人只能玩混合戰(zhàn)略博弈，齊威王分別以1/6隨機(jī)的概率選擇出上、

10、中、下馬的任一排列，田忌也如此。由于齊威王存在絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，他平均看來(lái)仍然會(huì)贏田忌一千斤銅。 例子2 如果曹操與諸葛亮一樣聰明：三國(guó)演義中的華容道博弈 在三國(guó)演義中，曹操在赤壁大戰(zhàn)中一敗涂地，率殘兵敗將向許都方向逃竄。諸葛亮命關(guān)羽率兵在途中阻截曹軍。當(dāng)時(shí)，第一批攔截大軍是趙云率領(lǐng)的，第二批攔截大軍是張飛帶隊(duì)的，第三批才是關(guān)羽率部伏擊。由于曹軍兵多將廣，前二批伏擊軍不能逮住曹操，只是搶劫一些軍械馬匹之類(lèi)。 待曹軍沖過(guò)趙云、張飛兩道關(guān)后，進(jìn)入關(guān)羽的伏擊地帶。但是，當(dāng)時(shí)關(guān)羽與曹操相遇的地方有兩條道，一條是華容道，除此外還有另一條道。諸葛亮令關(guān)羽伏兵于華容道，并且要求關(guān)羽在華容道上點(diǎn)燃樹(shù)枝冒出煙霧引曹操到

11、來(lái)。當(dāng)時(shí)關(guān)羽不解，問(wèn)諸葛亮，“如果在伏兵之處點(diǎn)火，豈不令曹兵看見(jiàn)而改走另一條道逃脫？”諸荀亮叫關(guān)羽不要再問(wèn)，只如此照辦即可。 當(dāng)曹操?zèng)_破趙云、張飛的阻截后，來(lái)到華容道前，看見(jiàn)華容道上靜悄悄的，但有煙火縈繞。曹操大笑道：“孔明以為我會(huì)上他的當(dāng)，故意叫人在華容道上點(diǎn)火讓我走另一條道，而他卻伏兵于這條道上好逮住我呢！我偏不上他的當(dāng)！”于是，曹操令大軍徑直上華容道上而去，結(jié)果與關(guān)羽大軍撞個(gè)正著。 曹操為何進(jìn)了孔明的圈套呢？這里的道理是這樣的：孔明知道曹操是聰明人，而聰明人見(jiàn)華容道上有煙火會(huì)認(rèn)為華容道上有伏兵，于是會(huì)避開(kāi)華容道而走另一條路。如果孔明令關(guān)羽在另一條路等著，曹操就被逮住了。但是，曹操不僅聰明

12、，而且還聰明過(guò)人，他也知道孔明的如此盤(pán)算來(lái)誘他上鉤，他偏不上當(dāng)，知道點(diǎn)火的華容道上無(wú)人，孔明的隊(duì)伍在另一條道上呢！于是他選擇走華容道。 但是，依三國(guó)演義作者羅貫中的邏輯，孔明總是比曹操計(jì)高一籌，按博弈論的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是孔明的理性程度要比曹操高上一階?？酌饕仓啦懿僦揽酌鞯拇蛩?，于是令關(guān)羽正好在點(diǎn)火的華容道上等著曹操。三國(guó)演義中的這個(gè)故事很可能是作者編造的，因?yàn)樵谌龂?guó)志中并無(wú)這一情節(jié)。這里，羅貫中假設(shè)了曹操在智力上比孔明差一些，才有華容道上被關(guān)羽抓住，要不是關(guān)羽舊情難忘，曹操就死無(wú)葬身之地了。 但是，如果我們不假定曹操比孔明要笨一些，而是相反假定曹操與孔明一樣聰明，則曹操又知道孔明知道曹操知道

13、孔明的打算，曹操就會(huì)知道關(guān)羽在華容道上等著他呢？此時(shí)曹操就避開(kāi)華容道走另一條路。但是，這還沒(méi)有完，因?yàn)槿艨酌髦啦懿僦揽酌髦?。顯然，最終的結(jié)果是曹操與孔明玩混合戰(zhàn)略博弈，曹操隨機(jī)地以1/2的概率選擇走華容道和另一條路，孔明也以1/2的概率令關(guān)羽守華容道或另一條路。 于是，三國(guó)演義中的這一情節(jié)就應(yīng)作如下改寫(xiě)： 諸葛亮拋出一枚硬幣，決定關(guān)羽是守華容道呢還是另一條道，而曹操也擲出一枚硬幣，決定是走華容道呢還是走另一條路。平均看來(lái)，曹操有1/2的概率逃脫，而關(guān)羽也只有1/2的概率抓住曹操。如果說(shuō)關(guān)羽在華容道上抓住了曹操，則純屬偶然、并非孔明比曹操計(jì)高一籌所致！剪刀-石頭-布爬樓梯游戲策略，石頭、剪

14、子、布布獲勝，向上爬5個(gè)臺(tái)階剪刀獲勝，向上爬2個(gè)臺(tái)階石頭獲勝，向上爬1個(gè)臺(tái)階平局，再來(lái)一遍第一個(gè)爬上樓梯的是獲勝者商業(yè)與其他對(duì)抗中的混合策略商界、政界和戰(zhàn)爭(zhēng)非零和博弈商業(yè)與其他對(duì)抗中的混合策略例如：折扣券博弈問(wèn)題商業(yè)與其他對(duì)抗中的混合策略例1：折扣券博弈問(wèn)題目的？1、都不發(fā)行2、都發(fā)行3、一個(gè)發(fā)行，另一個(gè)不發(fā)行如何占得先機(jī)？商業(yè)與其他對(duì)抗中的混合策略如何占得先機(jī)？避免他人占得先機(jī)，唯一的途徑就是保持出人意料的元素。這一元素源于隨機(jī)化策略的應(yīng)用但是：獨(dú)立隨機(jī)選擇有“出錯(cuò)”的危險(xiǎn)。進(jìn)行合作！商業(yè)與其他對(duì)抗中的混合策略可口可樂(lè)和百事可樂(lè)52個(gè)星期，分別發(fā)放26周優(yōu)惠券沒(méi)有出現(xiàn)兩家同時(shí)的情況計(jì)算：如果

15、兩家獨(dú)立以50概率隨機(jī)選擇任何一周發(fā)放優(yōu)惠券，那么他們各自發(fā)放26周而不會(huì)出現(xiàn)同時(shí)發(fā)放的概率是1/10005(10億的10億次方)延伸：聯(lián)合營(yíng)銷(xiāo)麥當(dāng)勞與可口可樂(lè)，肯德基與百事可樂(lè)從美國(guó)相攜走向全球，許多大的跨國(guó)企業(yè)均與知名連鎖酒店、供應(yīng)商保持全球的合作體系，令人慨嘆中國(guó)的許多企業(yè)盡管軀體龐大，但在經(jīng)營(yíng)的思想和理念上與它們相去甚遠(yuǎn)。 辜鴻銘曾用西文出版過(guò)一本書(shū)，書(shū)名為中國(guó)人的精神，其中將中國(guó)人的民族性格歸結(jié)為三大特征：“deep, bright, simple”，譯成中文是“深沉、聰明、淳樸”。 延伸：聯(lián)合營(yíng)銷(xiāo)深沉就是含而不露，靜水流深，但這種性格與聯(lián)盟的陽(yáng)光與規(guī)則的透明背道而馳。聰明更多是為人

16、為事的創(chuàng)造力與洞察，但似乎缺少更大氣的哲學(xué)和價(jià)值觀思考，這樣也不利于建立通用的制度規(guī)則，大家思考的更多是彼此之間的利益而非聯(lián)盟共事致力追求的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)這也是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期秦國(guó)以連橫成功打破六國(guó)合縱政策的原因所在。 例2：飛機(jī)折扣票博弈航空公司告訴你折扣，不告訴你剩余的空位你隨機(jī)選擇時(shí)點(diǎn)進(jìn)行訂票V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守衛(wèi)小偷混合戰(zhàn)略：守衛(wèi)以n概率選擇睡覺(jué)，以1m的概率選擇不睡小偷以m概率選擇偷，以1n概率選擇不偷例4 監(jiān)督博弈加重對(duì)守衛(wèi)的處罰：短期中的效果是使守衛(wèi)真正盡職在長(zhǎng)期中并不能使守衛(wèi)更盡職，但會(huì)降低盜竊發(fā)生的概率0- D- D守衛(wèi)得益(睡)S小偷偷的概率1激勵(lì)悖論Sm加重對(duì)小偷

17、的處罰：短期內(nèi)能抑制盜竊發(fā)生率長(zhǎng)期并不能降低盜竊發(fā)生率，但會(huì)使得守衛(wèi)更多的偷懶0- P- P小偷得益(偷)V守衛(wèi)睡的概率1n激勵(lì)悖論 例5 為什么一般人總是小錯(cuò)不斷，大錯(cuò)不犯；偷稅漏稅的一般是中小企業(yè)，大企業(yè)會(huì)老老實(shí)實(shí)地交稅？ 稅務(wù)部門(mén)不會(huì)對(duì)所有企業(yè)的交稅情況每一次都去檢查，因?yàn)檫@樣做的成本太高，得不償失。所以，稅務(wù)部門(mén)總是隨機(jī)地對(duì)企業(yè)的交稅情況進(jìn)行檢查。 企業(yè)也是隨機(jī)地在交稅與偷漏稅之間進(jìn)行選擇。稅收部門(mén)與企業(yè)間進(jìn)行的是混合戰(zhàn)略博弈。因?yàn)槿绻髽I(yè)總是交稅，稅務(wù)部門(mén)就最好不檢查；但給定不檢查，企業(yè)就會(huì)偷漏稅。所以，兩者只有在隨機(jī)地檢查與不檢查，企業(yè)隨機(jī)地在偷漏稅與交稅之間選擇，才會(huì)達(dá)成均衡。

18、對(duì)于大企業(yè)，因一旦偷稅就數(shù)目巨大，所以，稅務(wù)部門(mén)在隨機(jī)檢查時(shí)放在大企業(yè)上的可能性就大一些；而給定稅務(wù)部門(mén)檢查大企業(yè)的可能性較大，大企業(yè)偷漏稅的行為就較少，否則就容易被逮個(gè)正著。所以，偷漏稅較多的就是一些中小企業(yè)，大企業(yè)納稅的積極性較高。同樣，大人物或有錢(qián)人納稅的積極性應(yīng)較高，至于我國(guó)在過(guò)去一段時(shí)期有錢(qián)人反而不交稅的現(xiàn)象主要源于制度不健全或已有的制度得不到貫徹所致。同樣的道理，在犯罪或?qū)﹀e(cuò)誤的監(jiān)督懲罰博弈中，也是混合博弈，人們可能總是大錯(cuò)不犯小錯(cuò)不斷。9、靜夜四無(wú)鄰，荒居舊業(yè)貧。9月-229月-22Sunday, September 18, 202210、雨中黃葉樹(shù)，燈下白頭人。21:12:57

19、21:12:5721:129/18/2022 9:12:57 PM11、以我獨(dú)沈久，愧君相見(jiàn)頻。9月-2221:12:5721:12Sep-2218-Sep-2212、故人江海別，幾度隔山川。21:12:5721:12:5721:12Sunday, September 18, 202213、乍見(jiàn)翻疑夢(mèng)，相悲各問(wèn)年。9月-229月-2221:12:5721:12:57September 18, 202214、他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國(guó)見(jiàn)青山。18 九月 20229:12:57 下午21:12:579月-2215、比不了得就不比，得不到的就不要。九月 229:12 下午9月-2221:12September

20、 18, 202216、行動(dòng)出成果，工作出財(cái)富。2022/9/18 21:12:5721:12:5718 September 202217、做前，能夠環(huán)視四周；做時(shí)，你只能或者最好沿著以腳為起點(diǎn)的射線向前。9:12:57 下午9:12 下午21:12:579月-229、沒(méi)有失敗，只有暫時(shí)停止成功！。9月-229月-22Sunday, September 18, 202210、很多事情努力了未必有結(jié)果，但是不努力卻什么改變也沒(méi)有。21:12:5721:12:5721:129/18/2022 9:12:57 PM11、成功就是日復(fù)一日那一點(diǎn)點(diǎn)小小努力的積累。9月-2221:12:5721:12Se

21、p-2218-Sep-2212、世間成事，不求其絕對(duì)圓滿，留一份不足，可得無(wú)限完美。21:12:5721:12:5721:12Sunday, September 18, 202213、不知香積寺，數(shù)里入云峰。9月-229月-2221:12:5721:12:57September 18, 202214、意志堅(jiān)強(qiáng)的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。18 九月 20229:12:57 下午21:12:579月-2215、楚塞三湘接，荊門(mén)九派通。九月 229:12 下午9月-2221:12September 18, 202216、少年十五二十時(shí)，步行奪得胡馬騎。2022/9/18 21:12:5721:12:5718 September 202217、空山新雨后，天氣晚來(lái)秋。9:12:57 下午9:12 下午21:12:579月-229、楊柳散