《近世代數(shù)》模擬試題1及答案

1、一、課程名稱：近世代數(shù)模擬試題一.單項選擇題 (每題 5 分，共 25 分)1、在整數(shù)加群（ Z，）中，下列那個是單位元（）.A. 0B. 1C. 1D. 1/n ，n 是整數(shù)2、下列說法 不正確的是（） .A . G只包含一個元 g，乘法是 ggg。G對這個乘法來說作成一個群;B . G是全體整數(shù)的集合， G對普通加法來說作成一個群;C . G是全體有理數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群;D. G是全體自然數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群.3.如果集合 M的一個關(guān)系是等價關(guān)系，則不一定具備的是 ().A . 反身性B. 對稱性C. 傳遞性D. 封閉性4.對整數(shù)加群 Z來說，下列 不正確

2、的是（）.Z沒有生成元 .1是其生成元 .1是其生成元 .頁腳內(nèi)容 1一、課程名稱：Z是無限循環(huán)群 .下列敘述正確的是（ ）。群 G是指一個集合 .環(huán) R是指一個集合 .C. 群 G是指一個非空集合和一個代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.D. 環(huán) R是指一個非空集合和一個代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.二.計算題 (每題 10分，共 30 分)1.設(shè) G是由有理數(shù)域上全體2 階滿秩方陣對方陣普通乘法作成的群，試求中G中下列各個元素1213c, d0, cd ，的階 .011頁腳內(nèi)容 2一、課程名稱：試求出三次對稱群S3(1),(12),(13),(23),(123),(1

3、32)的所有子群 .頁腳內(nèi)容 3一、課程名稱：若 e是環(huán) R 的惟一左單位元，那么 e是 R 的單位元嗎？若是，請給予證明 . 證明題 (第 1小題 10分，第 2小題 15分，第 3 小題 20分，共 45分). 1. 證明 : 在群中只有單位元滿足方程2 x.頁腳內(nèi)容 4一、課程名稱：2設(shè) G 是正有理數(shù)乘群， G 是整數(shù)加群 . 證明：: 2n bna是群 G 到 G 的一個滿同態(tài)，其中a,b 是整數(shù)，而 (ab,2)1.3設(shè) S 是環(huán) R 的一個子環(huán) .證明 : 如果 R 與 S 都有單位元，但不相等，則 S 的單位元必為 R 的一個零因子 .頁腳內(nèi)容 5一、課程名稱：近世代數(shù)模擬試題

4、答案2008年 11月一、單項選擇題 (每題 5 分，共 25 分)1.A2. D 3.D4.A5 . C二.計算題 (每題 10分，共 30 分 )解：易知c 的階無限，(3 分)d 的階為 2.（3 分）但是頁腳內(nèi)容 6一、課程名稱：11（2分）cd,01的階有限，是 2.（2 分）解： S3 的以下六個子集H 1(1) ,H 2(1),(12) ,H 3(1),(13) ,H 4 (1),(23) , H 5 (1),(123),(132) , H 6 S3（7 分）對置換乘法都是封閉的，因此都是S3 的子集 .（3 分）解： e 是 R 的單位元。事實上，任取 a,bR, 則因 e是

5、R 的左單位元，故( aeae)ba(eb)abebababbb,即 aeae 也是 R 的左單位元。故有題設(shè)得aeae e,ae a.即 e 是 R 的單位元 .三、證明題 (每小題 15分共 45 分)1 證明：設(shè) e 是 G 的單位元，則 e 顯然滿足所說的方程（3 分）頁腳內(nèi)容 7一、課程名稱：另外，設(shè) aG 且 a2a ，則有a 1a2a 1a,即 ae,（5 分）即只有 e 滿足方程x2x.（ 2 分）2. 證明：顯然是 G 到 G 的一個滿射（3 分）又由于當(dāng) (ab,2)1, (cd,2)1時有( abcd ,2) 1（4 分）(2 n b2m d )(2 n m bd ) n m且acac（ 6分）b ) (2 md ).(2 nac故是群 G 到 G 的一個同態(tài)滿射。（2 分）證明：分別用 e 和 e 表示 R 與 S 的單位元，且 ee ，于是 e 不是 R 的單位元。（3 分）因此，存在 0aR ，使ae a 或 ea a（5 分）頁腳內(nèi)容 8一、課程名稱：如果 aea ，則 aea0