沖剌名校中考數(shù)學(xué)最新題型-與圓有關(guān)的壓軸題-圖形的展開與疊折

1、與圓有關(guān)的壓軸題中考與圓有關(guān)的壓軸題，考點(diǎn)涉及：垂徑定理；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；切 線性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理; 特殊四邊形性質(zhì)；等.數(shù)學(xué)思想涉及：數(shù)形結(jié)合；分類討論；化歸；方程.現(xiàn)選取部分省市的 中考中考題展示，以饗讀者.【題1】（中考江蘇南京,26題）如圖，在Rt ABC中，ZACB=90, AC=4cm, BC=3cm,。O 為ABC的內(nèi)切圓.（1）求。O的半徑； （2）點(diǎn)P從點(diǎn)B沿邊BA向點(diǎn)A以1 cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作圓， 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，若。P與。O相切，求t的值.【分析】：（1）求圓

2、的半徑，因?yàn)橄嗲?，我們通常連接切點(diǎn)和圓心，設(shè)出半徑，再利用圓的 性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)表示其中關(guān)系，得到方程，求解即得半徑.（2）考慮兩圓相切，且一圓已固定，一般就有兩種情形，外切與內(nèi)切.所以我們要分別討 論，當(dāng)外切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑的和；當(dāng)內(nèi)切時(shí)，圓心距等于大圓與小圓半徑的差.分 別作垂線構(gòu)造直角三角形，類似（1）通過表示邊長(zhǎng)之間的關(guān)系列方程，易得t的值.【解】：（1）如圖1,設(shè)。O與AB、BC、CA的切點(diǎn)分別為D、E、F,連接OD、OE、OF, 貝U AD=AF, BD=BE, CE= CF.0O為ABC的內(nèi)切圓，.OFAC, OE5C,即NOFC =ZOEC=90. VZ C=90,四

3、邊形CEOF是矩形，OE= OF,四邊形CEOF是正方形.設(shè)。O的半徑為rc機(jī)，貝U FC=EC = OE=rcm,在 Rt ABC 中，ZACB=90, AC=4cm, BC=3cm,AB =.AC2+BC2=5 cm.AD=AF=AC - FC=4 - r, BD=BE=BC - EC=3 - r, 4 - r+3 - r=5,解得r=1,即。O的半徑為1 cm.(2)如圖2,過點(diǎn)P作PGBC,垂直為G.VZ PGB =Z C=90,. PG / AC. PBG M ABC,居萼聿.V BP=t,AC BC BA, PG= t, BG= .若。P與。O相切，則可分為兩種情況，。P與。O外切

4、，。P與。O內(nèi)切.當(dāng)。P與。O外切時(shí)，如圖3,連接OP，則OP =1+1,過點(diǎn)P作PHOE，垂足為H.VZ PHE=Z HEG =Z PGE=90, ,四邊形PHEG是矩形，HE=PG,PH=CE,HR, OH= OE - HE=1 一 1, PH= GE=BC - EC - BG=3 - 11=2-大55在 Rt OPH 中，由勾股定理，（1 一專），十【2-點(diǎn)）二（1十t ） L解得t鼻.當(dāng)。P與。O內(nèi)切時(shí)，如圖4,連接OP，則OP=t-1,過點(diǎn)O作OMPG,垂足為M.VZ MGE=Z OEG =Z OMG=90四邊形OEGM是矩形， MG=OE, OM=EG,433 PM=PG - MG

5、=5t _ 1, OM=EG=BC - EC - BG=3 - 1 -弋=2-% 555在 Rt OPM 中，由勾股定理，臉- 1 )。*)J (t-1 ) 2,解得t=2.9綜上所述，。P與。O相切時(shí)，ts或t=2s.)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的性質(zhì)、兩圓相切及通過設(shè)邊長(zhǎng)，表示其他邊長(zhǎng)關(guān)系再利用直角三 角形求解等常規(guī)考查點(diǎn)，總體題目難度不高，是一道非常值得練習(xí)的題目.【題2】(中考瀘州24題)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O, AB是。O的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E，且DC2=CE CA.(1)求證：BC= CD； (2)分別延長(zhǎng)AB, DC交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AFCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若PB=

6、OB, CD =2:2求DF的長(zhǎng).【考點(diǎn)】：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理.【分析】：(1)求出 CDEsCAD,ZCDB =ZDBC得出結(jié)論.(2)連接OC,先證ADOC,由平行線分線段成比例性質(zhì)定理求得PC =4門， 再由割線定理PC PD=PB PA求得半徑為4,根據(jù)勾股定理求得AC =2/五，再 證明 AFDsACB，得黑/二，則可設(shè)FD=x, AF=/ 7也 在r L.i L.b 僅上Rt AFP 中，求得 DF=12 j .【解答】：(1)證明：DC2=CE CA,.pg ca 1一 ，CE DCACDEACAD,.ZCDB=ZDBC,;四邊形A5C。內(nèi)接于。O,：.

7、BC=CD；(2)解:如圖，連接OC,：BC=CD,：.ZDAC=ZCAB,X.AO=CO,：.ZCAB=ZACO,：.ZDAC=ZACO,：.AD/OC,.FC PO fdt faPB=OB, CD=42,.PC 2宜+2收3:.PC=4 也又：PCPD=PBPA：.PA=4也就是半徑05=4,在 RTAACB 中,AC=Vab2 -(2&)2=2VH,AB是直徑，ZADB=ZACB=90AZ FDA +Z BDC=90Z CBA +Z CAB=90VZ BDC =Z CABAZ FDA =Z CBAXVZ AFD =Z ACB=90 AFD必ACBaFDCB 2-；廠在 Rt AFP 中，

8、設(shè) FD=x，則 AF= .: 7 肛A在 RT APF 中有，2+ 缶+6 哂 2=122,【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理及圓周角的有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的角和邊求解.【題3】（中考濟(jì)寧21題）閱讀材料：已知，如圖（1）,在面積為S的ABC中，BC=a, AC=b, AB=c,內(nèi)切圓O的半徑為八連 接OA、OB、OC, ABC被劃分為三個(gè)小三角形.: S=S OBC+S OAC+S OAB=|BCr+ACr+ABr=j （a+b+）幾, 2sA r=.a+b+c匚1求的值.r2（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），如

9、圖（2）, 各邊長(zhǎng)分別為AB=a, BC=b, CD=c, AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r； (2)理解應(yīng)用：如圖(3),在等腰梯形 ABCD 中，ABDC, AB=21, CD =11, AD =13,。01 與。O2分別為 ABD與BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r 1匚1求的值.r2【考點(diǎn)】：圓的綜合題.【分析】(1)已知已給出示例，我們仿照例子，連接04, OB, OC, O。，則四邊形被分 為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與 題目情形類似.仿照證明過程，廠易得.(2) (1)中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們?cè)傧啾燃吹媒Y(jié)果.但求內(nèi)切 圓半徑

10、需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過點(diǎn)D作4B垂線，進(jìn) 一步易得BD的長(zhǎng)，則。、-2、三易得.【解答】(1)如圖2,連接04、OB、OC、0D. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark52 o Current Document S= 40B+ B0C + COD+ 40D= + +7,， 一 2s HYPERLINK l bookmark56 o Current Document .r=.a+b+c+d(2)如圖3,過點(diǎn)D作DEAB于E,梯形ABCD為等腰梯形， HYPERLINK l bookmark60 o Current Document .AE=

11、1 (AB-CD) =1-=5.EB=AB - AE=21 - 5=16.在 Rt AED 中，,? AD =13, AE=5,.DE=12,.DB =,-1DE2+EB2=20. s abd AB-DE=112=126 cdb=1DDE=1P12 =66，ZSaaed口 AB+BD+AD 21+2013 14A T； =2履女=-265 二.CD+CB+DB 11+13+20【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解、創(chuàng)新新知識(shí)的能力，同時(shí)考查了解直角三角形 及等腰梯形等相關(guān)知識(shí).這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，是一道值 得練習(xí)的基礎(chǔ)題，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).

12、【題4】（中考.福州20題）如圖，在 ABC中，/B=45,NACB=60, AB = 3五，點(diǎn)D為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且ND =ZACB,。O為ABC的外接圓.（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求。O的半徑.【解析】試題分析：（10過點(diǎn)A作AE_LEL可一（工】由求得CD的長(zhǎng),BC于點(diǎn)已構(gòu)造兩直角三角形3AE三和nC3,應(yīng)用輯角三角函數(shù)求解即 連接DO并延長(zhǎng)交電口于點(diǎn)?，連接CM,得一銳角是七:二的直角三角形，求解此三用形即可求得口的半徑.試題解析：（10如圖，過點(diǎn)A作苣,三燈于5在 KtA3三中，smB= , AE= AB AB, Z3=4：:,Z3AI=4:. .,.3Z=.YE=:在 W七工C三

13、中，tanZACB = , .E.二 EC BC = 3 +x.,3.（2）由（1）得，在Rt ACE 中，/EAC=30VZD =NACB，/B =NB，二 BACMBCD.：4 三，貝1J _ U=Z.AECC = o：j:.5 = 3點(diǎn)-=372-= 3.一一二=#tanta ud十一、, EC =0）（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)OE=a, OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F，經(jīng)過M、E和尸三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)Q, 連接QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形

14、與 以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不 存在，請(qǐng)說明理由.【分析】：（1）連接PM, PN,運(yùn)用 PMF/ PNE證明，（2）分兩種情況當(dāng)t1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，0Vt1時(shí)，點(diǎn) 口E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，再根據(jù)（1）求解，（3）分兩種情況，當(dāng)1t2時(shí)，三角形相似時(shí)還各有兩種情況，根據(jù)比例式求出時(shí)間t.【解答】證明：（1）如圖，連接PM, PN,V0P與軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N, PM MF, PN ON 且 PM=PN,AZ PMF=N PNE=90 且/ NPM=90,V PE PF,ZNPE=ZMPF=90 -ZMPE,10Vnpe=Zmpf在 P

15、MF 和 PNE 中，I PN=P，二 PMF A PNE (ASA),NPKE 二 NFMF PE=PF,(2)解：當(dāng)t1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，如圖，由(1)得4PMF/ PNE，,NE=MF=t, PM=PN=1,b=OF= GM-+MF=1+1, a=NE - ON= t - 1,.b - a =1+1 -(t - 1) =2,；.b=2+a, 0Vt1時(shí)，如圖2,點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上， 同理可證4 PMF / PNE,b=OF= GM-+MF=1+1, a=ON - NE=1 - t,；.b+a =1+1+1- t=2,；.b=2 - a,(3)如圖 3, (I)當(dāng) 1t2時(shí)

16、，F(xiàn)和F關(guān)于點(diǎn)(II)如圖4,當(dāng)t 2時(shí)，F(xiàn)和F關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，經(jīng)過M、E和三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)Q,11 Q（1 - -，t，0）.,.由（1）得4PMF/ PNE .NE=MF=t,：. OE=t -當(dāng) OEQ s MPF.空坐.= =-，無解 當(dāng)OEQsMFP 時(shí)，噂孝，t J/ 一，解得，t-2土二1,所以當(dāng)t上產(chǎn)，t- 2, t-2 另時(shí)，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F 為頂點(diǎn)的三角形相似.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是把圓的知識(shí)與全等三角形與相似三角 形相結(jié)合找出線段關(guān)系.【題7】(中考寧波26)木匠黃師傅用長(zhǎng)AB-3,寬BC-2的矩形木板做一

17、個(gè)盡可能大的圓 形桌面，他設(shè)計(jì)了四種方案：方案一：直接鋸一個(gè)半徑最大的圓；方案二：圓心O、O2分別在CD、AB上，半徑分別是OC、O2A，鋸兩個(gè)外切的半圓拼成 一個(gè)圓；方案三：沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓；方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個(gè)盡可能大的圓.(1)寫出方案一中圓的半徑；(2)通過計(jì)算說明方案二和方案三中，哪個(gè)圓的半徑較大？(3)在方案四中，設(shè)CE-x (0%1),圓的半徑為y.求y關(guān)于的函數(shù)解析式；當(dāng)取何值時(shí)圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑 最大12【考點(diǎn)】： 圓的綜合題【分析

18、】：（1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，由已知長(zhǎng)寬分別為3, 2,那么直接取圓直徑最大為2,則半徑最大為1.（2）方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似 中對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長(zhǎng)的題目.一般都先設(shè)出所 求邊長(zhǎng)，而后利用關(guān)系代入表示其他相關(guān)邊長(zhǎng)，方案二中可利用qO2E 為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用OM - OFN 后對(duì)應(yīng)邊成比例整理方程，進(jìn)而可求廠的值.（3）類似（1）截圓的直徑需不超過長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，雖然 方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過橫縱向方向跨 度.則選擇最小跨度，取其，即為半徑.由

19、EC為l，則新拼圖形水平 方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+%，則需要先判斷大小，而后分別 討論結(jié)論.已有關(guān)系表達(dá)式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案四中的最大半徑.另 與前三方案比較，即得最終結(jié)論.【解答】：解：（1）方案一中的最大半徑為1.分析如下：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為3, 2,那么直接取圓直徑最大為2,則半徑最 大為1.13方奈二(2) 如圖1,方案二中連接O 1, O2，過O1作。盧,AB于E，方案三中，過點(diǎn)O分別作AB, BF的垂線，交于M, N,此時(shí)M, N恰為。O與AB，BF的切點(diǎn).萬案一: 設(shè)半徑為r，在 Rt O 1 O2E 中，:O 1 O2=2r, O 1 E=BC=2,

20、 O2E=AB - AO 1 - CO2=3 - 2r, .(2r) 2=22+ (3 - 2r) 2,解得V、.1-* 萬案二:在AOM和OFN中，ZA=ZF-ON.ZOMA=Z， AOM s OFN,E.M OM3 - r r解得r=-1.比較知，方案三半徑較大.（3）方案四：EC=x,新拼圖形水平方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+x.類似（1）,所截出圓的直徑最大為3-x或2+x較小的.14當(dāng) 3 - % 2+% 時(shí)當(dāng) 3 當(dāng) 3 - % 2+% 時(shí)即當(dāng) %2時(shí)，r=7(3 - %)；IIIR即當(dāng) %=時(shí)，r=- (3 -)=；2224即當(dāng)% 義時(shí)，r= (2+%).1 y|時(shí)，r=

21、(3 - %)=。-1，=；方案四時(shí)可取的圓桌面積最大.【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長(zhǎng)及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路， 但仔細(xì)觀察每一小問都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點(diǎn)，所以總體來說是一道質(zhì)量很 高的題目，值得認(rèn)真練習(xí).【題8】(中考蘇州28)如圖，已知1112，。O與l1, 12都相切，。O的半徑為2c機(jī)，矩 形ABCD的邊AD、AB分別與l 12重合，AB=4/3cm, AD=4cm，若。O與矩形ABCD沿 11同時(shí)向右移動(dòng)，。O的移動(dòng)速度為3cm，矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為 t (s)(1)如圖，連接OA、

22、AC,則NOAC的度數(shù)為105 ；(2)如圖，兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后，。O到達(dá)。01的位置，矩形ABCD到達(dá)A1B 1c 1D1 的位置，此時(shí)點(diǎn)Op A1, C1恰好在同一直線上，求圓心O移動(dòng)的距離(即OO1的長(zhǎng))；(3)在移動(dòng)過程中，圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d (cm),當(dāng)d2時(shí)，求t的取值范圍(解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖).15【考點(diǎn)】圓的綜合題.【考點(diǎn)】圓的綜合題.【分析】：利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出NOW=45, ZDAC=60,進(jìn)而得出答案；(2)首先得出，ZCA 1 D 1=60,再利用A盧=AA1- OO 1 - 2=L

23、2,求出t的值，進(jìn)而得出OO 1=31得出答案即可；(3)當(dāng)直線AC與。O第一次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為11,當(dāng)直線AC與。O 第二次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為12,分別求出即可.【解答】：解：(1)：/ 112,。O與11, 12都相切，AZ OAD=45,* AB=4./ 3cm, AD=4cm,A CD=4 Cmm, AD=4 cm,:.tan Z DAC 罟等二；3,AZ DAC=60,AZOAC 的度數(shù)為：ZOAD +ZDAC=105,故答案為：105；(2)如圖位置二，當(dāng)O 1, A 1, C1恰好在同一直線上時(shí)，設(shè)。O1與11的切點(diǎn)為16 連接 O 1 E，可得 O 1 E=2, O 1

24、EJ_ 11, 在 Rt A 1 D 1 C 1 中，VA1 D 1=4, C 1 D1=4.:3, A tanZC 1 A 1 D 1= 3,AZC 1 A 1 D 1=60,在 Rt A 1 O 1 E 中，ZO 1 A 1 E =ZC1A1 D 1=60,AA 1 E =t8n1/ 個(gè),VA 1 E=AA 1 - OO 1 - 2=t - 2,At-2專， OO 1=31=2 .06； (3)當(dāng)直線AC與。O第一次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為11, 如圖，此時(shí)。O移動(dòng)到。O2的位置，矩形ABCD移動(dòng)到A2B2c2D2的位置， 設(shè)。O2與直線11, A2C2分別相切于點(diǎn)F, G,連接O2F, O2

25、G, O2A2,A O2F11, O2GA2G2, 由（2）得，Z C2A 2D 2=60,AZ GA 2 F =120,AZ O 2A 2 F =60, 在 Rt A2O2F 中，O2F=2,AA2F Jp，. OO2=31, AF=AA2+A2F=41+W，A 411+ - 311=2, 11=2-羊，當(dāng)直線AC與。O第二次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為12, 記第一次相切時(shí)為位置一，點(diǎn)O 1, A 1, C 1共線時(shí)位置二，第二次相切時(shí)為位置二，17 綜上所述，當(dāng)d2時(shí)，的取值范圍是：2 - t0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，半徑為4的。O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C, 與y軸相交于點(diǎn)D、E，

26、點(diǎn)D在點(diǎn)E上方.（備用圖）（1）若直線AB與CD有兩個(gè)交點(diǎn)F、G.求/CFE的度數(shù)；用含b的代數(shù)式表示FG2,并直接寫出b的取值范圍；（2）設(shè)bN5,在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使NCPE=45?若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不 存在，請(qǐng)說明理由.【考點(diǎn)】：圓的綜合題【分析】：（1）連接CD, EA，利用同一條弦所對(duì)的圓周角相等求行NCFE=45,（2）作OMAB點(diǎn)M，連接OF,利用兩條直線垂直相交求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理求出FM2,再求出FG2,再根據(jù)式子寫出b的范圍，（3）當(dāng)b=5時(shí)，直線與圓相切，存在點(diǎn)P，使NCPE=45,再利用兩條直線垂 直相交求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，【解答】：解：（1）連

27、接CD, EA,18 DE是直徑，AZ DCE=90,V CO DE，且 DO=EO,AZ ODC= OEC=45,AZ CFE=Z ODC=45,19：.4b 5,(3)如圖，(皆用圖】當(dāng)b=5時(shí)，直線與圓相切， DE是直徑，AZ DCE=90,V CO DE，且 DO=EO,AZ ODC= OEC=45,AZ CFE=Z ODC=45,A存在點(diǎn)P，使ZCPE=45,連接OP,VP是切點(diǎn)，A OP AB,A OP所在的直線為：y=-x,又VAB所在的直線為：y = - -x+5, 4【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了圓與一次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，明確兩條直線垂直時(shí)K的關(guān)系.【題10(中考

28、江蘇徐州28)如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm, AD=4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)， 沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑作圓O,點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF, 過點(diǎn)E作EGEF, EG與圓O相交于點(diǎn)G,連接CG.(1)試說明四邊形EFCG是矩形；(2)當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，20矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說明理由；求點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng).【考點(diǎn)】：圓的綜合題；垂線段最短；直角三角形斜邊上的中線；矩形的判定與性質(zhì);圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).【分析】：(1)只要證到三個(gè)內(nèi)角等于90

29、即可.(2)易證點(diǎn)D在。O上，根據(jù)圓周角定理可得/FCE=/FDE，從而證到CFEADAB, 3CF2根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到S矩形ABCD=2SaCFE=豈二.然后只需求出CF的范圍就可求出S的范圍.根據(jù)圓周角定理和矩形的性質(zhì)可證到NGDC =Z FDE=定值，從而得到點(diǎn)G 矩形ABCD的移動(dòng)的路線是線段，只需找到點(diǎn)G的起點(diǎn)與終點(diǎn)，求出該線段的長(zhǎng)度即可.【解答】： 解：(1)證明：如圖1,V CE為。O的直徑，/ CFE=N CGE=90.V EG EF,AZ FEG=90./ CFE=Z CGE=Z FEG=90.A四邊形EFCG是矩形.(2)存在.連接OD，如圖2，四邊形ABCD是矩形

30、，AZ A =Z ADC=90.點(diǎn)O是CE的中點(diǎn)，AOD=OCA點(diǎn)D在。O上.Z FCE=Z FDE ,Z A =Z CFE=90,21:、 CFE s DAB.=(駕2運(yùn)DABDA,? AD=4, AB=3,. BD=5,S CFE=(苧、S DAB耳鼻“4 S 矩形 ABCD=2S CFE四邊形EFCG是矩形，.FC / EG.?.Z FCE=Z CEG.VZ GDC =Z CEG,/ FCE=Z FDE,?.Z GDC =Z FDE.VZ FDE+Z CDB=90,. Z GDC +Z CDB=90. Z GDB=90I .當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A ()處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)B (F，)處，點(diǎn)G在點(diǎn)D (G

31、處，如圖2所示.此 時(shí)，CF= CB=4.當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D (F)處時(shí)，直徑F G BD,如圖2所示，此時(shí)。O與射線BD相切，CF= CD=3.當(dāng)CFBD時(shí)，CF最小，此時(shí)點(diǎn)F到達(dá)F”,如圖2所示.S Rn=-BC CD-.BDCF. BCD :.4x3=5x CF”.22,矩形EFCG的面積最大值為12,最小值:/GDC =ZFDE=定值，點(diǎn)G的起點(diǎn)為D，終點(diǎn)為G,點(diǎn)G的移動(dòng)路線是線段DG.VZ GDC =N FDE，/ DCG =Z A=90DA DB .3 DG/DG點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)為23坐標(biāo)分別是（一4, 9）、（一13, 3）.,其中坐標(biāo)分別是（一4, 9）、（一13, 3）.,其中Pp

32、 P2的 y過點(diǎn)門作以河上戶外.垂足為乩因?yàn)樗?。力解得n =喊門=- 4.R（舍去）因刈=3當(dāng)匕巴與0n相切時(shí).此時(shí)冰川移動(dòng)的距離最短，出短距寓工所以統(tǒng)照P區(qū)所在直線對(duì)應(yīng)的鬲數(shù)關(guān)系式為了 =工+史 33C）設(shè)線段 g 交軸于點(diǎn)入.延提線殷P工片交F軸于點(diǎn)P*.+黑所以當(dāng)a; - 0,y =字 JJ【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、垂線段定理等知識(shí)，考查了動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)的路線長(zhǎng)，綜 合性較強(qiáng).而發(fā)現(xiàn)NCDG =NADB及NFCE=ZADB是解決本題的關(guān)鍵.【題11（中考.連云港25題）為了考察冰川融化的狀況，一支科考隊(duì)在

33、某冰川上設(shè)一定個(gè)以大本營(yíng)O為圓心，半徑為4km圓形考察區(qū)域，線段P1、P2是冰川的部分邊界線（不考慮其它邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿著與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng).若經(jīng)過n年，冰川的邊界線P1P2移動(dòng)的距離為s（km），并且s與n （n為正整數(shù)）的關(guān)系是397s = n2- n + .以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 4V/J V/ 乙。（1）求線段P1P 2所在的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;（2）求冰川的邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需要的最短時(shí)間.解答乃口）度直線巴已對(duì)應(yīng)的函敝能系式為了=hM。）, TOC o 1-5 h z 4由題意,得-4Jt + 4 = 9.由題意,得1熊+b=3解

34、之得3圖形的展開與疊折一、選擇題1.（中考 安徽省，第8題4分）如圖，Rt ABC中，AB=9, BC=6,ZB=90,將BC折分析:設(shè)BN=x，則由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9-，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BD=3,在Rt ABC中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解.解答： 解：設(shè)BN=x，由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9- x, :D是BC的中點(diǎn)，BD=3,在 Rt ABC 中，x2+32= （9 - x） 2,解得x=4.故線段BN的長(zhǎng)為4.故選：C.點(diǎn)評(píng)： 考查了翻折變換（折疊問題），涉及折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程 思想，綜合性較強(qiáng)，但是難度不大.252.（中考年廣東汕

35、尾，第9題4分）如圖是一個(gè)正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“你”字一面相對(duì)面上的字是（）A.我B.中C.國(guó)D.夢(mèng)分析：利用正方體及其表面展開圖的特點(diǎn)解題.解：這是一個(gè)正方體的平面展開圖，共有六個(gè)面，其中面“我”與面“中”相對(duì)，面“的”與面“國(guó)” 相對(duì)，“你”與面“夢(mèng)”相對(duì).故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分 析及解答問題.3.（中考浙江寧波，第3題4分）用矩形紙片折出直角的平分線，下列折法正確的是（）考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）.分析：根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)及角平分線的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.解答：解：A.當(dāng)長(zhǎng)方形如A所示對(duì)折時(shí)，其重

36、疊部分兩角的和一個(gè)頂點(diǎn)處小于90,另一頂點(diǎn)處大于90,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.當(dāng)如B所示折疊時(shí)，其重疊部分兩角的和小于90,故本選 項(xiàng)錯(cuò)誤；C.當(dāng)如C所示折疊時(shí)，折痕不經(jīng)過長(zhǎng)方形任何一角的頂點(diǎn)，所 以不可能是角的平分線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.當(dāng)如D所示折疊時(shí)，兩角的和是90,由折疊的性質(zhì)可知其 折痕必是其角的平分線，正確.故選：D.25點(diǎn)評(píng)：本題考查的是角平分線的定義及圖形折疊的性質(zhì)，熟知圖形折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.4.（中考浙江寧波，第10題4分）如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一 個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫做棱錐.如圖是一個(gè)四棱柱和一個(gè)六棱錐，它們各 有12條棱.下列棱柱中

37、和九棱錐的棱數(shù)相等的是（）A.五棱柱B.六棱柱 C.七棱柱 D.八棱柱考點(diǎn)：認(rèn)識(shí)立體圖形分析：根據(jù)棱錐的特點(diǎn)可得九棱錐側(cè)面有9條棱，底面是九邊形，也有9條棱，共9+9=18條棱，然后分析四個(gè)選項(xiàng)中的棱柱棱的條數(shù) 可得答案.解答：解：九棱錐側(cè)面有9條棱，底面是九邊形，也有9條棱，共9+9=18條棱，A、五棱柱共15條棱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、六棱柱共18條棱，故此選項(xiàng)正確；。、七棱柱共21條棱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、九棱柱共27條棱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了認(rèn)識(shí)立體圖形，關(guān)鍵是掌握棱柱和棱錐的形狀.5.（中考菏澤，第5題3分）過正方體中有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)切出一個(gè)平面，形成 如圖

38、幾何體，其正確展開圖為（）27考點(diǎn)：幾何體的展開圖；截一個(gè)幾何體.分析：由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點(diǎn)解題.解答：解：選項(xiàng)A、。、D折疊后都不符合題意，只有選項(xiàng)B折疊后兩個(gè)剪去三角形與另一個(gè)剪去的三角形交于一個(gè)頂點(diǎn)，-與正方體三個(gè) 剪去三角形交于一個(gè)頂點(diǎn)符合. 故選B.點(diǎn)評(píng)：考查了截一個(gè)幾何體和幾何體的展開圖.解決此類問題，要充分考慮帶有各種符號(hào)的面的特點(diǎn)及位置.二.填空題1.(中考福建泉州，第17題4分)如圖，有一直徑是巧米的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個(gè)圓周角是90的最大扇形ABC,則：(1) AB的長(zhǎng)為1米；(2)用該扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐，所得圓錐的底面圓的半徑為米.考點(diǎn)：圓錐的

39、計(jì)算；圓周角定理專題：計(jì)算題.分析：(1)根據(jù)圓周角定理由/BAC=90得BC為。0的直徑，即BC = ；2 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB =1；(2)由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，則2 n 答舒，然后解方程即可.解答：解：(1)：NBAC=90,BC為。的直徑，即BC =, 2,28AB = -草;BC =1 ；（2）設(shè)所得圓錐的底面圓的半徑為r,根據(jù)題意得2 nr180的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).也考查了圓周角定理.根據(jù)題意得2 nr180的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).也考查了圓周角定理.解得右.E在BC上,翻折變換（折疊問題）將E在BC上

40、,翻折變換（折疊問題）將ABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B處，則BE的長(zhǎng)為一之.解答:解：BC =,-;AC2 - AB4,2.（中考畢節(jié)地區(qū)，第20題5分）如圖，在Rt ABC中，/ABC=90, AB=3, AC=5,點(diǎn)3考點(diǎn):八、分析:利用勾股定理求出BC=4,設(shè)BE=x，則CE=4 - x，在Rt BEC中，利用分析:勾股定理解出的值即可.由折疊的性質(zhì)得：BE=BE, AB=AB,設(shè) BE=x，貝U BE=x, CE=4- x, BC=AC - AB=AC - AB=2,在 Rt BEC 中，BE2+BC2=EC2, 即 x2+22= (4 - x) 2,29點(diǎn)評(píng):解得：%=1 .點(diǎn)評(píng):故答案為：!.本題考查了翻折變換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的性質(zhì)及勾 股定理的表達(dá)式.（中考云南昆明，第14題3分）如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的 正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為 FH，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)6，則4EBG的周 長(zhǎng)是cmBGV/H-CQ第14題圖考點(diǎn)：折疊、勾股定理、三角形相似.分析：根據(jù)折疊性質(zhì)可得/FEG = 90。，先由