氣候統(tǒng)計(jì)第四章 (2) 因子分析課件

1、4.4因子分析 因子分析是尋找對(duì)觀察結(jié)果起支配作用的潛在因子（潛變量，latent variable) 的探索性統(tǒng)計(jì)分析方法。基本目的就是用少數(shù)幾個(gè)因子去描述許多指標(biāo)之間的關(guān)系，將關(guān)系比較密切的幾個(gè)變量歸為同一類中，每一類變量就稱為一個(gè)因子（之所以稱其為因子，因?yàn)樗遣豢捎^測的，既不是具體變量，故也稱潛在因子），以少數(shù)幾個(gè)因子反映原始資料的大部分信息。 因子分析涉及的計(jì)算與主成分相似，但在分析內(nèi)容上有很大區(qū)別。 因子分析的意義 因子分析首先在心理學(xué)領(lǐng)域里發(fā)展起來，1904年斯彼爾曼在（C.Speraman）在對(duì)高級(jí)預(yù)備學(xué)校部分學(xué)生成績分析中發(fā)現(xiàn)，各科成績有一定的相關(guān)性，所得相關(guān)矩陣如下：科目古

2、典語x1法語x2英語x3數(shù)學(xué)x4判別x5音樂x6古典語x110.830.780.70.660.63法語x210.670.670.650.57英語x310.640.540.51數(shù)學(xué)x410.50.051判別x510.4音樂x61 從上述矩陣可以看出，除對(duì)角線元素外，各科成績間的相關(guān)系數(shù)從左到右呈遞減趨勢，相近學(xué)科（如語言類）的成績相關(guān)系數(shù)較大，因此斯彼爾曼認(rèn)為某一學(xué)科的成績xi 是受到對(duì)所有科目都有影響的公共因子f和對(duì)該科目成績有特殊作用的因子ei的作用，用公式表示為： 把f通稱公共因子，ai稱為因子載荷，而ei稱為特殊因子。在斯彼爾曼的例子里，可以認(rèn)為考試成績受一般智力因子f和某學(xué)科特殊因子e

3、i的影響。 一、因子分析的一般模型假設(shè) 對(duì)p個(gè)氣象變量進(jìn)行因子分析的目的是研究它們有哪些共同因素，哪些是特殊因素，這些因素在變量分析中起什么作用。為研究方便，設(shè)這些變量已進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，可以表示為： 由上可見因子分析是將一組有著復(fù)雜關(guān)系的變量分解為所有變量共同具有的公共因子和每個(gè)原始變量獨(dú)有的特殊因子。 即 因子分析的目的就是對(duì)原始變量尋求公共因子，以分析和簡化存在于原變量之間的復(fù)雜關(guān)系，將具有相同本質(zhì)的變量歸結(jié)為一個(gè)因子，使分散而復(fù)雜的數(shù)據(jù)趨于整體化、簡單化。對(duì)樣本矩陣：(4.4.3)2.公共因子是標(biāo)準(zhǔn)化變量，各公共因子之間是無關(guān)的：3.各特殊因子之間是無關(guān)的。 二、公共因子分析過程 設(shè)原始數(shù)據(jù)

4、矩陣為：1.對(duì)原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：令：(4.4.5)(4.4.4)(4.4.6)代入（4.4.4）4.求因子載荷矩陣APM 根據(jù)公共因子數(shù)m,可將（4.4.7）寫為 則有（4.4.2）因子模型： A稱為因子載荷矩陣，F(xiàn)稱為公共因子矩陣，E稱為特殊因子矩陣。根據(jù)主成分的正交性（獨(dú)立性）的性質(zhì)，原變量是標(biāo)準(zhǔn)化變量時(shí)的因子載荷陣的主要性質(zhì)。）因子載荷ik,表示第k個(gè)公共因子在第i個(gè)原變量上的作用。統(tǒng)計(jì)上表現(xiàn)為fk和xi的相關(guān)系數(shù)。證：可證滿足模型假設(shè)1、2。由模型假定1、22）載荷陣APP的行元素的平方和為1：而載荷陣APm的行元素的平方和 稱為共同度，它表示全部公共因子對(duì)變量xi的總方差的貢獻(xiàn)大小，反映xi的代表性、公共性。 表現(xiàn)為fk對(duì)xi的方差貢獻(xiàn)。 稱為特殊因子方差。3）載荷陣APP的列元素的平方和 稱為公共因子fk的方差貢獻(xiàn)。 公共因子fk對(duì)所有原變量的方差貢獻(xiàn)為其對(duì)應(yīng)的特征值。結(jié)論：1、 最大，即2月份的公共性最大，說明2月份最具代表性，這與通常以1月份為冬季氣溫的代表月份是不同的。2、第一公共因子與12月份氣溫的相關(guān)系數(shù)最大，可以說第一公共因子反映12月份；而第二公共因子反映2月份。m個(gè)公共因子是正交的