數(shù)字信號處理(方勇)第三章習(xí)題答案

1、數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)拓展3 3 31畫出H(z)=(2-.379L1)(4-1.24L1+5.264L2)級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。(1-0.25z-1)(1-z-1+0.5z-2)解：y(n)x(n)2FFfz-1-1.24-0.5r?-1人5.264kk432畫出H(z)=(2-3乙-1)(4-6乙-1+5乙-2)級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。(1-7z-1)(1-z-1+8z-2)解：33(1z-1)(1+z-1+z-2)322并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為實系數(shù)一階，二階子系統(tǒng)之和，即:21+z-1+111-z-11+z-132由上式可以畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3-3圖所示：3-4已知一FIR濾波器的系統(tǒng)

2、函數(shù)為H(z)=(1-0.7z-1+0.5z-2)(1+2z-】)，畫出該FIR濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。解：因為H(z)=(1-0.7z-1+0.5z-2)(1+2z-1)=1+1.3z-1-0.9z-2+z-3，所以由第二類線性相位結(jié)構(gòu)畫出該濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)，如題3-4圖所示：3-5已知一個FIR系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：H(z)=1+1.25z-1一2.75z-2一2.75z-3+1.23z-4+z-5求用級聯(lián)形式實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)流圖并用MATLAB畫出其零點分布及其頻率響應(yīng)曲線。解：由轉(zhuǎn)移函數(shù)可知，N=6，且h(n)偶對稱，故為線性相位系統(tǒng)，共有5個零點，為5階系統(tǒng)，因而必存在一個一階系統(tǒng)，即z=1

3、為系統(tǒng)的零點。而最高階z-5的系數(shù)為+1,所以z=-1為其零點。H(z)中包含1+z-1項。所以：H(z)=H(z)(1+z-1)。1H(z)為一四階子系統(tǒng)，設(shè)H(z)=1+bz-1+cz-2+bz-3+z-4，代入等式，兩邊相11等求得H(z)=1+0.25z-1-3z-2+0.25z-3+z-4，得出系統(tǒng)全部零點，如圖3-5(b)1所示。系統(tǒng)流圖如題3-5(a)圖所示。z-1MATLAB程序如下，結(jié)果如題3-5(b)圖所示:b=11.25-2.75-2.751.251;a=1;figure(1)zplane(b,a);figure(2);OMEGA=-pi:pi/100:pi;H=freq

4、z(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OMEGA,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEGA,180/pi*unwrap(angle(H);S-O-七Aeu-6elu-題3-5(b)圖3-6給定|h(j0)|2=1/(1+6406),確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(s)。解:根據(jù)給定的平方幅度響應(yīng)，得|h(j0)|2=11+640601+()2x30.5與H2(j0)=01+()2N0比較，得到N=3,0=0.5。取左半平面的三個極點，得c0=兀J2+兀；6=2兀3，極點s=0(cos0+jsin0)；1極點s=20(cos0+jsin0)=0因此

5、由H(s)=，得n(ss)kCH(s)03(ss)(ss)(ss)123對共軛極點s，1代入上式，得(ss1)(ss)=(ss)(ss*)=s220cos3020.125(s+0.5)(s2+0.5s+0.25)37模擬低通濾波器的參數(shù)如下：=3dB,a=25dB，=25Hz，pf=50Hz，用巴特沃斯近似求H(s)。解：已知a=3dB,a=25dB，25Hz，f=50Hz，確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)如下：)=Ig50)=4.1525100.1X251100.1X312冗x50)2冗x252取N=5。本題由于a正好是3dB，故低通濾波器的3dB截止頻率為：p0=0=2兀f=2兀x25=50兀=1

6、57(rad/s)TOC o 1-5 h zcpp或者，由下式來求取0。c02兀x25丿0=p=157(rad/s)C11(100.1ap1)2N(100.1x31)10將0代入五階巴特沃斯模擬低通傳遞函數(shù)數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)拓展數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)拓展數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)拓展113 3 3 H(s)=-sssss()5+3.236x()4+4.236x()3+4.236x()2+3.236x()+1QQQQQccccc1.048x10-iis5+5.326x10-9s4+5.326x10-9s4+1.095x10-6s3+1.719x10-4s2+0.021s+13-8已知H(s)=，使用脈沖響應(yīng)不變法

7、和雙線性方法分別設(shè)計數(shù)字低通濾波器，使得3dB截止頻率為=0.25兀。解：(1)雙線性變換法：3dB截止頻率為=0.25兀，Q2=tan(T0.25兀)20.828于是H(s)=1+sT/0.828H(z)=H(s)a(2)脈沖響應(yīng)不變法：3dB截止頻率為=0.25兀，Q2tan(T0.25兀)20.828于是H(s)=0.828/T1+sT/0.828s+0.828/T因為脈沖響應(yīng)不變法是由下面的映射完成的：1-e-plTz-11+(2/0.828)(1-z-1)(1+z-1)=0.2920匕M1-0.4159z-1參數(shù)T不參與設(shè)計0.828/T所以H(z)=0.828/T1e-T-0.82

8、8/Tz-11e-0.828z-13-9用脈沖響應(yīng)不變法將H(s)轉(zhuǎn)換為H(z)，采樣周期為TH(s)=，其中m為任意整數(shù)(s-s)m0解：h(t)=L-1h(s)=es(nTtm-1u(t)(m-1)!ATmh(n)=Th(nT)=nm-1es(nTu(n)(m-1)!h(n)=fn-0ATm(m一1)!nm-1es()nTz一nATm(m一1)!m一1zm一1dm-1(1dzm-1(1-esoTz-1丿上式遞推可得：AT1一esoTz-1H(z)=ATmes0Tz一1(1一esoTz-1)mm-1m-2,3,3-10要求設(shè)計一個數(shù)字低通濾波器，在頻率低于-0.2613兀的范圍內(nèi)，低通幅度特

9、性為常數(shù)，并且不低于0.75dB，在頻率-0.4018兀和兀之間，阻帶衰減至少為20dB。試求出滿足這些指標(biāo)的最低階巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)H(z)，采用雙線性變換。解：令|H(jQ)|2為模擬濾波器的平方幅度函數(shù)，且由于采用雙線性變換，Q-tan(w/2)aT20lgH(j2tan(a0.2613兀2)0.7520lgHa(j2tan(0.4018兀2)=dN1一/e21求得理想沖激響應(yīng)為J”一冗(ej)ejndJ0.5“ej(n一二；d一0.5”siYN1)iln丄2丿x0”5(N1nI2”/1N0.5兀一jJe2ejnd=2”一0.5”sii(n-1)Q(n一10)”計算得,0,0,9”

10、一11,0,0,7”5”一1,0,3”11,0.5,0,”一11一11,o,o,o,o,3”5”7”9”加矩形窗：h(n)=h(n)-R(n)dN所以1111111111h(n)=0,0,0,0,0,0.5,0,0,0,0,0d9”7”5”3”3”5”7”9”即h(n)=0,0.0354,0,0.0455,0,0.0637,0,0.1061,0,0.3183,0.5,0.3183,0,0.1061,0,0.0637,0,0.0455,0,0.0354,0正、負(fù)肩峰值的位置如題3-16表所示題3-16表&軸上的位置20lgH(ro)/H(0)值正肩峰（A點）2兀2兀一=0.5ncN2120lg(

11、1.0895)=0.74dB臨界頻率（B點）ro=0.5nc20lg(0.5)=6dB負(fù)肩峰（C點）2n2nro+=0.5n+cN2120lg(0.0895)=21dB過渡帶寬度為2兀2兀4兀4兀(+)()=0.19兀cNcNN21利用MATLAB演示其結(jié)果如題3-16圖所示：N=21;a=(N-1)/2;Wc=0.5*pi;n=0:1:(N-1);m=n-a+eps;避免被零除hd=sin(Wc*m)./(pi*m);H1,W=freqz(hd,1);figure(1);subplot(211);stem(n,hd);xlabel(n);ylabel(h(n);subplot(212);pl

12、ot(W/pi,20*log10(abs(H1)/max(H1);xlabel(頻率);ylabel(幅頻響應(yīng));-100)確定h(n)的長度；(2)111111111題(3-16圖加矩形窗時的脈沖響應(yīng)及其頻譜圖月0.93-17頻奉試用窗函數(shù)法設(shè)計一個第一類線性相位FIR數(shù)字高通濾波器，已知H(ejw)d3兀，Iwlt,H(ejw)=0，4d3TT0Iw1-，對于矩形窗，過渡帶寬度為。4求h(n)的表達(dá)式；(3)a=？解：(1)Aw=(2)h(n)dT4T=,N=64,16N1T=JH(ejw)ejwndwd偶數(shù)，取N=65(3)a2TT3-18J_叭ejwaejw”dw+J”ejwaejw”

13、dw2TT13Tsin(冗(na)sin(na)T(na)4h(n)=h(n)R(n)d65N1651=322用矩形窗設(shè)計線性相位數(shù)字低通濾波器，理想濾波器傳輸函數(shù)H(ejw)為:de-jwa,0Iw|wH(ejw)=d0,wIw|Tc(1)求出相應(yīng)的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。d數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)拓展數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)拓展163 3 cn(n-a)0,1)求出相應(yīng)于理想低通的單位脈沖響應(yīng)h2)(n)；d求出矩形窗設(shè)計法的h(n)表達(dá)式，確定a與N之間的關(guān)系;3)N的取值有什么限制？為什么？(2)求出用矩形窗函數(shù)法設(shè)計的FIR濾波器的h(n)表達(dá)式。1n1wcsinw(n-a)解：(1)

14、h(n)=JH(e-jw)ejwndw=Je-jwaejwndw=d2nd2n-n-wcN-1(2)為滿足線性相位條件，要求a=N-1,N為矩形窗函數(shù)的長度。加矩形窗函數(shù)2得h(n)。sinw(n-a)h(n)=h(n)R(n)=cR(n)。dNn(n-a)N3-19用矩形窗設(shè)計線性相位高通濾波器，逼近濾波器傳輸函數(shù)h(ejw)為dwwIc其他解:(1)直接IDTFTh(ejw)計算:dnH(ejw)ejwndw-ndTOC o 1-5 h zwnJce-jwaejwne-jwaejwndwnwcwncejw(n-a)dw+Jejw(n-a)dwnwcjw(n-a)e-jn(n-a)+ejn(

15、n-a)ejw(n-a)2j冗(n-a)IsinIn(n-a)一sinLo(n-a)n(n-a)csinw(n-a)=5(n-a)-c冗(n-a)h(n)表達(dá)式中第2項d正好是截止頻率為w的理想低通濾波器c的單位脈沖相應(yīng)。而5(n-a)對應(yīng)于一個線性相位全通濾波器:H(ejw)=e-jwadap即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實現(xiàn)2)用N表示sino(na)Ih(n)=h(n)xR(n)=6(na)crR(n)兀(na)IN為了滿足線性相位條件：h(n)=h(N1n)要求a滿足a=-2(3)N必須取奇數(shù)。因為N為偶數(shù)時(情況2),H(ej巧=0,不能實現(xiàn)高通。3-20使用頻率取樣設(shè)計法

16、(第一種形式取樣)設(shè)計一個FIR線性相位低通數(shù)字濾波器。已次口o=0.5兀,N=51oc2兀解：理想低通0到0.5兀和1.5兀到2兀處幅度函數(shù)為1,其余為0。采樣頻率間隔為N込，o的位置在0.5冗“2冗51)=12.7，即k=12和k=13之間，其對稱點位置是51c(Nk)，即k=(5113)=38和k=(51-=39之間。對理想低通采樣，可得1,0k12,39k500,13k38第一類FIRDF的相位特性為兀k(N1)50=兀kN51綜合幅度和相位，F(xiàn)IRDF的離散頻域抽樣值為H(k)=I0,50-ej51k,0k12,39k5013k381ejoNN1H(k)H(ejo)=為-N1Wkej

17、ok=0Ne-j25o51(m+1)2冗/Aro=643-22利用頻率采樣法設(shè)計線性相位FIR低通濾波器，設(shè)N=16,給定希望逼近濾波器的幅度采樣為1，k=0,1,2,3H(k)=0.389,dg0，k=5,6,715-/冗k-/冗ken=e16k=0,1,2,3,13,14,15H(k)=0.389,adk=4,120,k=5,6,7,8,9,10,11h(n)=IDFTH(k)=d16k二0H(k)W-knRd1616(n)=11+e16-j16兀15兀ej8+e-j162兀ej8215兀15兀+e-j163兀ej83n+e-j164兀ej8415兀-j15兀j15n+e16e8dg解：有

18、希望逼近的濾波器幅度采樣H(k)可構(gòu)造出H(ejw)的H(k):兀15)兀15)13兀151+2cosn+2cosn+2cosn_82丿42丿_82丿116n=15耳15耳j13兀j13nj12兀j12e16e8+e16e815工j14兀j14n+e16e8+0.778cos阻帶最小衰減接近-40dB。3-23一個IIR網(wǎng)絡(luò)的差分方程為y(n)=y(n一1)+x(n)，當(dāng)輸入序列x(n)4時。(1)試求在無限精度運算下網(wǎng)絡(luò)輸出y(n),以及nTs時的輸出穩(wěn)態(tài)值。(2)當(dāng)網(wǎng)絡(luò)采用b=4位字長的定點運算時，尾數(shù)采取截尾處理，試計算0n20以內(nèi)21點輸出值y(n)。并求其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(s)。解：(1)

19、由題中已知條件，可以得到該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)拓展數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)拓展3 3 因此y(n)=Y(z)=1X(zJz-141h(n)=(_)nu(n)41n1k乙(一)24k=011一(_)n+1421=1一(_)n+1342limy(n)=3nts(2)為了求y(n),n=1,2,20，我們首先求出y(n)，可以用下式進行迭代1y(n)=y(n一1)+x(n)4未量化則有：34151213652048TOC o 1-5 h z152185y(0)=,y(1)=,y(2)=,y(3)=,y2832128量化后，有y(0)=0.1000y=0.1010y(2)=y(3)=y=y(5)=y

20、(20)=0.1010可見其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值為y(s)=0.1010，所以實際實現(xiàn)時穩(wěn)態(tài)值為0.625。3-24在用模型表示數(shù)字濾波器中舍入和截尾效應(yīng)時，把量化變量表示y(n)=Qx(n)=x(n)+e(n)，式中Q表示舍入或截尾操作，e(n)表示量化誤差。在適當(dāng)?shù)募俣l件下，可以假設(shè)e(n)是白噪聲序列，即Ee(n)e(n+m)=o25(m)。舍入x誤差的一階概率分別是如題3-24(a)圖所示的均勻分布，截尾誤差是如題3-24(b)圖所示的均勻分布。題3-24圖（1）求輸入噪聲的均值和方差。（2）求截尾噪聲的均值和方差。解：（1）舍入噪聲的均值m和方差o2分別為：eeAm=Ee(n)=J2e-p(

21、e,n)dee七en21=J2eA七21e2de=A2A2A2A1Ao2=E(e(n)一m)2=J2e2(n)-p(e,n)de=J2e2deeeAenAA22A212（2）用相似的方法可以求得，截尾噪聲的均值m和方差o2分別為eem=Ee(n)=Je-p(e,n)de=J0ede=eAenAAo2eE(e(n)-m)2=E(e2(n)-2me(n)+m2eee=E(e2(n)-m2e=J0e2(n)-penAA(e,n)de-(-)220e2deAAA2123-25因果LTI系統(tǒng)有系統(tǒng)函數(shù)為1H（z）=-1一0.08z-1+0.96z-2該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？若對系統(tǒng)系數(shù)小數(shù)點后第二位按“四舍五入”

22、舍入，所得系統(tǒng)是穩(wěn)定的嗎？解：matlab演示程序如下：%系統(tǒng)穩(wěn)定性演示程序%設(shè)a,b分別是系統(tǒng)的零點極點系數(shù)%設(shè)z,p,k為系統(tǒng)的零點，極點和增益系數(shù)a=1,0,0;b=1,-0.08,0.96;%求系統(tǒng)的零點極點z,p,k=tf2zp(a,b)；%畫出系統(tǒng)的零點極點圖figure(1)zplane(a,b);%系統(tǒng)系數(shù)經(jīng)過四舍五入a=1,0,0;b=1,-0.08,0.96;%對小數(shù)后第二位四舍五入后零點極點系數(shù)a1,b1temp_a=a*10;temp_b=b*10;a1=round(temp_a)/10;b1=round(temp_b)/10;%求系統(tǒng)的零點極點z,p,k=tf2zp(

23、a1,b1)；%畫出系統(tǒng)的零點極點圖figure(2)zplane(a1,b1);程序結(jié)果顯示：原系統(tǒng)極點為：z=0.0400+0.9790i,z=0.0400-0.9790i12經(jīng)過四舍五入之后：z=0.0500+0.9987i,z=0.0500-0.9987i12極點零點如題3-25圖所示，原系統(tǒng)兩極點在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過四舍五入，系統(tǒng)極點位于單位圓上，系統(tǒng)處于非穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。ryaam10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-11111、/121111-1-0.50RealPart0.51題3-25(a)圖RealPart題3-25(b)圖3-26理想離

24、散時間Hilbert變換器是一個對0兀引入-90。相移，而對-兀0引入+90相移的系統(tǒng)，其頻響幅度為常量(單位1)，這類系統(tǒng)也稱為90移相器(1)試舉出一個理想離散時間Hilbert變換器的理想頻率響應(yīng)H(e冋，并畫出該系統(tǒng)d在兀K的相位響應(yīng)曲線?？捎媚念怓IR線性相位系統(tǒng)來逼近(1)中的理想Hilbert變換器？假設(shè)用窗函數(shù)法設(shè)計一個逼近理想Hilbert變換器的線性相位系統(tǒng)，若FIR是當(dāng)nM時，h(n)=0，試?yán)弥薪o出的H(ed)求理想脈沖響應(yīng)ddh(n)。d當(dāng)M=21時該系統(tǒng)的延遲是多少？若采用矩形窗，試畫出在這種情況下的FIR逼近的頻率響應(yīng)之幅度曲線。解：,、一j,0nH(eT)=j

25、,一兀0只能用IUW型FIR去進行逼近，因為h(n)必然是奇對稱的。(H(e/)是虛奇對稱的)h(n)一jejrondn一jejrondn2兀-k2兀02sin2(兀n/2)0-,n豐0一kn0,n一0(4)當(dāng)M-21時，系統(tǒng)的延遲為M一10.5個樣本，采用矩形窗的FIR逼近頻響幅度,2相位曲線如題3-26圖所示。補充一個采用21點(M-20)，B-2.63的Kaiser窗設(shè)計結(jié)果，以便與(3)中所得結(jié)果進行比較。c12sin2k(n一n)/2Ip(1(nn)/n2)2-2丄,0nMh(n)一彳0ddkn一nd0,其它M一20，p一2.63%320clearall;closeall;M=21;n1=0:M;hl=(nl-(M/2)*pi