在歐氏空間課件

1、8.1 向量的內(nèi)積一、內(nèi)容分布 8.1.1向量的內(nèi)積、歐氏空間的定義8.1.2向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的夾角8.1.3兩向量正交、正交向量組的定義、性質(zhì) 二、教學(xué)目的：1理解以下概念及其基本性質(zhì)：向量的內(nèi)積、歐氏空間、向量的長(zhǎng)度、單位向量、兩非零向量的夾角、兩向量正交、兩向量的距離2掌握常見的幾種歐氏空間；會(huì)用向量的內(nèi)積及歐氏空間的定義判斷向量與的內(nèi)積3掌握 三、重點(diǎn)難點(diǎn)：1.準(zhǔn)確理解并掌握向量的內(nèi)積、歐氏空間及兩向量正交的概念;2.不等式 的靈活運(yùn)用. 一些不等式8.1 向量的內(nèi)積一、內(nèi)容分布 三、重點(diǎn)難點(diǎn)：2.不等8.1.1向量的內(nèi)積、歐氏空間的定義 1) 2) 3)4) 當(dāng)時(shí), 定義1 設(shè)

2、V是實(shí)數(shù)域R上一個(gè)向量空間. 如果對(duì)于V中任意一對(duì)向量 有一個(gè)確定的記作 的實(shí)數(shù)與它們對(duì)應(yīng)，并且下列條件被滿足： 這里是V的任意向量，a是任意實(shí)數(shù)， 那么這個(gè)內(nèi)積來說的一個(gè)歐氏空間（簡(jiǎn)稱歐氏空間）.叫做向量與的內(nèi)積，而V叫做對(duì)于8.1.1向量的內(nèi)積、歐氏空間的定義 1) 2) 3)4) 例1 在規(guī)定 里,對(duì)于任意兩個(gè)向量容易驗(yàn)證,關(guān)于內(nèi)積的公理被滿足,因而 對(duì)于這樣定義的內(nèi)積來說作成一個(gè)歐氏空間. 例2 在規(guī)定 里,對(duì)于任意向量不難驗(yàn)證, 也作成一個(gè)歐氏空間. 例1 在規(guī)定 里,對(duì)于任意兩個(gè)向量容易驗(yàn)證,關(guān)于內(nèi)積的例3 令Ca,b是定義在a,b上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)我們規(guī)定所成的向量空間,根據(jù)定積分

3、的基本性質(zhì)可知,內(nèi)積的公理1)-4)都被滿足,因而Ca,b作成一個(gè)歐氏空間.例4 令H是一切平方和收斂的實(shí)數(shù)列所成的集合.在H中用自然的方式定義加法和標(biāo)量與向量的乘法: 例3 令Ca,b是定義在a,b上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)我設(shè) 規(guī)定 向量 的內(nèi)積由公式給出，那么H是一個(gè)歐氏空間. 練習(xí)1 為向量空間中任意兩向量,證明: 對(duì)作成歐氏空間的充分必要條件是m 0, n 0. 設(shè) 規(guī)定 向量 的內(nèi)積由公式給出，那么H是一個(gè)歐氏空間.8.1.2 向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的夾角定義2 設(shè)是歐氏空間的一個(gè)向量，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)根叫做的長(zhǎng)度，向量的長(zhǎng)度用符號(hào)表示：定理8.1.1 在一個(gè)歐氏空間里,對(duì)于任意向量 有不等式

4、 (6) 當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)時(shí)，上式才取等號(hào).8.1.2 向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的夾角定義2 設(shè)是歐氏定義3 設(shè)與是歐氏空間的兩個(gè)非零向量，與的夾角由以下公式定義：例5 令 是例1 中的歐氏空間. 中向量 的長(zhǎng)度是由長(zhǎng)度的定義,對(duì)于歐氏空間中任意向量 和任意實(shí)數(shù)a,有 定義3 設(shè)與是歐氏空間的兩個(gè)非零向量，與的夾角注：一個(gè)實(shí)數(shù)a與一個(gè)向量的乘積的長(zhǎng)度 等于a的絕對(duì)值與的長(zhǎng)度的乘積.例 6 考慮例 1 的歐式空間 由不等式(6)推出,對(duì)于任意實(shí)數(shù) 有不等式 (7) (7)式稱為柯西(Cauchy)不等式.注：一個(gè)實(shí)數(shù)a與一個(gè)向量的乘積的長(zhǎng)度例 6 考慮例 1 例7 考慮例3的歐氏空間Ca,b，由

5、不等式（6） 推出，對(duì)于定義在a,b上的任意連續(xù)函數(shù) 有不等式 (8) (8)式稱為施瓦茲(Schwarz)不等式. （7）和（8）在歐氏空間的不等式（6）里被統(tǒng)一 起來. 因此通常把(6)式稱為柯西-施瓦茲不等式. 例7 考慮例3的歐氏空間Ca,b，由不等式（6）有不等式例8 設(shè) 為歐氏空間V 中任意兩個(gè)(1) 當(dāng)且僅當(dāng) 的夾角為0; 非零向量.證明:(2) 當(dāng)且僅當(dāng) 的夾角為; 例8 設(shè) 為歐氏空間V 中任意兩個(gè)(1) 當(dāng)且僅當(dāng) 的夾角8.1.3 向量的正交 定義4 歐氏空間的兩個(gè)向量與說是正交的,如果定理8.1.2 在一個(gè)歐氏空間里，如果向量中每一個(gè)正交， 那么與 的任意一個(gè)線性組合也正

6、交. 與8.1.3 向量的正交 定義4 歐氏空間的兩個(gè)向量與說思考題1：設(shè) 是 n 維歐氏空間V 中證明: 兩個(gè)不同的向量,且 思考題2：在歐氏空間 中,設(shè) 兩兩正交,且 的長(zhǎng)度 求 A 的行列式 的值. 思考題1：設(shè) 是 n 維歐氏空間V 中證明: 兩個(gè)不同的向量8.2 正交基8.2 正交基一、內(nèi)容分布 8.2.1正交組的定義、性質(zhì) 8.2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、性質(zhì)及存在性8.2.3子空間的正交補(bǔ) 8.2.4正交矩陣的概念 8.2.5 n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別 二、教學(xué)目的：1掌握正交向量組、n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念及基本性質(zhì) 2熟練運(yùn)用施密特正交化方法，由一個(gè)線性無關(guān)向量組求出一

7、個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組3掌握一個(gè)向量與一個(gè)非空子集正交、子空間的正交補(bǔ)的概念及基本性質(zhì)，并會(huì)求某些子空間的正交補(bǔ)4掌握正交矩陣的概念及其與標(biāo)準(zhǔn)正交基的關(guān)系5掌握n維歐氏空間同構(gòu)的概念及基本理論三、重點(diǎn)難點(diǎn)：正交向量組、n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念; 子空間的正交補(bǔ)的概念及基本性質(zhì);施密特正交化方法一、內(nèi)容分布 8.2.1正交組的定義、性質(zhì) 定義1 歐氏空間V的一組兩兩正交的非零向量叫做V的一個(gè)正交組,如果一個(gè)正交組的每一個(gè)向量都是單位向量, 這個(gè)正交組就叫做一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組. 1正交組的定義例1 向量構(gòu)成 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組，因?yàn)?8.2.1正交組的定義、性質(zhì) 定義1 歐氏空間V的一組兩兩2正交組的性質(zhì)

8、定理8.2.1 設(shè) 一個(gè)正交組，那么 線性無關(guān). 是歐氏空間的證：設(shè)有 使得 因?yàn)楫?dāng)ij 時(shí) ，所以 但 ，所以 即 線性無關(guān). 2正交組的性質(zhì)定理8.2.1 設(shè) 一個(gè)正交組，那么 線性無8.2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、性質(zhì)及存在性 1標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義 設(shè)V 是一個(gè)n 維歐氏空間，如果V 中有n 個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)正交組，那么由定理8.2.1，這個(gè)n 個(gè)向量構(gòu)成V 的一個(gè)基，叫做V 的一個(gè)正交基。如果V 的一個(gè)正交基 還是一個(gè)規(guī)范正交級(jí)，那么就稱這個(gè)基是一個(gè)規(guī)范的正交基。8.2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、性質(zhì)及存在性 1標(biāo)準(zhǔn)正交基的定 例2 歐氏空間 的基是 i =1,2,n,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. 如果 正交

9、基。令是V的任意一個(gè)向量那么是可是是n 維歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)以唯一寫成 是關(guān)于 的坐標(biāo)。由于是規(guī)范正交基，我們有 例2 歐氏空間 的基是 i =1,2,n,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（3） 這就是說，向量關(guān)于一個(gè)規(guī)范正交基的第i個(gè)坐標(biāo)等于與第i個(gè)基向量的內(nèi)積；其次，令那么 （4） 由此得 （5） （6） （3） 這就是說，向量關(guān)于一個(gè)規(guī)范正交基的第i個(gè)坐標(biāo)等于2標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)設(shè) 是的一個(gè)基，但不一定是正交基 問題就解決了,因?yàn)閷?再分別除以它們的長(zhǎng)度，就得到一個(gè)規(guī)范正交借助幾何直觀，為了求出 正交基。從這個(gè)基出發(fā)，只要能得出 的一個(gè)基。先取我們考慮線性組合 從這里決定實(shí)數(shù)a， 使 正交，由 2標(biāo)準(zhǔn)正交基的

10、性質(zhì)設(shè) 是的一個(gè)基，但不一定是正交基 問題就及 得 取 那么 又因?yàn)?線性無關(guān)，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù) a因而這就得到 的一個(gè)正交基 及 得 取 那么 又因?yàn)?線性無關(guān)，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù) a因而3標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性 定理8.2.2（施密特正交化方法) 設(shè) 是歐氏空間V的一組線性無關(guān)的向量, 那么可以求使得 可以由 線性表示，k = 1,2,m. 出V 的一個(gè)正交組 證 先取 那么 是 的線性組合，且 其次取 3標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性 定理8.2.2（施密特正交化方法) 又由 所以 正交。 假設(shè)1 k m，而滿足定理要求的 都已作出. 那么是 的線性組合，并且因?yàn)?線性無關(guān)，所以 又由 所以 正交。 假設(shè)

11、1 k m，而滿足定理要求的取所以 是 的線性組合。由于假定了 i = 1, 2, , k -1，所以把這些線性組合代入上式，得 的線性組合，線性無關(guān)，由 得 取所以 是 的線性組合。由于假定了 i = 1, 2, ,又因?yàn)榧俣?兩兩正交。這樣， 也滿足定理的要求。所以定理得證。 又因?yàn)榧俣?兩兩正交。這樣， 也滿足定理的要求。所以定理得定理8.2.3 任意n（n 0）維歐氏空間一定有正交基，因而有標(biāo)準(zhǔn)正交基.例4 在歐氏空間 中對(duì)基 施行正交化方法得出 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. 解:第一步，取定理8.2.3 任意n（n 0）維歐氏空間例4 在歐氏第二步，先取然后令第二步，先取然后令第三步，取

12、再令于是 就是 的一個(gè)規(guī)范正交基。 第三步，取 再令于是 就是 的一個(gè)規(guī)范正交基。 練習(xí)1 設(shè) 試把 的基的一個(gè)基,并將它標(biāo)準(zhǔn)正交化. 擴(kuò)充成練習(xí)1 設(shè) 試把 的基的一個(gè)基,并將它標(biāo)準(zhǔn)正交化. 擴(kuò)充成8.2.3 子空間的正交補(bǔ) 1. 向量與一個(gè)非空子集正交 定理8.2.4 令W是歐氏空間V的一個(gè)有限維子空間，那么因而V的每一個(gè)向量可以唯一寫成這里(7)8.2.3 子空間的正交補(bǔ) 1. 向量與一個(gè)非空子集正交 設(shè)令證明 當(dāng)W = 0時(shí)，定理顯然成立，這時(shí) 設(shè)由于 W的維數(shù)有限，因而可以取到W的一個(gè)規(guī)范正交基設(shè)令證明 當(dāng)W = 0時(shí)，定理顯然成立，這時(shí) 設(shè)由于 那么而由于是W的基，所以與W正交，這

13、就證明了即剩下來只要證明這個(gè)和是直和。這是那么從而定理被證明。 顯然的，因?yàn)槿绻敲炊捎谑荳的基，所以與W正交，這就證明了即剩下來只要證證明 對(duì)于任意 所以定理8.2.5 設(shè)W 是歐氏空間V 的一個(gè)有限維子空間，是V 的任意向量，是在W 上的正射影，那么對(duì)于W 中任意向量， 都有 證明 對(duì)于任意 所以定理8.2.5 設(shè)W 是歐氏空間V 的于是如果 那么 所以 即我們也把向量在子空間W上的正射影叫做W到的最佳逼近。于是如果 那么 所以 即我們也把向量在子空間W上的正射影8.2.4 正交矩陣的概念 定義2 一個(gè)n 階實(shí)矩陣U 叫做一個(gè)正交矩陣，如果 定理8.2.6 n 維歐氏空間一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基到

14、另一標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是一個(gè)正交矩陣.例6 設(shè) 是歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且 證明：當(dāng)T是正交矩陣時(shí), 是標(biāo)準(zhǔn)正交基. 8.2.4 正交矩陣的概念 定義2 一個(gè)n 階實(shí)矩陣U 叫練習(xí)2 設(shè) 標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明: 也是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.是三維歐氏空間V的練習(xí)2 設(shè) 標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明: 也是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.是8.2.5 n 維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別1n維歐氏空間同構(gòu)的定義定義3 歐氏空間V與 說是同構(gòu)的，如果 (i) 作為實(shí)數(shù)域上向量空間，存在V 到 的一個(gè)同構(gòu)映射(ii) 對(duì)于任意 ，都有 8.2.5 n 維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別1n維歐氏空間2n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別定理8.2.

15、7 兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充分且必要條件是它們的維數(shù)相等.推論8.2.8 任意n維歐氏空間都與 同構(gòu). 思考題 求的解空間W的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. 并求其正交補(bǔ)2n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別定理8.2.7 兩個(gè)有限維歐8.3 正交變換一、內(nèi)容分布8.3.2 正交變換的等價(jià)條件8.3.1 正交變換的定義1掌握并會(huì)用正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)條件 3掌握并會(huì)用正交矩陣的某些性質(zhì) 二、教學(xué)目的：2掌握的正交變換的全部類型三、重點(diǎn)難點(diǎn)： 正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)條件 8.3 正交變換一、內(nèi)容分布8.3.2 正交變換的等價(jià)條件88.3.1 正交變換的定義定義1 歐氏空間V的一個(gè)線性變換叫做

16、一個(gè)正交變換，如果對(duì)于任意 都有例1 在 里,把每一向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角的的一個(gè)正交變換. 線性變換是 例2 令H是空間 里過原點(diǎn)的一個(gè)平面.對(duì)于每一向量 ，令對(duì)于H的鏡面反射 與它對(duì)應(yīng). 是 的一個(gè)正交變換. 8.3.1 正交變換的定義定義1 歐氏空間V的一個(gè)線性變換例3 歐氏空間V的一個(gè)線性變換是正交變換的充要條件是使任意兩個(gè)向量的距離保持不變,即對(duì)一切, 都有.例3 歐氏空間V的一個(gè)線性變換是正交變換的充要條件是使任意兩8.3.2 正交變換的等價(jià)條件 定理8.3.1 歐氏空間V 的一個(gè)線性變換是正交變換的充分且必要條件是：對(duì)于V 中任意向量 ， . 證明 條件的充分性是明顯的. 因?yàn)椋?）中

17、取=，就得到 ，從而 .反過來，設(shè)是一個(gè)正交變換，那么對(duì)于, V，我們有 8.3.2 正交變換的等價(jià)條件 定理8.3.1 歐氏空間然而由于比較上面兩個(gè)等式就得到：然而由于比較上面兩個(gè)等式就得到：定理8.3.2 設(shè)V 是一個(gè)n維歐氏空間，是V 的一個(gè)線性變換，如果是正交變換，那么把V 的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成V 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基；反過來，如果把V 的某一標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么是V 的一個(gè)正交變換.定理8.3.3 n 維歐氏空間V的一個(gè)正交變換關(guān)于V的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是一個(gè)正交矩陣；反過來，如果V的一個(gè)線性變換關(guān)于某一標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是正交矩陣，那么是一個(gè)正交變換.定理

18、8.3.2 設(shè)V 是一個(gè)n維歐氏空間，是V 的一個(gè)線性例5 在歐氏空間 中,規(guī)定線性變換為:證明: 是正交變換.例5 在歐氏空間 中,規(guī)定線性變換為:證明: 是正思考題 設(shè) 是歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,試求正交變換,使適合 練習(xí) 設(shè)V是一個(gè)歐氏空間, 是一個(gè)非零向量,對(duì)于 , 規(guī)定V的一個(gè)變換 證明:是V的一個(gè)正交變換,且 是單位變換. 思考題 設(shè) 是歐氏空間V的8.4 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣 8.4 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣 一、內(nèi)容分布 8.4.1 對(duì)稱變換的定義 8.4.2 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣之間的關(guān)系 8.4.3 對(duì)稱變換的性質(zhì) 二、教學(xué)目的： 1掌握對(duì)稱變換的概念，能夠運(yùn)用對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣

19、之間的關(guān)系解題 2掌握對(duì)稱變換的特征根、特征向量的性質(zhì) 3對(duì)一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，能熟練地找到正交矩陣，使 為對(duì)角形三、重點(diǎn)難點(diǎn)： 1.對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣之間的關(guān)系;對(duì)稱變換的特征根、特征向量的性質(zhì); 2.對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣，能熟練地找到正交矩陣，使 為對(duì)角形一、內(nèi)容分布8.4.1 對(duì)稱變換的定義 定義1 設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于V中的任意向量 ，等式成立，那么就稱是一個(gè)對(duì)稱變換.例1 以下 的線性變換中,指出哪些是對(duì)稱變換? 8.4.1 對(duì)稱變換的定義 定義1 設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)8.4.2 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣之間的關(guān)系定理8.4.2 設(shè)是n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱變換，如果關(guān)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是對(duì)稱矩陣，那么是一個(gè)對(duì)稱變換. 證 設(shè)關(guān)于V的一個(gè)規(guī)范正交基 的矩陣 是對(duì)稱的，令 是V的任意向量。那么8.4.2 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣之間的關(guān)系定理8.4.2 設(shè)同樣的計(jì)算可得 因?yàn)?所以 即是一個(gè)對(duì)稱變換。 同樣的計(jì)算可得 因?yàn)?所以 即是一個(gè)對(duì)稱變換。 8.4.3 對(duì)稱變換的性質(zhì) 定理8.4.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征根都是實(shí)數(shù).證 設(shè) 是一個(gè)n 階實(shí)對(duì)稱矩陣.令是A 在復(fù)數(shù)域內(nèi)一個(gè)特征根。于是存在不全為零的復(fù)數(shù) 使得（2） 8.4.3 對(duì)稱變換的性質(zhì) 定理8.4