復(fù)變函數(shù)留數(shù)以及留數(shù)定理

1、復(fù)變函數(shù)留數(shù)和留數(shù)定理第1頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn);內(nèi)的 Laurent 級(jí)數(shù):在.的某去心鄰域包含的任一條正向簡單閉曲線C.一 、留數(shù)的定義和計(jì)算2第2頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0 (柯西積分定理)3第3頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四1. 定義 記作包含的任意一條簡單閉曲線 C 的積分的值后所得的數(shù)以的一個(gè)孤立奇點(diǎn), 如果(Residue)則沿內(nèi)，除稱為4第4頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四2. 計(jì)算留數(shù)的一般公式由Laurent級(jí)數(shù)展開定理,

2、定義留數(shù)的積分值是f(z)在環(huán)域 內(nèi)Laurent級(jí)數(shù)的負(fù)一次冪系數(shù)c-1(1)若z0為函數(shù)f(z) 的可去奇點(diǎn), (負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為零個(gè)), 則它在點(diǎn)z0的留數(shù)為零.注：當(dāng)z0為f(z)=g(z-z0) 的孤立奇點(diǎn)時(shí),若 為偶函數(shù), 則f(z)在點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)Laurent級(jí)數(shù)只含z-z0的偶次冪, 其奇次冪系數(shù)都為0, 得5第5頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四如果 為 的一級(jí)極點(diǎn), 那么規(guī)則1成Laurent級(jí)數(shù)求(2) 如果為的本性奇點(diǎn), (3) 如果為的極點(diǎn), 則有如下計(jì)算規(guī)則展開則需將6第6頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四規(guī)則2 若z

3、0為f(z) 的m級(jí)極點(diǎn), 則對任意整數(shù) 有說明 將函數(shù)的零階導(dǎo)數(shù)看作它本身, 規(guī)則1可看作規(guī)則2當(dāng)n=m=1時(shí)的特殊情形, 且規(guī)則2可取m=1.7第7頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四規(guī)則3 如果設(shè)及在都解析，那么為的一級(jí)極點(diǎn), 且有8第8頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四為 的一級(jí)極點(diǎn),的一級(jí)零點(diǎn),為的一級(jí)極點(diǎn)，為證9第9頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四3.典型例題例1 求在的留數(shù).解10第10頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例2 求在的留數(shù).分析是的三級(jí)零點(diǎn)由規(guī)則2得計(jì)算較麻煩.11第11頁，共2

4、8頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四如果利用Laurent展開式求較方便:解12第12頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四注意: 如 為 m 級(jí)極點(diǎn)，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí), 可直接展開Laurent級(jí)數(shù)求來計(jì)算留數(shù) .2. 在應(yīng)用規(guī)則2時(shí), 取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高.級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便. 1. 在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則. 為了計(jì)算方便一般不要將m但有時(shí)把m取得比實(shí)際的如上例取13第13頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例3求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的留數(shù)(1) , ;解： 是函數(shù) 的一級(jí)零點(diǎn), 又是函數(shù) 的五級(jí)零點(diǎn).于是它是 的四級(jí)極

5、點(diǎn),可用規(guī)則 計(jì)算其留數(shù),其中 ,為了計(jì)算簡便應(yīng)當(dāng)取其中 ,這時(shí)有 14第14頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四另解： 在點(diǎn) 的去心鄰域 內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)為 ,其中 的項(xiàng)的系數(shù)為 ,從而也有 . 例3求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的留數(shù)(1) , ;15第15頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四(2) , ; 解： 在點(diǎn) 的去心鄰域 內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)為 顯然 為它的本性奇點(diǎn),其中 的項(xiàng)的系數(shù)為 ,于是得16第16頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四(3) , . 解：顯然 是 的一級(jí)極點(diǎn);可是不能用規(guī)則 求其留數(shù),由規(guī)則 得17第

6、17頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四思考：有關(guān)因式分解問題？1.2.18第18頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四二、留數(shù)定理定理1 若函數(shù)f(z)在正向簡單閉曲線C上處處解析，在C的內(nèi)部除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,zn外解析，則有留數(shù)概念的重要性在于下面的留數(shù)定理. 它使得一些積分的計(jì)算變得十分容易.19第19頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例4. 計(jì)算下列積分(1) 解：被積函數(shù) 的奇點(diǎn) 和 都在圓 的內(nèi)部,由規(guī)則1,2可得以下結(jié)果 ; 于是由留數(shù)定理得積分值為20第20頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星

7、期四(2) 解： 在圓 的內(nèi)部有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn) 和兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn) ,于是利用留數(shù)的計(jì)算規(guī)則 和 得21第21頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四(2) 最后由留數(shù)定理得積分值為22第22頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例5 計(jì)算積分C為正向圓周:解 被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部 , 所以由規(guī)則3 23第23頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例6 計(jì)算積分C為正向圓周 :解 除被積函數(shù)點(diǎn)外, 無其他奇點(diǎn)，在圓外。所以24第24頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四因此25第25頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四1 若z0為函數(shù)f(z) 的可去奇點(diǎn)，(負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為零個(gè))，則它在點(diǎn)z0的留數(shù)為零.2 當(dāng)z0為f(z)=g(z-z0) 的孤立奇點(diǎn)時(shí)，若 為偶函數(shù)，則f(z)在點(diǎn)z0的留數(shù)為零.小結(jié)：留數(shù)的計(jì)算 3 若z0為f(z) 的一級(jí)極點(diǎn)，則有4 若z0為f(z) 的m級(jí)極點(diǎn)，則對任意整數(shù) 有26第26頁，共28頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四5 設(shè)f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在點(diǎn)z0都解析。若 ，Q(z0)=0且 ，則z0為f(z) 的一級(jí)極點(diǎn)，且有6 由La