2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(湖南卷)

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖南文科數(shù)學本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分,共5頁,時量120分鐘,滿分150分.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2015湖南,文1)已知(1-i)2z=1+i(i為虛數(shù)單位A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:D解析:由已知得z=(1-i)22.(2015湖南,文2)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運動員按成績由好到差編為135號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間139,151上的運動員人數(shù)是()A.3B

2、.4C.5D.6答案:B解析:依題意,應將35名運動員的成績由好到差排序后分為7組,每組5人.然后從每組中抽取1人,其中成績在區(qū)間139,151上的運動員恰好是第2,3,4,5組,因此,成績在該區(qū)間上的運動員人數(shù)是4.3.(2015湖南,文3)設xR,則“x1”是“x31”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:C解析:由x1能推得x31,充分性成立.由x31得(x-1)(x2+x+1)0,x2+x+10恒成立,x1,“x1”是“x31”的充要條件.故選C.4.(2015湖南,文4)若變量x,y滿足約束條件x+y1,y-x1A.-1B.0C.1D.2

3、答案:A解析:畫出滿足約束條件的平面區(qū)域如圖.作直線y=2x,平移直線y=2x,當x=0,y=1,即直線過點A(0,1)時,z取得最小值,此時zmin=20-1=-1.故選A.5.(2015湖南,文5)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入n=3,則輸出的S=()A.67B.37C.89答案:B解析:由題意得,輸出的S為數(shù)列1(2n-1)(2n+1)的前3項和,而1(2n-1)(2n+1)6.(2015湖南,文6)若雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線經(jīng)過點(3A.73B.54C.43答案:D解析:雙曲線的漸近線方程為y=bax,且過點(3,-4-4=-ba3,b離心率e=1+ba2=7.(20

4、15湖南,文7)若實數(shù)a,b滿足1a+2b=ab,A.2B.2C.22D.4答案:C解析:由已知1a+2b=ab,可知a,由ab=1a+2b22ab即當且僅當1a=2b,即b=2a時等號成立8.(2015湖南,文8)設函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是()A.奇函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)C.偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)答案:A解析:要使函數(shù)有意義,應滿足1+x0,1-x0,解得-1x0)相交于A,B兩點,且AOB=120(O為坐標原點),則r=.答案:2解析:如圖所示,由題意知,圓心O到直線

5、3x-4y+5=0的距離|OC|=532+(-4)2=114.(2015湖南,文14)若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數(shù)b的取值范圍是.答案:(0,2)解析:函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)g(x)=|2x-2|=2x-2,如圖,分別作出函數(shù)y=g(x)與直線y=a的圖象,由圖可知,當0a0,在函數(shù)y=2sin x與y=2cos x的圖象的交點中,距離最短的兩個交點的距離為23,則=.答案:解析:如圖所示,在同一直角坐標系中,作出函數(shù)y=2sin x與y=2cos x的圖象.A,B為符合條件的兩交點.則A4,2,B-34,-2,由|AB|=23,得2+(三、解答題:本大題共6小題

6、,共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2015湖南,文16)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.抽獎方法是:從裝有2個紅球A1,A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1,a2和2個白球b1,b2的乙箱中,各隨機摸出1個球,若摸出的2個球都是紅球則中獎,否則不中獎.(1)用球的標號列出所有可能的摸出結果.(2)有人認為:兩個箱子中的紅球比白球多,所以中獎的概率大于不中獎的概率,你認為正確嗎?請說明理由.解:(1)所有可能的摸出結果是A1,a1,A1,a2,A1,b1,A1,b2,A2,a1,A2,a2,A2,b1,A2,b2,B,a

7、1,B,a2,B,b1,B,b2.(2)不正確.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出結果共12種,其中摸出的2個球都是紅球的結果為A1,a1,A1,a2,A2,a1,A2,a2,共4種,所以中獎的概率為412=13,不中獎的概率為1-17.(本小題滿分12分)(2015湖南,文17)設ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A.(1)證明:sin B=cos A;(2)若sin C-sin Acos B=34,且B為鈍角,求A,B,C解:(1)由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinA(2)因為sin C-sin Acos B=sin180-(A+B)

8、-sin Acos B=sin(A+B)-sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=cos Asin B,所以cos Asin B=34由(1)sin B=cos A,因此sin2B=34又B為鈍角,所以sin B=32,故B=120由cos A=sin B=32知A=30.從而C=180-(A+B)=30綜上所述,A=30,B=120,C=30.18.(本小題滿分12分)(2015湖南,文18)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E,F分別是BC,CC1的中點.(1)證明:平面AEF平面B1BCC1;(2)若直線A1C與

9、平面A1ABB1所成的角為45,求三棱錐F-AEC的體積.解:(1)證明:如圖,因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1.又E是正三角形ABC的邊BC的中點,所以AEBC.因此,AE平面B1BCC1.而AE平面AEF,所以,平面AEF平面B1BCC1.(2)設AB的中點為D,連結A1D,CD.因為ABC是正三角形,所以CDAB.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1,于是CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角.由題設,CA1D=45,所以A1D=CD=32AB=3在RtAA1D中,AA1=A1D2-AD2=3故三棱錐F-AEC的

10、體積V=13SAECFC=119.(本小題滿分13分)(2015湖南,文19)設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,nN*.(1)證明:an+2=3an;(2)求Sn.解:(1)由條件,對任意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,因而對任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.兩式相減,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故對一切nN*,an+2=3an.(2)由(1)知,an0,所以an+2an=3,于是數(shù)列a2n-

11、1是首項a1=1,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列a2n是首項a2=2,因此a2n-1=3n-1,a2n=23n-1.于是S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=3(從而S2n-1=S2n-a2n=3(3n-1)2-23n-1=32(5綜上所述,Sn=320.(本小題滿分13分)(2015湖南,文20)已知拋物線C1:x2=4y的焦點F也是橢圓C2:y2a2+x2b2=1(ab0)的一個焦點.C1與C2的公共弦的長為26.過點F的直線l與C1相交于A,B兩點,與C2相交于C(1)求C2的方程;

12、(2)若|AC|=|BD|,求直線l的斜率.解:(1)由C1:x2=4y知其焦點F的坐標為(0,1).因為F也是橢圓C2的一個焦點,所以a2-b2=1.又C1與C2的公共弦的長為26,C1與C2都關于y軸對稱,且C1的方程為x2=4y,由此易知C1與C2的公共點的坐標為6,32,所以94聯(lián)立,得a2=9,b2=8,故C2的方程為y29+(2)如圖,設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因AC與BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,從而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x設直線

13、l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,而x1,x2是這個方程的兩根,所以x1+x2=4k,由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-所以x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-將,代入,得16(k2+1)=162k2(9+8k2)2+46498k2,即16(k2+1)=1629(k21.(本小題滿分13分)(2015湖南,文21)已知a0,函數(shù)f(x)=aexcos x(x0,+).記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個極值點.(1)證明:數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列;(2)若對一切nN*,xn|f(xn)|恒成立,求a的取值范圍.解:(1)f(x)=aexcos x-aexsin x=2aexcosx+令f(x)=0,由x0,得x+4=m-即x=m-