2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江西卷)理

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江西卷)數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷和第卷兩部分,滿分150分,考試時間120分鐘.參考公式2=n第卷一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2014江西,理1)z是z的共軛復(fù)數(shù),若z+z=2,(z-z)i=2(i為虛數(shù)單位),則z=(). A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案:D解析:設(shè)z=a+bi(aR,bR),則z=a-bi.由z+z=2,得2a=2,即a=1;又由(z-z)i=2,得2bii=2,即b=-1.故z=1-i.2.(2014江西,理2)函數(shù)f(x)=ln(x

2、2-x)的定義域為().A.(0,1)B.0,1C.(-,0)(1,+)D.(-,01,+)答案:C解析:由題意可知x2-x0,解得x1.故函數(shù)f(x)的定義域為(-,0)(1,+).3.(2014江西,理3)已知函數(shù)f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(aR),若fg(1)=1,則a=().A.1B.2C.3D.-1答案:A解析:由題意可知fg(1)=1=50,得g(1)=0,則a-1=0,即a=1.故選A.4.(2014江西,理4)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=3,則ABC的面積是()A.3B.932C.332答案:C解析:在ABC中

3、,由已知條件及余弦定理可得c2=(a-b)2+6=a2+b2-2abcos 3,整理得ab=6再由面積公式S=12absin C,得SABC=126sin3=5.(2014江西,理5)一幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個俯視圖中正確的是().答案:B解析:俯視圖為在水平投射面上的正投影,結(jié)合幾何體可知選B.6.(2014江西,理6)某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系,隨機(jī)抽查52名中學(xué)生,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是().表1成績性別不及格及格總計男61420女102232總計163652表2視力性別好差總計男41620女122032

4、總計163652表3智商性別偏高正?？傆嬆?1220女82432總計163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計男14620女23032總計163652A.成績B.視力C.智商D.閱讀量答案:D解析:根據(jù)2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(7.(2014江西,理7)閱讀如下程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則程序運行后輸出的結(jié)果為().A.7B.9C.10D.11答案:B解析:通過對程序框圖的分析可知,該循環(huán)是一個根據(jù)判斷條件不斷累加的過程,i=7時,S=0+lg13+lg35+lg57+lg79=i=9時,S=0+lg13+lg35+lg57+lg79+lg911=lg111711,所以連接A1

5、E并延長交D1C1于點F,過點F作FM在矩形AA1FM中分析反射情況:由于AM=35310,第二次反射點為E1在線段AM上,此時E1M=53,第三次反射點為E2在線段FM上,此時E2M=4,第四次反射點為E3在線段A1F上,由圖可知,應(yīng)選二、選做題:請考生在下列兩題中任選一題作答,若兩題都做,則按所做的第一題評閱計分,本題共5分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.11.(2014江西,理11)(1)(不等式選做題)對任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值為().A.1B.2C.3D.4(2)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標(biāo)系的原點為極點,x軸的

6、非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則線段y=1-x(0 x1)的極坐標(biāo)方程為().A.=1cos+sin,B.=1cos+sin,C.=cos +sin ,0D.=cos +sin ,0(1)答案:C解析:|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,當(dāng)且僅當(dāng)(1-x)x0,(1-y)(1+y)0,即0 x1,-1y1時等號成立,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值為3.(2)答案:A解析:由x=cos ,y=sin ,y=1-x可得sin =1-cos ,即=1cos再結(jié)合線段

7、y=1-x(0 x1)在極坐標(biāo)系中的情形,可知0,因此線段y=1-x(0 x1)的極坐標(biāo)方程為=1cos+sin,0三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.12.(2014江西,理12)10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是.答案:1解析:本題屬于古典概型,由古典概型概率公式可得所求概率為C313.(2014江西,理13)若曲線y=e-x上點P處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點P的坐標(biāo)是.答案:(-ln 2,2)解析:設(shè)點P的坐標(biāo)是(x0,e-x0y|x=x0=-e-x0=-2,得又e-x0=eln 2故點P的坐標(biāo)是(-ln 2,2).14.

8、(2014江西,理14)已知單位向量e1與e2的夾角為,且cos =13,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為,則cos =答案:2解析:由已知得cos =a=9|e1與e2是單位向量,其夾角為,且cos =13|e1|2=|e2|2=1,e1e2=|e1|e2|cos =13cos =9=2315.(2014江西,理15)過點M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B兩點,若M答案:2解析:由題意可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則可得x-,并整理得x1+x2a2M是線段AB的中點,且過點M(1,1)的直線斜率為-12x1+x2=

9、2,y1+y2=2,k=y1-y(*)式可化為1a即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即c2e=ca四、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2014江西,理16)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)+acos(x+2),其中aR,-(1)當(dāng)a=2,=4時,求f(x)在區(qū)間0,上的最大值與最小值(2)若f2=0,f()=1,求a,的值分析:(1)先將a=2,=4代入f(x),再利用兩角和的正弦公式和余弦公式對f(x)進(jìn)行化簡,最終化成一個三角函數(shù)值的形式,根據(jù)所給角的范圍,借助于數(shù)形結(jié)合求出最大值和最小值(2)利用所

10、給條件列出方程聯(lián)立成方程組求出a,.解:(1)f(x)=sinx+4=22(sin x+cos x)-2sin x=22cos x-22sin x=因為x0,從而4-x-故f(x)在0,上的最大值為22,最小值為(2)由f又-2,2,知cos解得a=17.(本小題滿分12分)(2014江西,理17)已知首項都是1的兩個數(shù)列an,bn(bn0,nN*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=anbn,求數(shù)列cn(2)若bn=3n-1,求數(shù)列an的前n項和Sn.分析:(1)根據(jù)cn=anbn,將anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0轉(zhuǎn)化,將cn構(gòu)造成等差數(shù)列,利用

11、等差數(shù)列的知識求出通項(2)借助于(1)的結(jié)論可先求出an,利用求數(shù)列前n項和的方法(本題用錯位相減法)求出an的前n項和Sn.解:(1)因為anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN*),所以an+1bn+1-anbn所以數(shù)列cn是以首項c1=1,公差d=2的等差數(shù)列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是數(shù)列an前n項和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1,3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,相減得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,所以

12、Sn=(n-1)3n+1.18.(本小題滿分12分)(2014江西,理18)已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b)1-2x(bR(1)當(dāng)b=4時,求f(x)的極值;(2)若f(x)在區(qū)間0,13上單調(diào)遞增,求分析:(1)先將b=4代入f(x),再對f(x)進(jìn)行求導(dǎo),求出導(dǎo)函數(shù)等于0時的根,再判斷根附近的導(dǎo)函數(shù)值的符號,求出極值點,進(jìn)而求出f(x)的極值.(2)由f(x)在區(qū)間0,13上單調(diào)遞增,可知導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,13上恒有f(x)0解:(1)當(dāng)b=4時,f(x)=-5x(x+2)1-2x,由f(當(dāng)x(-,-2)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x0,12時,f(x)0)的右焦點為F,

13、點A,B分別在C的兩條漸近線上,AFx軸,ABOB,BFOA(O(1)求雙曲線C的方程;(2)過C上一點P(x0,y0)(y00)的直線l1:x0 xa2-y0y=1與直線AF相交于點M,與直線x=32相交于點N,證明:當(dāng)點P在C上移動時,分析:(1)先根據(jù)雙曲線方程中a,b,c的關(guān)系列出一個方程,再根據(jù)其他已知條件AFx軸,ABOB,BFOA再列出一個方程,兩個方程聯(lián)立成方程組可求出a,進(jìn)而得到雙曲線C的方程.(2)利用解方程組的方法分別求出M,N點的坐標(biāo),再利用兩點間的距離公式表示出|MF|2|NF|2,因點P(x0,y0)在曲線C上,用第(1)問的結(jié)論消去y0,化簡即可得到解:(1)設(shè)F

14、(c,0),因為b=1,所以c=a2直線OB方程為y=-1ax,直線BF的方程為y=1a(x-c),解得B又直線OA的方程為y=1ax則Ac,ca,kAB又因為ABOB,所以3a-1解得a2=3,故雙曲線C的方程為x23-y(2)由(1)知a=3,則直線l的方程為x0 x3-y0y=1(y00),即因為直線AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點M2,直線l與直線x=32的交點為N3則|MF|2因為P(x0,y0)是C上一點,則x023-y02=1,所求定值為|MF21.(本小題滿分14分)(2014江西,理21)隨機(jī)將1,2,2n(nN*,n2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組,每組n個數(shù)

15、,A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2,記=a2-a1,=b2-b1.(1)當(dāng)n=3時,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)令C表示事件“與的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C);(3)對(2)中的事件C,C表示C的對立事件,判斷P(C)和P(C)的大小關(guān)系,并說明理由.分析:(1)當(dāng)n=3時就是具體的6個數(shù),先指明的所有可能取值,再根據(jù)題意列出的分布列,利用數(shù)學(xué)期望公式求出的數(shù)學(xué)期望.(2)先確定和恰好相等時的可能取值,再確定取各個值時的不同分組方法,再分類求出P(C).(3)借助(2)的結(jié)論,先猜想P(C)與P(C)的大小關(guān)系,用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想結(jié)論的正確性(注意利用排列組合的性質(zhì),適時應(yīng)用放縮法證明).解:(1)當(dāng)n=3時,的所有可能取值為:2,3,4,5.將6個正整數(shù)平均分成A,B兩組,不同的分組方法共有C63=20種,所以2345P1331E=215+3310+4310(2)和恰好相等的所有可能取值為:n-1,n,n+1,2n-2.又和恰好相等且等于n-1時,不同的分組方法有2種;和恰好相等且等于n時,不同的分組方法有2種;和恰好相等且等于n+k(k=1,2,n-2)(n3)時,不同的分組方法有2C2kk所以當(dāng)n=2時,P(C)=46當(dāng)n3時