高等數(shù)學(xué)下曲線曲面積分

1、高等數(shù)學(xué)下曲線曲面積分第1頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第十章 第2頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用第3頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), 都存在,上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過(guò)對(duì) 的任意分割局部

2、的任意取點(diǎn), 2.定義下列“乘積和式極限”則稱(chēng)此極限為函數(shù)在曲線或第一類(lèi)曲線積分.稱(chēng)為被積函數(shù)， 稱(chēng)為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)第4頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,如果 L 是閉曲線 , 則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).第5頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四3. 性質(zhì)（k 為常數(shù))( 由 組成) ( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度)第6頁(yè)，共92頁(yè)，

3、2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四(5)對(duì)稱(chēng)性與二重積分類(lèi)似L關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)輪換對(duì)稱(chēng)性(6)可將重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量推廣到曲線弧上第7頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分說(shuō)明:(1)因此積分限必須滿足第8頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四(2) 注意到 因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 第9頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四如果曲線 L 的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則第

4、10頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例1. 計(jì)算其中 L 是拋物線與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解:上點(diǎn) O (0,0)第11頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例2. 計(jì)算其中L為雙紐線解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱(chēng)性 , 得第12頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例3. 計(jì)算曲線積分 其中為螺旋的一段弧.解: 線第13頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例4. 計(jì)算其中為球面 被平面 所截的圓周. 解: 由對(duì)稱(chēng)性可知第14頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，

5、星期四 對(duì)光滑曲線弧 對(duì)光滑曲線弧 對(duì)光滑曲線弧內(nèi)容小結(jié)第15頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四思考與練習(xí)1. 已知橢圓周長(zhǎng)為a , 求提示:原式 =利用對(duì)稱(chēng)性第16頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2) 求它的質(zhì)心 .解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).(2) L的質(zhì)量而(1)第17頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四故重心坐標(biāo)為第18頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法

6、三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 第十章 第19頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B, 求移“大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.第20頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四2. 定義.設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱(chēng)此

7、極限為函數(shù)或第二類(lèi)曲線積分.其中,L 稱(chēng)為積分弧段 或 積分曲線 .稱(chēng)為被積函數(shù) , 在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作第21頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四3. 性質(zhì)(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則則 定積分是第二類(lèi)曲線積分的特例.說(shuō)明: 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !第22頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在, 且有如果曲線 L 的方程為則有第23頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日

8、，21點(diǎn)22分，星期四例1. 計(jì)算其中L 為沿拋物線解法1 取 x 為參數(shù), 則解法2 取 y 為參數(shù), 則從點(diǎn)的一段. 第24頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例2. 計(jì)算其中 L 為(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的參數(shù)方程為(2) 取 L 的方程為則則第25頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例3. 計(jì)算其中L為(1) 拋物線 (2) 拋物線 (3) 有向折線 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式第26頁(yè)，共9

9、2頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長(zhǎng)為參數(shù) 的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類(lèi)曲線積分有如下聯(lián)系第27頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例4.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L 沿上半圓周第28頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四1. 定義2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧(2) L 表示 L 的反向弧對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)第29頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四3. 計(jì)算 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧第30頁(yè)，共9

10、2頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四4. 兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系 對(duì)空間有向光滑弧 :第31頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第三節(jié)一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的 等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用 第十章 第32頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四區(qū)域 D 分類(lèi)單連通區(qū)域 ( 無(wú)“洞”區(qū)域 )復(fù)連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向: 域的內(nèi)部靠左定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑曲線 L 圍成,則有( 格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、 格林公式 其中L是的取正向的邊界曲線第33頁(yè)，共92頁(yè)，2022

11、年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四說(shuō)明：（1）格林公式對(duì)光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立；（2）在一定條件下可以用二重積分計(jì)算曲線積分，也 可以用曲線積分計(jì)算二重積分。（4）幾何應(yīng)用： 正向閉曲線L 所圍區(qū)域 D 的面積（在格林公式中，取則有)（3）對(duì)于復(fù)連通區(qū)域D，公式右端應(yīng)包括D的全部邊 界的曲線積分，且邊界的方向?qū)來(lái)說(shuō)都是正方向。第34頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積格林公式例如, 橢圓所圍面積第35頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例1.設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明證: 令則利用格林公

12、式 , 得？第36頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例2. 計(jì)算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解: 令, 則利用格林公式 , 有第37頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例3.計(jì)算其中L是曲線上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)的一段。解：添加為圍成的封閉區(qū)間第38頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例4. 計(jì)算其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解: 令設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知第39頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四在D 內(nèi)作圓周取逆時(shí)針

13、方向, 對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得第40頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 第41頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四說(shuō)明:根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi)則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求

14、d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;第42頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例5. 計(jì)算其中L 為上半從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段它與L 所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則第43頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例5. 驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證: 設(shè)則由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使。第44頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)

15、22分，星期四積分與路徑無(wú)關(guān)例6.計(jì)算其中為自點(diǎn)A(-1,0)沿至B(2,3)的弧段（如圖）解：由題知構(gòu)造一個(gè)單連通域G，積分在G內(nèi)與路徑則G無(wú)關(guān)，第45頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式2. 等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).在 D 內(nèi)有對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有第46頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積的曲面積分 第十章 第47頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四一、對(duì)

16、面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類(lèi)似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用可得求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). 第48頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四定義:設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” 都存在,的曲面積分其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類(lèi)曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱(chēng)此極限為函數(shù) f (x, y, z

17、) 在曲面 上對(duì)面積函數(shù), 叫做積分曲面.第49頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四則對(duì)面積的曲面積分存在. 對(duì)積分域的可加性.則有 線性性質(zhì).在光滑曲面 上連續(xù), 對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類(lèi)似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面第50頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四定理: 設(shè)有光滑曲面f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分第51頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四說(shuō)明:可有類(lèi)似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出

18、在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 ,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. 第52頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例1. 計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:第53頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例2. 計(jì)算其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. 解: 設(shè)上的部分, 則與 原式 = 分別表示 在平面 第54頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例3. 設(shè)計(jì)算解: 錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)閯t 第55頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第

19、56頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 定義:2. 計(jì)算: 設(shè)則(曲面的其他兩種情況類(lèi)似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 第57頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 第十章 第58頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類(lèi)雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 第

20、59頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四其方向用法向量指向方向余弦 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為的面積為則規(guī)定類(lèi)似可規(guī)定第60頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P, Q, R 叫做被積函數(shù); 叫做積分曲面.或第二類(lèi)曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)若對(duì) 的任 則稱(chēng)此極限為向量場(chǎng) A 在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積二. 定義.第61頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月

21、20日，21點(diǎn)22分，星期四引例中, 流過(guò)有向曲面 的流體的流量為稱(chēng)為Q 在有向曲面上對(duì) z, x 的曲面積分;稱(chēng)為R 在有向曲面上對(duì) x, y 的曲面積分.稱(chēng)為P 在有向曲面上對(duì) y, z 的曲面積分;若記 正側(cè)的單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫(xiě)成如下向量形式第62頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四3. 性質(zhì)(1) 若之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn), 則(2) 用 表示 的反向曲面, 則第63頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理: 設(shè)光滑曲面取上側(cè),是 上的連續(xù)函數(shù), 則 若則有 若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說(shuō)明:如果積分

22、曲面 取下側(cè), 則第64頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例1. 計(jì)算其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長(zhǎng)為 a 的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解: 利用對(duì)稱(chēng)性.原式 的頂部 取上側(cè) 的底部 取下側(cè)第65頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四解: 把 分為上下兩部分根據(jù)對(duì)稱(chēng)性 思考: 下述解法是否正確:例2. 計(jì)算曲面積分其中 為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分. 第66頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第67頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四四、兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫(huà)第68頁(yè)，共92頁(yè)，

23、2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四令向量形式( A 在 n 上的投影)第69頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例4. 設(shè)是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計(jì)算解: 第70頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例5. 計(jì)算曲面積分其中解: 利用兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系, 有 原式 =旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). 第71頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四原式 =第72頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四面積分第一類(lèi) (對(duì)面積)第二類(lèi) (對(duì)坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分

24、變量代入曲面方程 (方程不同時(shí)分片積分)(2) 積分元素投影第一類(lèi)： 面積投影第二類(lèi)： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注：二重積分是第一類(lèi)曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化內(nèi)容小結(jié)第73頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)類(lèi)似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .第74頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推廣一、高斯公式二、通量與散度 高斯公式 通量與散度 第十章 第75頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四一、高斯 (

25、Gauss ) 公式定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側(cè), 則有 (Gauss 公式)第76頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例1. 用Gauss 公式計(jì)算其中 為柱面閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =(用柱坐標(biāo))及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? 第77頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例2. 利用Gauss 公式計(jì)算積分其中 為錐面解: 作輔助面取上側(cè)介于 z = 0 及 z

26、= h 之間部分的下側(cè). 所圍區(qū)域?yàn)?則 第78頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四利用重心公式, 注意第79頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例3.設(shè) 為曲面取上側(cè), 求 解: 作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)第80頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四定義:設(shè)有向量場(chǎng)其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場(chǎng)內(nèi)的一片有向 則稱(chēng)曲面, 其單位法向量 n, 為向量場(chǎng) A 通過(guò)有向曲面 的通量(流量) .在場(chǎng)中點(diǎn) M(x, y, z) 處 稱(chēng)為向量場(chǎng) A 在點(diǎn) M 的散度.記作divergence三、通量與散度第81頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1) 計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 第82頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四2. 通量與散度 設(shè)向量場(chǎng)P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù), 則