考研數(shù)學之線性代數(shù)講義考點知識點概念定理歸納總結

1、文檔編碼 : CP7V10K4J10L4 HA8G6S5E8M1 ZV6T10H4R5S2線性代數(shù)講義目錄第一講 基本概念線性方程組 矩陣與向量 初等變換和階梯形矩陣 線性方程組的矩陣消元法其次講 行列式完全開放式 化零降階法 其它性質 克萊姆法就第三講 矩陣乘法 乘積矩陣的列向量和行向量 矩陣分解 矩陣方程 逆矩陣 相伴矩陣第四講 向量組線性表示 向量組的線性相關性 向量組的極大無關組和秩 矩陣的秩第五講 方程組解的性質 解的情形的判別 基礎解系和通解第六講 特點向量與特點值 相像與對角化特點向量與特點值 概念,運算與應用 相像 對角化 判定與實現(xiàn)附錄一 內積正交矩陣 施密特正交化 實對稱矩

2、陣的對角化第七講 二次型二次型及其矩陣 可逆線性變量替換 實對稱矩陣的合同 標準化和規(guī)范化 慣性指數(shù) 正定二次型與正定矩陣附錄二 向量空間及其子空間附錄三 兩個線性方程組的解集的關系附錄四 06,07 年考題第 1 頁,共 56 頁第一講 基本概念1線性方程組的基本概念線性方程組的一般形式為: m 不必相 等. k 1,k 2, ,k n 稱為解向量, 它中意: 當每個方程中的a11x 1+a12x 2+ +a1nx n=b1, a21x 1+a22x 2+ +a2nx n=b2, am1x 1+am2x 2+ +amnx n=bm, 其中未知數(shù)的個數(shù)n 和方程式的個數(shù)線性方程組的解是一個n

3、維向量未知數(shù)x i 都用ki 替代時都成為等式. 線性方程組的解的情形有三種: 無解, 唯獨解, 無窮多解. 對線性方程組爭論的主要問題兩個 :1 判定解的情形.2 求解, 特殊是在有無窮多接時求通解. b1=b2= =bm=0 的線性方程組稱為 齊次線性方程組. n 維零向量總是齊次線性方程組的解 , 稱為零解 . 因此齊次線性方程組解的情形只有兩種: 唯獨解 即只要零解 和無窮多解 即有非零解. 把一個非齊次線性方程組的每個方程的常數(shù)項都換成 原方程組的導出齊次線性方程組,簡稱導出組. 2. 矩陣和向量 1 基本概念矩陣和向量都是描寫事物形狀的數(shù)0,所得到的齊次線性方程組稱為量形式的進展.

4、 , 就成為一個mn由m n 個數(shù)排列成的一個m 行n 列的表格, 兩邊界以圓括號或方括 號型矩陣. 例如2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 是一個33 3 -1 8 b1 4 5 矩陣. 對于上面的線性方程組, 稱矩陣a11 a 12 a 1n a11 a 12 a 1n A= a 21 a 22 a 2n 和 A| = a 21 a 22 a 2n b2 am1 a m2 amn am1 a m2 amn bm 為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣. 增廣矩陣表達了方程組的全部信息 就表達其全部信息 . , 而齊次方程組只用系數(shù)矩陣一個矩陣中的數(shù)稱為它的元素, 位于第i 行第

5、j 列的數(shù)稱為i,j 位元素. 元素全為0 的矩陣稱為零矩陣, 通常就記作0. 兩個矩陣A 和B 相等 記作A=B, 是指它的行數(shù)相等, 列數(shù)也相等 即它們的類型相同 , 并且對應的元素都相等 . 由n 個數(shù)構成的有序數(shù)組稱為一個n 維向量, 稱這些數(shù)為它的重量. 書寫中可用矩陣的形式來表示向量, 例如重量依次是a1,a 2, ,a n 的向量可表示成第 2 頁,共 56 頁a 1,a 2, a,a n 或a12 , a n請留意, 作為向量它們并沒有區(qū)分, 但是作為矩陣, 它們不一樣 左邊是1 n 矩陣, 右邊是n 1 矩陣. 習慣上把它們分別稱為行向量和列向量 . 請留意與下面規(guī)定的矩陣的

6、行向量和列向量概念的區(qū)分 . 一個m n 的矩陣的每一行是一個 n 維向量, 稱為它的行向量; 每一列是一個 m 維向稱為它的列向量 . 經常用矩陣的列向量組來寫出矩陣 , 例如當矩陣 A 的列向量組為 量, 1, 2, , n 時 它們都是表示為列的形式 . 可記A= 1, 2, , n. 矩陣的很多概念也可對向量來規(guī)定 , 如元素全為 0 的向量稱為零向量, 通常也記作0. 兩個向量 和相等 記作= , 是指它的維數(shù)相等 , 并且對應的重量都相等 . 2 線性運算和轉置線性運算是矩陣和向量所共有的 , 下面以矩陣為例來說明 . 加 減 法: 兩個m n 的矩陣A 和B 可以相加 減, 得到

7、的和 差 仍是m n 矩陣, 記作A+B A- B, 法就為對應元素相加 減. 數(shù)乘: 一個m n 的矩陣A 與一個數(shù)c 可以相乘, 乘積仍為m n 的矩陣, 記作cA, 法就為A 的每個元素乘c. 這兩種運算統(tǒng)稱為線性運算, 它們中意以下規(guī)律: T A 或A . 加法交換律: A+B=B+A. 加法結合律: A+B+ C=A+ B+C. 加乘支配律: c A+B=c A+c B.c+d A=cA+dA. 數(shù)乘結合律: cd A=cd A. c A=0 c=0 或A=0. 轉置: 把一個m n 的矩陣A 行和列互換, 得到的n m 的矩陣稱為A 的轉置, 記作有以下規(guī)律: T T A = A.

8、 A+B =A +B. T c A =cA . 轉置是矩陣所特有的運算 , 如把轉置的符號用在向量上 , 就意味著把這個向量看作矩T T 陣了. 當是列向量時, 表示行向量, 當是行向量時, 表示列向量. 向量組的線性組合: 設 1, 2, , s 是一組n 維向量, c 1,c 2, ,c s 是一組數(shù), 就稱c1 1+c2 2+ +cs s 為 1, 2, , s 的 以c 1,c 2, ,c s 為系數(shù)的 線性組合. n 維向量組的線性組合也是 n 維向量. 3 n 階矩陣與幾個特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣 , 行列數(shù)都為n 的矩陣也經常叫做 n 階矩陣. 把n 階矩陣的從左上到

9、右下的對角線稱為它 對角線. 其上的元素行號與列號相等 . 第 3 頁,共 56 頁下面列出幾類常用的 n 階矩陣, 它們都是考試大綱中要求把握的 . 對角矩陣 : 對角線外的的元素都為 0 的n 階矩陣. 單位矩陣 : 對角線上的的元素都為 1 的對角矩陣, 記作E 或I . 數(shù)量矩陣 : 對角線上的的元素都等于一個常數(shù) c 的對角矩陣, 它就是cE. 上三角矩陣 : 對角線下的的元素都為 0 的 n 階矩陣 . 下三角矩陣 : 對角線上的的元素都為 0 的 n 階矩陣 . 對稱矩陣: 中意A =A 矩陣. 也就是對任何 T i,j,i,j 位的元素和j,i 位的元素總是相等的n 階矩陣.

10、反對稱矩陣: 中意A =- A 矩陣. 也就是對任i,j,i,j 位的元素和j ,i 位的元素之和總等于0 的n 階矩陣. 反對稱矩陣對角線上的元素確定都是 何0. 3. 矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣有以下三種初等行變換: 交換兩行的位置. , 這里省略了. 初等行變用一個非0 的常數(shù)乘某一行的各元素. 把某一行的倍數(shù)加到另一行上. 稱這類變換為倍加變換類似地, 矩陣仍有三種初等列變換, 大家可以仿照著寫出它們換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換. 階梯形矩陣: 一個矩陣稱為階梯形矩陣, 假如中意: 假如它有零行, 就都顯現(xiàn)在下面. 增. 假如它有非零行, 就每個非零行的第一個非 0 元素所在的列號自

11、上而下嚴格單調遞把階梯形矩陣的每個非零行的第一個非 0 元素所在的位置稱為 臺角. 簡潔階梯形矩陣: 是特殊的階梯形矩陣 , 特點為: 臺角位置的元素為 1. 并且其正上方的元素都為 0. 每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡潔階梯形矩陣 . 這種運算是在線性代數(shù)的各類運算題中頻繁運用的基本運算 , 必需特殊嫻熟. 請留意: 1. 一個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯獨的 , 但是其非零行數(shù)和臺角位置是確定的 . 2. 一個矩陣用初等行變換化得的簡潔階梯形矩陣是唯獨的 . 4. 線性方程組的矩陣消元法線性方程組的基本方法即中學課程中的消元法組 即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組:

12、. 線性方程組的同解變換有三種交換兩個方程的上下位置. : 用同解變換把方程組化為階梯形方程用一個非0 的常數(shù)乘某個方程. . , 稱為矩陣消元法. 把某個方程的倍數(shù)加到另一個方程上以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換. 線性方程組求解的基本方法是消元法, 用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進行第 4 頁,共 56 頁對非齊次線性方程組步驟如下 : 1 寫出方程組的增廣矩陣 A| , 用初等行變換把它化為階梯形矩陣 B| . 2 用 B| 判別解的情形: 假如最下面的非零行為 0,0, ,0|d, 就無解, 否就有解. 有解時看非零行數(shù) rr 不會大于未知數(shù)個數(shù) n,r=n 時唯獨解；rn 時無窮多

13、解. 推論: 當方程的個數(shù) mn 時, 不行能唯獨 . 3 有唯獨解時求解的 解初等變換法: 去掉 B| 的零行, 得到一個n n+1矩陣 B0| 矩陣 E| , 就就是解. 對齊次線性方程組: 0, 并用初等行變換把它化為簡潔階梯形1 寫出方程組的系數(shù)矩陣A, 用初等行變換把它化為階梯形矩陣B. 2 用B 判別解的情形: 非零行數(shù)r=n 時只有零解；rn 時有非零解 求解方法在第五章講. 推論: 當方程的個數(shù)m2 時, A* * =| A| A；n=2 時, A* *=A. 二 典型例題1. 運算題T T T 6例1 =1,-2,3 , =1,-1/2,1/3 , A= , 求A. 爭論:1

14、 一般地, 假如 n 階矩陣A= T , 就A= k T k-1 A=tr A k-1 A. T 2 乘法結合律的應用: 遇到形如 的地方可把它當作數(shù)處理 . 1 -1 1T = -1 1-1 ,求 T . （2022 一）第 15 頁,共 56 頁設=1,0,-1 T , A= T n , 求|a E- A |. 三, 四 四 n 維向量=a,0, T ,0,a , a1 例31 0 0 例4 設A 為設A = 1 012, ,1 證明當n1 時n n-2 2A=A +A - E. 2 n 求A . 3 階矩陣, 1, 3 是線性無關的3 維列向量組, 中意1+ 2+ 3, A 2=2 2+

15、 3, A 3=2 2+3 3. 求作矩陣A 1= B, 使得A 1, 2, 3= 1, 2, 3 B. 2022 年數(shù)學四例5 設3 階矩陣A= 1, 2, 3,| A|=1, B= 1+ 2+ 3, 1+2 2+3 3, 1+4 2+9 3, 求| B|.05 . 例6 3 維向量1, 2, 3, 1, 2, 3 中意1 + 3+2 1- 2=0, 3 1- 2+ 1- 3=0, 2+ 3- 2+ 3=0, 已知1, 2, 3|=a, 求| 1, 2, 3|. 又例7 設A 是3 階矩陣, 2 是3 維列向量, 使得P= , A , A 可逆, 并且3 2A =3A -2 A 3 階矩陣B

16、 中意A=PBP . 1 求B.2 求| A+E|.01 一 210例83階矩陣A, B 中意ABA*=2BA* +E, 其中 A= 001120, 求| B|.04 一 例9 3 -5 1 設3 階矩陣A= 1 -1 0 , -1 A XA=XA+2A, 求X. -1 0 2 例10 1 1 -1 -1 A* X=A +2X, 求X. 設3 階矩陣A= -1 1 1 , 1 -1 1 例11 4 階矩陣-1 -1 A, B 中意ABA=BA +3E, 已知1 0 0 0 A* = 0 1 0 0 , 求B. 00 一 1 0 1 0 0 -3 0 8 第 16 頁,共 56 頁例12 3 0

17、 0 1 0 011 XA+2B=AB+2X, 求X . 已知A= 2 10 , B= 0 0 0 , 2 1 3 0 0 -1 T , 3=1,-2,1 T , 矩陣A 中意例13 設1=5,1,-5 T , 2=1,-3,2 A 1=4,3 T , A 2=7,-8 T , A 3=5,-5 T , 求A. 2. 概念和證明題例14 設A 是n 階非零實矩陣, 中意 A* =A . 證明: T 1| A|0. 2 假如n2, 就| A|=1. T 例15 設矩陣A=a ij 3 3 中意A* =A ,a 11,a 12,a 13 為3 個相等的正數(shù), 就它們?yōu)锳 3 / 3.B 3. C1

18、/3. D 3 . 2022 年數(shù)學三 例16 設 A 和B 都是 n 階矩陣 , C= A 0 , 就C*= 0 B A | A| A* 0 . B | B| B * 0 . 0 | B| B * 0 |A| A* C | A| B* 0 . D |B| A* 0 . 0 | B| A* 0 | A| B* 例 17 設A 是3 階矩陣, 交換A 的1,2 列得B, 再把B 的第2 列加到第3 列上, 得C. 求Q, 使得 C=AQ. 例 18 設A 是3 階可逆矩陣, 交換A 的1,2 行得B, 就A 交換 A* 的 1,2 行得到 B* . B 交換 A* 的 1,2 列得到 B* .

19、C 交換 A* 的 1,2 行得到- B* . D 交換 A* 的 1,2 列得到- B* .2022 年 例19 設A 是n 階可逆矩陣, 交換A 的 行得到B. 1 證明B 可逆. i,j 2 求AB . 2例20 設n 階矩陣A 中意A +3A-2 E=0. 1 證明A 可逆, 并且求A .2 證明對任何整數(shù) c, A-c E 可逆. 爭論: 假如f A=0, 就1 當fx 的常數(shù)項不等于0 時, A 可 逆. T . 證明2 fc 0 時, A-c E 可逆. 3 上述兩條的逆命題不成立. 例21 設是n 維非零列向量, 記A=E- 第 17 頁,共 56 頁2 T 1 A =A =1

20、. T 2 =1 A 不行逆. 96 一 爭論: 2 的逆命題也成立. 例 22 設A, B 都是n 階矩陣, 證明E- AB 可 E- BA 可逆 逆. 例 23 設3 階矩陣A, B 滿 AB=A+B. 1 意2 設1 -3 0 證明A- E 可逆. B= 2 1 0 , 求A. 0 0 2 91 -1 例24 設A, B 是3 階矩陣, A 可逆, 它們中意2A B=B-4 E. 1 證明A-2 E 可逆. 2 設1 -2 0 B= 1 2 0 , 求A. 0 0 2 2022 例25 設n 階矩陣A, B 中意AB=aA+bB. 其中ab 0, 證明1 A-b E 和B-a E 都可逆

21、. 2 A 可逆 B 可逆. 3 AB=BA. -1 例26 設A, B 都是n 階對稱矩陣, E +AB 可逆, 證明 E+AB A 也是對稱矩陣. 例27 設A, B 都是n 階矩陣使得A+B 可逆, 證明-1 -1 1 假如 AB=BA, 就B A+B A=A A+B B. 2 假如 A.B 都可逆, 就B A+B A=A A+B B. -1 -1 3 等式 B A+B A=A A+B B 總成立. 例28 設A, B, C 都是n 階矩陣, 中意B=E+AB, C=A+CA, 就B- CA 為E.B - E. C A. D - A. 2022 年數(shù)學四 參考答案1 -1/2 1/3 5

22、 5 例1 3 A=3 -2 1 2/3 . 3 -3/2 1 2 n3. a a-2 . -1. E. 4. 2 2A A - E= A - E. 例2O. 例31 提示n n-2 2: A =A +A - E n-2 2 2A A - E= A - E 2n=2k 時, 1 0 0 nA = k 1 0 . k 0 1第 18 頁,共 56 頁n=2k+1 時, 1 0 0 . n A = k+1 0 1 k 1 0 例4 1 0 0 B= 1 2 2 . 1 1 3 例52. E+A|=-4 例 4a. 6例70 0 0 B= 1 0 3 . | 0 1 -2 例81/9. 例9-6 1

23、0 4 X= -2 4 2 . -4 10 0 例10 1 1 01/4 0 1 1 . 1 0 1例11 6 0 0 0 B= 0 6 0 0 . 6 0 6 0 0 3 0 -1 例12 1 0 0 2 0 0 . 6 -1 -1 例13 2 -1 1. -4 -2 -5 . 例15 A. 例16 D. 例17 0 1 1 Q= 1 0 0 0 0 1 例18 D. . 例如證明, 即在E- AB 可逆時證明齊次方程 E- BA X=0 只例19 Ei,j. 例22 提示: 用克萊姆法就有零解. 組例23 1 1/2 0 A= -1/3 1 0 . 例00 2 . 24 0 2 0 A=

24、-1 -1 0 0 0 -2 例25 提示: 運算 A-b E B-a E. 例28 A. 第 19 頁,共 56 頁第四講 向量組的線性關系與秩一. 概念復習1. 線性表示關系設 1, 2, , s 是一個n 維向量組. 假如 n 維向量 等于 1, 2, , s 的一個線性組合,就說 可以用 1, 2, , s 線性表示. 假如 n 維向量組 1, 2, , t 中的每一個都可以可以用 1, 2, , s 線性表示, 就說向量1, 2, , t 可以用 1, 2, , s 線性表示. 判別“ 是否可以用 1, 2, , s 線性表示. 表示方式是否唯獨？”就是問：向量方程x 1 1+ x2

25、 2+ +xs s= 是否有解？解是否唯獨？用重量寫出這個向量方程 , 就是以 1, 2, , s 為增廣矩陣的線性方程組. 反之, 判別“以A 為增廣矩陣的線性方程組是否有解？解是否唯獨？” 的問題又可轉化為“ 是否可以用A 的列向量組線性表示 . 表示方式是否唯獨？”的問題 . 向量組之間的線性表示問題與矩陣乘法有親熱關系 : 乘積矩陣AB 的每個列向量都可表示為A 的列向量組的線性組合 , 從而AB 的列向量組可以 以 A 的列向量組線性表示 ; 反之, 假如向量組 1, 2, , t 可以用 用1, 2, , s 線性表示, 就矩陣 1, 2, , t 等于矩陣 1, 2 , , s

26、和一個 s t 矩陣C 的乘積. C 可以這樣構造: 它的第 i 個列向量就是 i 對1, 2, , s 的分解系數(shù) C 不是唯獨的. 向量組的線性表示關系有傳遞性 , 即假如向量組 1, 2, , t 可以用 1, 2, , s 線性表示, 而 1, 2, , s 可以用 1, 2, , r 線性表示, 就 1, 2, , t 可以用 1, 2, , r 線性表示. 當向量組 1, 2, , s 和 1, 2, , t 相互都可以表示時就說它們等價并記作1, 2, , s 1, 2, , t . 等價關系也有傳遞性 . 2. 向量組的線性相關性1 定義 從三個方面看線性相關性 線性相關性是描

27、述向量組內在關系的概念 , 它是爭論向量組 1, 2, , s 中有沒有向量可以用其它的s-1 個向量線性表示的問題 . 定義 設 1, 2, , s 是n 維向量組, 假如存在不全為 0 的一組數(shù) c1,c 2, ,c s 使得c 1 1+c2 2+ +cs s =0, 就說 1, 2, , s 線性相關否就 即要使得 c 1 1+c2 2+ +cs s =0, 必需 c 1,c 2, ,c s 全為0 就說它們線性無關. 于是, 1 , 2, , s “線性相關仍是無關”也就是向量方程x 1 1+ x 22+ +xs s=0“有沒有非零解” , 也就是以1, 2, , s 為系數(shù)矩陣的齊次

28、線性方程組有無非零解. 當向量組中只有一個向量s=1 時, 它相關 無關 就是它是 不是 零向量. 兩個向量的相關就是它們的對應重量成比例. 2 性質當向量的個數(shù)s 大于維數(shù)n 時, 1, 2, , s 確定線性相關. 第 20 頁,共 56 頁假如向量的個數(shù)s 等于維數(shù)n, 就1, 2, , n 線性相關| 1, 2, , n|=0. s 線性表線性無關向量組的每個部分組都無關 從而每個向量都不是零向量. 2, , 假如1, 2, , s 線性無關而1, 2, , s , 線性相關, 就可用1, 示. 假如 可用 1, 2, , s 線性表示, 就表示方式唯獨 1, 2, , s 線性無關.

29、 假如 1, 2, , t 可以用 1, 2, , s 線性表示,并且 ts, 就 1, 2, , t 線性相關. 推論 假如兩個線性無關的向量組相互等價 , 就它們包含的向量個數(shù)相等 . 3. 向量組的極大無關組和秩1 定義向量組的秩是刻畫, 向量組相關“程度”的一個數(shù)量概念. 它說明向量組可以有多大 指包含向量的個數(shù) 的線性無關的部分組. 定義設1, 2, , s 是n 維向量組,I 是它的一個部分組. 假如I 線性無關. I 再擴大就線性相關. 就稱I 為1, 2, , s 的一個極大無關組. 條件可換為: 任何I 都可用I 線性表示, 也就是I 與1, 2, , s 等價. 當1, 2

30、, , s 不全為零向量時, 它就存在極大無關組, 并且任意兩個極大無關組都等價從而包含的向量個數(shù)相等. 定義假如1, 2, , s 不全為零向量, 就把它的極大無關組中所包含向量的個數(shù)是一個正整數(shù)稱為1, 2, , s 的秩, 記作r 1, 2, , s. 假如1, 2, , s 全是零向量, 就規(guī)定r 1, 2, , s=0. 由定義得出: 假如r 1, 2, , s =k, 就i 1, 2, , s 的一個部分組假如含有多于k 個向量, 就它確定的相關. ii 1, 2, , s 的每個含有k 個向量的線性無關部分組確定是極大無關組. 2 應用1, 2, 1, , s 線性無關r 1,

31、2, , s=s. 1, 2, , s. 可用2, , s 線性表示r 1, 2, , s, =r 事實上如不行用1, 2, , s 線性表示, 就r 1, 2, , s, =r 1, 2, , s+1. 推論1: 可用1, 2, , s 唯獨線性表示r 1, 2, , s, =r 1, 2, , s =s. 推論2: 假如r 1, 2, , s =維數(shù)n, 就任何n 維向量都可以用1, 2, , s 線性表示. 1, 2, , t 可以用1, 2, , s 線性表示r 1, 2, , s, 1, 2, , t =r 1, 2, , s . 推論: 假如1, 2, , t 可以用1, 2, ,

32、 s 線性表示, 就r 1, 2, , t r 1, 2, , s . 1, 2, , s和1, 2, , t 等價r 1, 2, , s= r 1, 2, , s, 1, 2, , t = r 1, 2, , t . 極大無關組和秩的概念可以推廣到向量集合上 即包含的向量的個數(shù)不必有限, 全部性質仍舊成立. 第 21 頁,共 56 頁4. 秩的運算, 有相同線性關系的向量組兩個向量個數(shù)相同的向量組1, 2, , s, 和1, 2, , s 稱為有相同線性關系, 假如向量方程x1 1+x2 2+ +xss =0 和x 1 1+x2 2+ +xs s=0 . 同解, 即齊次線性方程組1, 2,

33、, s X=0 和 1, 2, , s X=0 同解. 當1, 2, , s 和1, 2, , s 有相同線性關系時, 1 它們的對應部分組有一樣的線性相關性. 2 它們的極大無關組相對應, 從而它們的秩相等. 3 它們有相同的內在線性表示關系. 例如, 當A 經過初等行變換化為 B 時, AX=0 和BX=0 同解, 從而A 的列向量組和B 的列量組有相同線性關系 . 于是它們的極大無關組相對應 , 秩相等. 向這樣, 就產生了運算一個向量組1, 2, , s 的秩和極大無關組的方法: 把此向量組作為列向量組構造矩陣1, 2, , s, 用初等行變換把它化為階梯形矩陣B, 就B 的非零行數(shù)就

34、是1, 2, 是, s 的秩, B 的各臺角所在列號對應的部分組1, 2, , s 的的一個極大無關組假如A 經過初等列變換化為B,就A 的列向量組和B 的列向量組是等價關系,雖然秩相等, 但是極大無關組并沒有對應關系 . 5. 矩陣的秩1 定義一個矩陣A 的行向量組的秩和列向量組的秩相等 于是r A=0 A=0. 假如 A 是m n 矩陣, 就r A Minm,n. , 稱此數(shù)為矩陣A 的秩, 記作r A. 當r A=m 時, 稱A 為行滿秩的; 當r A=n 時, 稱A 為列滿秩的. 對于 n 階矩陣A, 就行滿秩和列滿秩是一樣的 , 此時就稱A 滿秩. 于是: n 階矩陣A 滿秩 r A

35、=n 即A 的行 列 向量組無關 | A| 0 A 可逆. 矩陣的秩仍可以用它的非 0 子式來看. A 的r 階子式: 任取A r 行和r 列, 在它們的交叉位置上的元素所構成的行列式 , 假如它的值不為 的 0, 就稱為非0 子式. 命題 r A 就是A 的非0 子式的階數(shù)的最大值 . 即A 的每個階數(shù)大于 r A 的子式的值都為0, 但是A 有階數(shù)等 r A 的非0 子式. 于2 運算命題 初等變換保持矩陣的秩 . 階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù) . 矩陣秩的運算 : 用初等變換將其化為階梯形矩陣 , 就此階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩. 3 在矩陣運算中, 矩陣的秩有性質 r A

36、 =r A. T 假如c 不為0, 就rc A=r A. r A B r A+r B. 第 22 頁,共 56 頁r AB Minr A,r B. r A. n. 當A 或B 可逆時,r AB=r B 或假如AB=0,n 為A 的列數(shù) B 的行數(shù), 就r A+r B 假如A 列滿秩r A 等于列數(shù), 就r AB=r B. 一般公式: r A+r B n+r AB. 下面給出和在判別向量組的線性相關性和秩的運算問題上的應用 . 設向量組 1, 2, , s 線性無關, 向量組 1, 2, , t 可用 1, 2, , m線性表示, 表矩陣為C, 就 示i r 1, 2, , t =r C. ii

37、 假如 t=s 此時 C 是t 階矩 , 就 1, 2 , , s 線性無關 C 可逆. 令 A= 1, 2, , 陣 s , B = 1, 2, , t , 就 B=AC, 并且 r A= 列數(shù) s, 用得到r 1, 2, , s=r C. t=s 時, C 可 r 1, 2, , s =r C=s 1, 2, , s 線性無關. 或直接用證明 ii: C 可逆時r B=r A=s, 從而 逆1, 2, , s 線性無關. 假如C 不行逆, r 1, 2, , s r C s, 從而 1, 2, , s 線性相關 . 就6. 矩陣的等價 兩個矩陣假如可以用初等變換相互轉化 , 就稱它們等價.

38、 矩陣的等價的充分必要條件為它們類型相同 , 秩相等. 二. 典型例題1. 向量組秩的運算和應用例1a,b,c 中意什么條件時向量組1=a,0,c, 2=b,c,0, 3=0,a,b 線性無關？02 例2 已知2,1,1,1,2,1,a,a,3,2,1,a,4,3,2,1 線性相關, 并且a 1, 求a. 05 例 3 設 1=1+a,1,1 ,2=1,1+b,1 ,3=1,1,1-b ,問 a,b 中意什么條件時r 1, 2, 3=2. 2例 4 設 1=1+ ,1,1 ,2=1 ,1+ ,1 ,3=1 ,1,1+ ,=0 , , 為何值時,可用 1,2,3 線性表示,并且表示方式唯獨？ 為

39、何值時,可用 1,2,3 線性表示,并且表示方式不唯獨？ 為何值時,不行用 1,2,3 線性表示？例5 設 1=1,0,1,1, 2=2,-1,0,1, 3=-1,2,2,0, 1=0,1,0,1, 2=1,1,1,1. 問: c1,c 2 中意什么條件時 c 1 1+c2 2 可以用 1, 2, 3 線性表示 .例6 設 1=1,2,0,1 , 2 =1,1,-1,0, 3=0,1,a,1, 1=1,0,1,0, 2=0,1,0,2.a 和k 取什么值時 , 1+k 2 可用 1, 2, 3 線性表示 .寫出表示式. 例7 設 1=1,2,-3 ,2=3,0,1 ,3=9,6,-7 ,1=0

40、,1,-1 ,2=a,2,1 ,3=b ,1,0 已知r 1, 2, 3=r 1, 2, 3, 并且 3 可用 1, 2, 3 線性表示,求 a,b.00 二 例8 求常數(shù)a, 使得向量組 1=1,1,a, 2=1,a,1, 3=a,1,1 可由向量組 1=1,1,a, 2=-2,a,4, 3=-2,a,a 線性表示, 但是 1, 2, 3 不行用 1 , 2, 3 線性表示. 2022 年數(shù)學二 第 23 頁,共 56 頁例9 給定向量組 1=1,0,2 ,2=1,1,3 ,3=1,-1,a+2 和 1=1,2, a+3 ,2= 2,1 ,a+6 ,3=2,1,a+4 當a 為何值時 和 等

41、價. a 為何值時 和 不等價.03 四 例10 設1=1,-1,2,4, 2=0,3,1,2, 3=3,0,7,14, 3, 4=1,-2,2,0, 5=2,1,5,10. 它們的以下部分組中, 是極大無關組的有哪幾個.4. 1 1, 2, 3. 2 1, 2, 4. 3 1, 2, 5. 4 1, 2. 向量組秩的性質的應用例11 已知1, 2, 3 線性相關, 而2, 3, 4 線性無關, 就1, 2, 3, 4 中, 1, 能用另外3 個向量線性表示, 而不能用另外3 個向量線性表示. 4, 5=4,求r 2, 3, 4- 5 例12 已知r 1, 2, 3=r 1, 2, 3, 4=

42、3,r 1, 2, 3, 95 三 例13 已知可用1, 2, , s 線性表示,但不行用1, 2, , s-1 線性表示證明s 不行用1, 2, , s-1 線性表示；s 可用1 , 2, , s-1 , 線性表示1, 2, , s 也線性無關例14 1, 2, 3, 線性無關, 而1, 2, 3, 線性相關, 就A 1, 2, 3,c + 線性相關. B 1, 2, 3,c + 線性無關. C 1, 2, 3, +c 線性相關. D 1, 2, 3, +c 線性無關. 例15 已知n 維向量組1, 2, , s 線性無關, 就n 維向量組的充分必要條件為A 1, 2, , s 可用1, 2

43、, , , s 線性表示. B 1, 2, , s 可用1, 2, , s 線性表示. s 等價. C1, 2, , s 與1, 2, D 矩陣1, 2, , s 和 1, 2, , s 等價. 3. 矩陣的秩例16 n 階矩陣1 a aaa 1 a aA= a a 1 a a a aa.98 1的秩為n-1, 求三 例17 設ab b 第 24 頁,共 56 頁A= b a b , 已知r A+r A* =3, 求a,b 應當中意的關系.03 三 b b a 例18 設1 2 3 4 1234r A 和r B, 求a,b 和A= 2 3 4 5 , B= 0 123 , 求r BA+2A.

44、3 4 5600124 5 670001例19 ab -3 b-1 a 1 3 階矩陣A= 2 0 2 ,B= 0,已知r AB 小于3 2 -1 0 2 1 r AB. 例20 設1 ,2,3線性無關,就線性無關：1+ 2,2+ 3 ,3- 1 ；1+ 2,2+ 3 ,1+2 2+ 3；1+2 2,2 2+3 3,3 3+ 1；1+ 2+ 3,2 1-3 2+22 3,3 1+5 2-5 397 三 例21 設1 ,2,3線性無關,就線性相關：1+ 2,2+2 3,3+4 1；1- 2,2-2 3,3-4 1；1+1/2 2,2+ 3,3 3+2 1；1-1/2 2,2- 3,3-2 1例2

45、2 設A 是m n 矩陣, B 是n m 矩 就 陣, 當m n 時, AB . A 當m n 時, AB 0. B C 當n mAB| 0. D 當n m 時, AB . 99 時, 例23 AB=0, A, B 是兩個非零矩陣, 就A A 的列向量組線性相關. B 的行向量組線性相關. B A 的列向量組線性相關. B 的列向量組線性相關. C A 的行向量組線性相關. B 的行向量組線性相關. D A 的行向量組線性相關. B 的列向量組線性相關. 04 4. 證明題例24 設 1, 2 , , s 是n 維向量組. 證明r 1, 2 , , s =n 的充分必要條件為: 任何n 維向量

46、都可用 1, 2, , s 線性表示. T 例25 設A 是m n 矩陣,證明r A=1 存在m 維非零列向 =a 1,a 2, ,a m 和n 維非零列向量 =b 1,b 2, ,b n T ,使得A= 量 T . 2例26 設n 階矩陣A 的秩為1,證明A =tr A A. 第 25 頁,共 56 頁例27 設A*為n 階矩陣A 的相伴矩陣, 就A , n, 如r A=n, k 使得k k-1 A =0, 但是A 0, 證明, r A* = 1, 如r A=n-1, 0, 如r An-1. 例28 設A 為n 階矩陣, 為n 維列向量. 正整數(shù), k-1 A 線性無關. 2, , s +

47、r 1, 2, , t . 例29 證明r 1, 2, , s , 1, 2, , t r 1, 例30 證明r A+B r A+r B. 例31 證明矩陣方程AX=B 有解r A| B=r A. 參考答案例1 abc 0. =-3. 例2 1/2. 例3 a=-1 或b=0 并且a 0. 例4 1 0 和-3.2 =0.3 例52c 1+c2=0. . 例6k=-1,a 1. 例7a=15,b=5.例81. 例9a-1 時等價, a=-1 時不等價例10 2 和4. 例11 1 能, 4 不能. 例12 4. 例14 D. 例15 D. 例16 a=1/1-n. 例17 a=-2b 0. 例

48、18 2. 例19 a=1,b=2,rAB=1. 例20 C. 例21 D. 例22 B. 例23 A. 第 26 頁,共 56 頁第五講 線性方程組一. 概念復習1. 線性方程組的形式線性方程組除了通常的寫法外 , 仍常用兩種簡化形式：矩陣式 AX= , 齊次方程組 AX=0. 向量式 x 1 1+x2 2+ +xs s= , 齊次方程組 x1 1+x2 2+ +xs s=0. 2. 線性方程組解的性質1 齊次方程組AX=0 假如 1, 2, , s 是齊次方程組 AX=0 的一組解, 就它們的任何線性組合 c 1 1+ c 2 2+ + cs s 也都是解. 2 非齊次方程組AX= 假如

49、1, 2, , s 是 AX= 的一組解, 就它們的線性組合 c1 1+ c 2 2+ +cs s 也是 AX= 解的 c1+ c 2+ +cs=1. 它們的線性組合 c1 1+ c 2 2+ +cs s 是AX= 的解 c 1+ c2+ +cs=0. 假如 0 是AX= 的一個解, 就n 維向量n 是未知數(shù)的個數(shù) 也是解-0 是導出齊次方程組AX= 的解. 也就是說, 是0 與導出組AX= 的一個解的和 . 3. 線性方程組解的情形的判別對于方程組AX= , 判別其解的情形用三個數(shù) : 未知數(shù)的個數(shù) n,r A,r A| . 無解 r A r A| . 有唯獨解 r A =r A| =n.

50、當A 是方陣時, 就推出克萊姆法就. 有無窮多解 r A =r A| n. 方程的個數(shù)m 雖然在判別公式中沒有顯 , 但它是r A 和 r A| 的上界, 因此當 r A=m 時, 現(xiàn)AX= 確定有解. 當 mn 時, 確定不是唯獨 . 解對于齊次方程組 AX=0, 判別解的情形用兩個數(shù) : n,r A. 有非零解 r A =n 即: 只有零解 r A=n. 推論1 當A 列滿秩時, A 在矩陣乘法中有左消去律 : AB=0 B=0；AB=AC B=C. 證明 設B= 1, 2, , t , 就AB= A i =0,i=1,2, ,s. 1, 2, , t 都是AX=0 的解. 而A 列滿秩

51、, AX=0 只有零解 , i =0,i=1,2, ,s, 即B=0. 推論2 假如A 列滿秩, 就 r AB=r B. 證明 只用證明齊次方程組 ABX=0和BX=0同解. 此時矩陣 AB 和B 的列向量組有相的線性關系 , 從而秩相等. 同是 ABX= 的解 AB = B =0 用推論 是 BX= 的解. 于是ABX=0和BX=0 的確同解. 第 27 頁,共 56 頁4. 齊次方程組的基礎解系 線性方程組的通解1 齊次方程組的基礎解系假如齊次方程組 AX= 有非零解, 就它的解集 全部解的集合 是無窮集, 稱解集的每個極大無關組為AX= 的基礎解系. 于是, 當 1, 2, , s 是A

52、X= 的基礎解系時: 向量是 AX= 的解 可用 1, 2, , s 線性表示. 定理設 AX= 有n 個未知數(shù), 就它的基礎解系中包含解的個數(shù) 即解集的秩 =n-r A . 于是, 判別一組向量 1, 2, , s 是AX= 的基礎解系的條件為 1, 2, , s 是 AX= 的一組解. 1, 2, , s 線性無關. s=n-r A . 推論 假如 AB=0,n 為A 的列數(shù) B 的行數(shù) , 就r A+r B n. 證 記 B= 1, 2, , s , 就 A i =0,i=1,2, ,s, 即每個 i 都是齊次方程組 AX= 的解, 從而r B= r 1, 2, , s n-r A, 即

53、r A+r B n. 2 線性方程組的通解假如 1, 2, , s 是齊次方程組AX= 的基礎解系, 就AX= 的通解 一般解 為c 1 1 + c 2 2+ + c s s, 其中 c1 c 2 ,c s 可取任何常數(shù). 假如 0 是非齊次方程組AX= 的解, 1, 2, , s 是導出組AX= 的基礎解系, 就AX= 的通解 一般解 為0+c 1 1+c2 2+ +cs s, 其中 c 1 c2, ,c s 可取任何常數(shù). 二. 典型例題例1 3x1+2x 2-2x 3+ x 4 =0 ,6x1+4x 2 +5x 3+2x4+3x 5=0,求此齊次方程組的基礎解系和通解 . 9x 1+6x

54、 2 +3x 4+2x 5=0,例2 爭論p,t 的取值對下面方程組解的影響 , 并在有無窮多解時求通解 .96 四 x 1+x2 -2x 3+3x4=0,2x1+x2 -6x 3+4x4=-1 ,3x1+2x2+px 3+7x 4=-1 ,x1-x 2-6x 3- x 4= t 例3 齊次方程組 AX=0 的系數(shù)矩陣為1+a 1 1 12 2+a 2 2A = 3 3 3+a 3 , n n n n+a a 為什么數(shù)時AX=0 有非零解.求通解.04 一 第 28 頁,共 56 頁例4 線性方程組的增廣矩陣為1 a b 1 0 A| = 2 1 1 2 0 , 3 2+a 4+b 4 1T

55、又已知1,-1,1,-1 是它的一個解. 1 用導出組的基礎解系表示通解 . 2 寫出中意x2=x3 的全部解.04 四 例5 設線性方程組為2 3x 1+a1x2+a1 x3 =a1 , 2 3x1 +a2x2+a2 x3 =a2 , 2 3x1 +a3x2+a3 x3 =a3 , 2 3x1 +a4x2+a4 x3 =a4 . 1 證明當a1,a 2,a 3,a 4 兩兩不相等時, 方程組無解. 2 設a1=a3=-a 2=-a 4=k, 并且-1,1,1 T 和1,1,-1 T 都是解, 求此方程組的通解.94 三 例6 已知10,1,0 T 和2=-3,2,2 T 都是方程組x 1-x

56、 2+2x 3=-1, 3x 1+x2+4x 3=1, ax1+bx 2+cx3=d 的解, 求通解. 例7 已知1 1,1,-1,-1 T 和2 1,0,-1,0 T 是線性方程組x 1+ x 2 -x 3+x4=2,x 2 +px3+qx 4 =s, 2x 1+tx 2-x 3+tx 4 =r = 1+ 2+ 3+ , 的解, =2,-2,1,1 T 是它的導出組的解, 求方程組的通解. 例8 設矩陣= , , 3, 4, 其中, 3, 4 線性無關, =2 -3. 又設求AX=的通解.02 一,二r =3. 求通例91, 2, 3 都是X = 的解, 其中=1,2,3,4, 0,1,2,

57、3 解.00 三 例10 1 2 3 并且AB=0, 已知3 階矩陣A 的第一行為a,b,c,a,b,c 不全為0, 矩陣B= 2 4 6 , 3 6 k 求齊次線性方程組A X=0 的通解. 2022 年數(shù)學一, 二 例11 設A 是mn 矩陣,r A=r 就方程組AX =A 在r=m 時有解. B 在m=n 時有唯獨解 C 在r0. 假照實對稱矩陣 A 所預備的二次型正定 , 就稱A 為正定矩陣, 于是A 為正定矩陣也就是T 中意性質: 當X 0 時, 確定有X AX0. 二次型的正定性是在可逆線性變量替換中保持不變的 變換時保持不變. 2 性質與判定 實對稱矩陣A 正定 合同于單位矩陣.

58、 . 即實對稱矩陣的正定性在合同角的存在可逆矩C, 使得T A=C C. A 的正慣性指數(shù)等于其階 數(shù) A 的特點值都是正數(shù) . n. A 的次序主子式全大于0. 次序主子式: 一個n 階矩陣有n 個次序主子式 r 階矩陣Ar 的行列式| Ar |. , 第r 個 或稱r 階 次序主子式即A 的左 上判定正定性的方法: 次序主子式法, 特點值法, 定義法. 二. 典型例題1. 概念考核題例1 設A 是一個可逆實對稱矩陣,記 Aij 是它的代數(shù)余子式 . 二次型n A ij fx 1,x 2, ,x n = xi x j . i , j 1 | A | 1 用矩陣乘積的形式寫出此二次型 . T

59、2 fx 1,x 2, ,x n 的規(guī)范形和X AX 的規(guī)范形是否相 .為什么.01 三 同例2 挑選題 設11111 , 4000就A= 111B= 0 0 0 0 , 1 111000011110000A A 與B 既合同又相像. 第 44 頁,共 56 頁B A 與B 合同但不相像. . C A 與B 不合同但相像. D A 與B 既不合同又不相 像2. 化二次型為標準型例3 用配方法化二次型為標準型2 21 fx 1,x 2,x 3= x 1 +2x2 +2x1x 2-2x 1x3+2x 2x3. 2 fx 1,x 2,x 3= x 1x 2+x1x3+x2x 3. 2 2 2 2 2

60、 2例4 已知二次型2x1 +3x 2 +3x3 +2ax2 x3a0 可用正交變換化為 y1 +2y2 +5y3 , 求a 和所作正交變換 .93 一 例5 設二次型T 2 2 2fx 1,x 2,x 3= X AX=ax1+2x 2-2x+2bx1x 3,b0其中A 的特點值之和為 1, 特點值之積為-12. 1 求a,b. 2 用正交變換化 fx 1,x 2,x 3 為標準型.03 三 例6 已知二次型2 2 2fx 1,x 2,x 3=ax 1 +x2 +x3 +4x 1x 2+4x 1x 3+4x 2x 3可用正交變換化為 6y1 . 求a, 并且作實現(xiàn)此轉化的正交變換 2.02 一