有限元仿真的一堂課-兼說實(shí)例驅(qū)動(dòng)型啟發(fā)式教學(xué)法

1、有限元仿真的一堂課兼說實(shí)例驅(qū)動(dòng)型啟發(fā)式教學(xué)法摘要有限元仿真課程已成為力學(xué)等專業(yè)新工科人才培養(yǎng)中的重要環(huán)節(jié)。本文針對(duì)該課程的特點(diǎn)，提 出了實(shí)例驅(qū)動(dòng)型啟發(fā)式的教學(xué)方法。通過對(duì)帶孔方板受拉問題的教學(xué)實(shí)例的闡述，詳細(xì)介紹了實(shí)例驅(qū)動(dòng) 型教學(xué)方法的組成部分和實(shí)施要點(diǎn)，討論了啟發(fā)式理念在該實(shí)例教學(xué)中的體現(xiàn)。通過同濟(jì)大學(xué)的教學(xué)實(shí) 踐，表明所提方法能顯著提高教學(xué)效果。關(guān)鍵詞有限元，實(shí)例驅(qū)動(dòng),啟發(fā)式，帶孔方板ON THE HEURISTIC AND EXAMPLE-DRIVEN TEACHING METHODA CASE STUDY OF FINITE ELEMENT SIMULATION COURSE1)Abs

2、tract The finite element simulation is now an important link in the engineering education for students majored in mechanics and mechanical engineering. This paper proposes a heuristic and example- driven method for teaching the finite element simulation courses. Through the practice of a teaching ca

3、se of stretching a rectangular plate with a central hole, the contents and the key points of the example-driven method are illustrated in details. The incarnation of heuristics in the activities of teaching this example is discussed. Based on the teaching practice in Tongji University, the effective

4、ness of the proposed teaching method is demonstrated.Key words finite element method, example-driven, heuristic, plate with hole近年來，有限元仿真在工業(yè)界和學(xué)術(shù)界都得到 了廣泛應(yīng)用，在工業(yè)界作為提高生產(chǎn)效率和加快研 發(fā)周期的重要手段，在學(xué)術(shù)界成為進(jìn)行科學(xué)研究的 重要方法。有限元仿真技能已成為新工科人才培養(yǎng) 中不可缺少的環(huán)節(jié)。鑒于其重要性，多數(shù)高校的力 學(xué)、機(jī)械、土木、航空航天等工科專業(yè)都開設(shè)了有限 元仿真應(yīng)用課程。但是針對(duì)這些課程的教學(xué)研究剛 剛起步，已有的教學(xué)文獻(xiàn)還

5、很少。鄭翔等探索了問 題式學(xué)習(xí)方法在研究生有限元課程教學(xué)中的應(yīng)用。 張大英將有限元學(xué)習(xí)與工程實(shí)際應(yīng)用結(jié)合，通過 一個(gè)預(yù)應(yīng)力混凝土的梁的分析實(shí)例闡述了有限元軟 件課程的課堂組織和考查方式。田和強(qiáng)等3探討了 “翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式在有限元軟件課程教學(xué)中的應(yīng) 用。尹飛鴻等囹研究了慕課方法在有限元軟件課程 教學(xué)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)5-7強(qiáng)調(diào)了有限元課程教學(xué)中 理論與實(shí)踐的結(jié)合，呼吁加強(qiáng)學(xué)生的上機(jī)訓(xùn)練。這些 工作在教學(xué)方法、教學(xué)課件的設(shè)計(jì)、教學(xué)資源的使用 等幾個(gè)方面進(jìn)行了有益探討，但相關(guān)研究還不足夠。不同于傳統(tǒng)課程，有限元仿真課程有其獨(dú)特的 特點(diǎn)，歸納起來有以下幾點(diǎn)：(1)注重實(shí)踐。有限元 仿真課程的目標(biāo)是培養(yǎng)

6、學(xué)生運(yùn)用有限元方法來解決 實(shí)際工程問題的能力，這一教學(xué)目標(biāo)決定了教學(xué)內(nèi) 容以軟件應(yīng)用為主，必須通過大量上機(jī)操作來實(shí)現(xiàn);知識(shí)結(jié)構(gòu)扁平化，知識(shí)點(diǎn)分散。一個(gè)通用有限元 軟件包含大量命令，這些命令從屬于不同模塊，相互 間聯(lián)系較少，重點(diǎn)也不突出，形成了大量分散的知識(shí) 點(diǎn)。傳統(tǒng)以注入式為主的講解方法難以取得好的教 學(xué)效果；(3)較強(qiáng)的靈活性和開放性。每個(gè)問題都有 多個(gè)不同建模方案，解題思路不唯一,甚至答案也不 唯一。以上這些特點(diǎn)，使得有限元仿真課程的課堂 組織、考核方式等教學(xué)方案不宜沿襲傳統(tǒng)課程的模 式，開展對(duì)有限元仿真課程教學(xué)方法的研究顯得很 有必要。1實(shí)例驅(qū)動(dòng)型啟發(fā)式教學(xué)方法介紹實(shí)例驅(qū)動(dòng)是指圍繞具體實(shí)

7、例的分析和求解來組 織和開展教學(xué)活動(dòng)。啟發(fā)式教學(xué)法是從學(xué)生思維角 度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性的 教學(xué)方法。實(shí)例驅(qū)動(dòng)型啟發(fā)式教學(xué)方法根據(jù)課程目 標(biāo)精選若干教學(xué)實(shí)例，將分散的知識(shí)點(diǎn)融合貫穿在 一個(gè)個(gè)具體實(shí)例的講解和練習(xí)中，并通過啟發(fā)式教 學(xué)方法來最大限度地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題 的能力。這其中，實(shí)例是教學(xué)載體，每節(jié)課的實(shí)例安 排需要遵循以下幾個(gè)原則：一是精益求精原則，所選 實(shí)例要有普遍性、代表性和較強(qiáng)的工程應(yīng)用背景，有 進(jìn)一步擴(kuò)展空間，難度和復(fù)雜度適合在一節(jié)大課的 時(shí)間內(nèi)完成;二是循序漸進(jìn)原則,按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜, 從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從線性到非線性，從單一材料到多種 材料，從單調(diào)加

8、載到多個(gè)載荷步的順序來安排教學(xué); 三是難點(diǎn)分散原則，軟件學(xué)習(xí)具有知識(shí)點(diǎn)零碎、重復(fù) 性高、難點(diǎn)隱蔽的特點(diǎn)。教師在制定教學(xué)計(jì)劃時(shí)應(yīng)盡 可能將難點(diǎn)平均分配到每節(jié)課的實(shí)例中，通過充分 備課、提前給學(xué)生分發(fā)文件等辦法突出難點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)不 同，避免重復(fù)。啟發(fā)式方法是培養(yǎng)學(xué)生思維和動(dòng)手能 力的關(guān)鍵，啟發(fā)式教學(xué)理念體現(xiàn)在3個(gè)層面:(1)課堂 教學(xué)層面。教學(xué)過程中注意理論聯(lián)系實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生 回顧相關(guān)的理論知識(shí)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考建模的思 路，針對(duì)問題難點(diǎn)恰到好處地設(shè)計(jì)課堂提問。(2)課 后練習(xí)層面。通過布置開放式習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主 觀能動(dòng)性和創(chuàng)新意識(shí)，在消化課堂所學(xué)的基礎(chǔ)上，通 過查閱書籍或幫助文檔，進(jìn)一步提高相關(guān)

9、的操作技 能。(3)課程期末考查層面。精心設(shè)計(jì)考查題目，使所 考題目涵蓋較多知識(shí)點(diǎn)，又保留有一定的自由發(fā)揮 余地，同時(shí)增加題目可選性，讓學(xué)生在多個(gè)題目中任 選一個(gè)完成,兼顧不同學(xué)生的特點(diǎn)，增強(qiáng)考查的公平 性，同時(shí)降低作弊發(fā)生的概率。2 一個(gè)教學(xué)實(shí)例帶孔方板受拉問題 的模擬2.1教學(xué)背景介紹工程中經(jīng)常遇到開孔板殼結(jié)構(gòu)，如飛機(jī)舷窗、鉚 接合頁等，以這類工程問題為背景，我們構(gòu)造了帶孔 方板在拉伸載荷下的應(yīng)力分析的實(shí)例。該實(shí)例應(yīng)用 于同濟(jì)大學(xué)“工業(yè)裝備虛擬仿真技術(shù)”課程的教學(xué) 實(shí)踐，面向工程力學(xué)和航空航天工程兩個(gè)專業(yè)的學(xué) 生。所需已修課程包括彈性力學(xué)、計(jì)算力學(xué)等。該實(shí) 例安排在課程的第三周或第四周學(xué)習(xí)

10、，學(xué)生前期已 學(xué)習(xí)了有限元軟件的基本操作和一些簡(jiǎn)單的實(shí)例, 如懸臂梁彎曲問題，了解了有限元軟件的建模流程。 該實(shí)例的階段學(xué)習(xí)目標(biāo)為掌握ABAQUS平面問題 的分析建模方法，熟悉精細(xì)化網(wǎng)格劃分方法，并聯(lián)系 彈性力學(xué)知識(shí)加深對(duì)力學(xué)概念的理解。2.2問題的提出本實(shí)例構(gòu)型如圖1所示，一個(gè)帶孔矩形板受到單 向拉伸載荷作用，尺寸(mm)和載荷大小參見圖1中 標(biāo)注。結(jié)構(gòu)材料為Q235結(jié)構(gòu)鋼，楊氏模量200 GPa, 泊松比0.33,屈服應(yīng)力為235MPa。通過有限元模擬 計(jì)算板面內(nèi)不均勻應(yīng)力分布。a圖1帶孔矩形板受拉實(shí)例的示意圖2.3建模及求解考慮到構(gòu)型和載荷特征，將該問題作為平面應(yīng) 力問題來求解，采用AB

11、AQUS有限元軟件的CAE 界面進(jìn)行建模。遵循ABAQUS/CAE的主菜單中的 模塊順序，將建模流程分為8個(gè)步驟，而分散的知識(shí) 點(diǎn)則有機(jī)融入在建模的具體步驟中，通過每個(gè)步驟 的講解和操練來傳授和使學(xué)生體會(huì)各項(xiàng)仿真技能。 每步的任務(wù)、主要操作和所包含的知識(shí)點(diǎn)參見表1。表1帶孔矩形板受拉實(shí)例的具體建模步驟及知識(shí)點(diǎn)步驟任務(wù)CAE模塊主要操作知識(shí)點(diǎn)1建立幾何模型Part創(chuàng)建一個(gè) 2D, Deformable，Shell 特利用對(duì)稱性縮減模型規(guī)模；形狀修改征的帶孔方板部件技巧:相交線裁剪、尺寸控制2賦予材料屬性Property創(chuàng)建一線彈性材料，并基于此材料創(chuàng)建ABAQUS中平面問題對(duì)應(yīng)Solid截一 S

12、olid類型截面，將截面賦予部件面;平面問題和板殼問題的區(qū)別3創(chuàng)建實(shí)例和組裝Assembly創(chuàng)建一個(gè)基于帶孔板部件的實(shí)體ABAQUS實(shí)體的概念，實(shí)體和部件 的關(guān)系4創(chuàng)建分析步Step創(chuàng)建一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)分析步準(zhǔn)靜態(tài)分析中的時(shí)間概念；多個(gè)分析 步的創(chuàng)建5添加載荷和邊界條件Load在對(duì)稱面上添加對(duì)稱邊界條件；在受 拉邊界上添加均布載荷Pressure 和 Surface traction 的區(qū)別； 邊界條件和載荷在多個(gè)分析步間的傳 遞;剛體運(yùn)動(dòng)約束的檢查了解不同分網(wǎng)方案的區(qū)別:結(jié)構(gòu)化、掃6劃分網(wǎng)格Mesh用一階減縮四邊形單元CPS4R對(duì)部略和自由;用Partition工具將復(fù)雜模件劃分網(wǎng)格離散型分成若干

13、簡(jiǎn)單形狀；不均勻種子點(diǎn) 布置方法7計(jì)算求解Job創(chuàng)建任務(wù)并提交計(jì)算計(jì)算資源調(diào)用設(shè)置8結(jié)果后處理Visualization繪制孔邊應(yīng)力分布曲線；與理論解的通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換顯示結(jié)果；通過創(chuàng)建比較Path來繪制變量的空間分布圖2馮圖2馮米塞斯應(yīng)力云圖,變形放大比例100初始算例的幾何參數(shù)為R = 5 mm，L = 20 mm， H = 30mm，載荷二。=100MPa，只考慮材料的線 彈性屬性，得到的馮-米塞斯應(yīng)力云圖如圖2所示。2.4啟發(fā)式課堂教學(xué)方案設(shè)計(jì)按照實(shí)例的建模和求解步驟，在一些關(guān)鍵點(diǎn)設(shè) 置多個(gè)可選方案，讓學(xué)生通過自己思考和實(shí)踐，找到 正確建模思路。在這個(gè)過程中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興 趣，鍛煉學(xué)生

14、的分析能力和動(dòng)手能力，并培養(yǎng)學(xué)生的 獨(dú)立思考習(xí)慣。完整模型與1/4對(duì)稱性模型的對(duì)比。讓學(xué)生通 過實(shí)際操作體會(huì)建立對(duì)稱性模型的好處：節(jié)約計(jì)算 資源，且不用額外施加剛體約束條件。在此基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步讓學(xué)生思考含有陣列排布的多個(gè)圓孔平板的 建模方法。將孔的大小改為1mm,重新劃分網(wǎng)格計(jì)算應(yīng)力 分布。重點(diǎn)講解網(wǎng)格局部加密的方法:先用Partition 切分功能在孔周圍切出一個(gè)同心的扇形區(qū)域，通過 對(duì)扇形區(qū)域的邊界撒種子以加密孔邊區(qū)域網(wǎng)格，并 通過Bias選項(xiàng)在剩下區(qū)域設(shè)置不均勻種子，使網(wǎng)格 從孔邊到遠(yuǎn)場(chǎng)逐漸變疏，最后按照結(jié)構(gòu)化方案來劃 分網(wǎng)格，提高網(wǎng)格質(zhì)量。此外，通過比較查看孔周圍 和遠(yuǎn)場(chǎng)的應(yīng)力分布，

15、使學(xué)生對(duì)邊界效應(yīng)的影響有了 直觀認(rèn)識(shí)，對(duì)彈性力學(xué)中的圣維南原理有更深入理 解。進(jìn)一步改變孔的大小，探究孔邊應(yīng)力集中系數(shù) 隨孔尺寸變化的規(guī)律，通過創(chuàng)建Path畫出環(huán)向應(yīng)力 皿沿孔邊和拉應(yīng)力皿沿對(duì)稱線的分布曲線（如圖 3），與理論解進(jìn)行比較。彈性力學(xué)給出的無限大板中孔邊應(yīng)力的理論解為同(Jee =(1 + 2 cos 2)(1)(2+ (2+ R +3引導(dǎo)學(xué)生嘗試不同的材料屬性，將線彈性關(guān) 系改為理想彈塑性關(guān)系，介紹非線性材料屬性的設(shè) 置方法，比較應(yīng)力分布的結(jié)果(圖4(a)，通過繪制等 效塑性應(yīng)變等高線圖確定塑性區(qū)的范圍。設(shè)置兩個(gè)分析步分別模擬加載和卸載:在第 一個(gè)分析步中添加一均布類型載荷，在第

16、二個(gè)分析 步中對(duì)該載荷進(jìn)行修改，將值改為0。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí) 多分析步的設(shè)置方法，分析確定殘余應(yīng)力的分布(圖 5(b)。1111R110.5 mm_ _ R1 mm3R2 mm-、R3 mm.R4 mmA, 、.r5 mm- 、-理論、. -蘭 4.1.1.1.1.5432100246810離孔邊距離/mm(a)孔邊環(huán)向應(yīng)力分布(b)對(duì)稱線上拉應(yīng)力分布圖3不同孔徑對(duì)應(yīng)力分布的影響00 = 100 MPa(a)平面應(yīng)力(b)平面應(yīng)變(c)在板中的位置ehmkhe圖4孔周圍的馮米塞斯應(yīng)力分布,R = 0.5 mm，o = 200 MPa(a)平面應(yīng)力(b)(a)平面應(yīng)力(b)平面應(yīng)變圖5卸載后的孔周圍

17、的殘余應(yīng)力ayy分布,R = 0.5 mm,70 = 200 MPa102030405060708090角度/（。）00123456789離孔邊距離/mm:o8640102030405060708090角度/（。）00123456789離孔邊距離/mm:o8640(a)采用線彈性材料模型時(shí)對(duì)稱線上拉應(yīng)力分布,(70 = 100 MPa(b)采用理想彈塑性材料模型時(shí)塑性區(qū)范圍,7o = 180 MPa將單元類型由ABAQUS默認(rèn)的平面應(yīng)力改 為平面應(yīng)變(在“Mesh”模塊的“Element Type”中 進(jìn)行設(shè)置)，并進(jìn)一步畫出馮-米塞斯應(yīng)力和等效塑 性應(yīng)變的等高線，探究平面應(yīng)力和平面應(yīng)變兩種條

18、 件下的應(yīng)力分布(圖4和圖5)和塑性區(qū)大小的不同。2.5啟發(fā)式課后習(xí)題設(shè)計(jì)在時(shí)間允許情況下，可以通過精心設(shè)計(jì)的習(xí)題 布置，進(jìn)一步延伸拓展基于該實(shí)例的啟發(fā)式教學(xué)活 動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以下問題進(jìn)行討論：探討加載方式的影響。比較力加載和位移加 載兩種加載方案。在力加載方案里對(duì)邊界施加均布 載荷，在位移加載方案里對(duì)邊界施加一等值位移，并 使約束反力的合力等于力加載方案。比較兩種方案 導(dǎo)致的變形和應(yīng)力分布(圖6)有何不同。543210-1(a)孔邊環(huán)向應(yīng)力分布432(a)孔邊環(huán)向應(yīng)力分布43210123456789mm直了 RH展mH氐(b)對(duì)稱線上拉應(yīng)力分布圖6加載方式對(duì)應(yīng)力分布的影響20 = 100 M

19、Pa探討孔形狀的影響。將圓形孔改為橢圓形 孔，固定橢圓孔長(zhǎng)軸a與圓孔直徑相等，不斷減小 短軸長(zhǎng)度b。先采用線彈性材料模型，比較不同形狀 孔對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分布曲線(圖7(a)，查看孔端應(yīng)力集 中系數(shù)隨孔幾何比例b/a減小而發(fā)生的改變，從而 幫助學(xué)生理解裂紋尖端應(yīng)力的奇異性。再采用理想 彈塑性材料模型，查看不同b/a下的塑性區(qū)大小(圖 7(b)。圖7孔形狀對(duì)應(yīng)力分布的影響探討遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力狀態(tài)的影響。將板邊界上的載 荷由單向拉伸改為剪切，相應(yīng)地，在建立1/4模型 時(shí)需將對(duì)稱軸上的對(duì)稱邊界條件改為反對(duì)稱邊界條 件,計(jì)算應(yīng)力分布，確定孔邊最大應(yīng)力位置。進(jìn)一步, 將板邊界上的載荷改為更一般的拉剪混合，改變拉 應(yīng)力

20、和剪應(yīng)力的比例，查看孔邊應(yīng)力分布隨之發(fā)生 的改變。2.6討論啟發(fā)式教學(xué)法不是某一種具體的教學(xué)模式，而 是一系列從學(xué)生角度出發(fā)而設(shè)計(jì)的適合學(xué)生心理、 符合人類認(rèn)知規(guī)律和思維方式的教學(xué)方法體系，是 一種授人以漁、鼓勵(lì)創(chuàng)新的教學(xué)理念。在以上實(shí)例的 課題教學(xué)和課后習(xí)題的組織中，啟發(fā)式理念體現(xiàn)在 以下幾個(gè)方面：(1)投石問路鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)沒有把握的操作和方法進(jìn)行主動(dòng)探 索。比如：對(duì)初始的孔徑10mm的模型，采用一階 CPS4R單元和默認(rèn)的網(wǎng)格密度即可得到較為準(zhǔn)確 的孔邊應(yīng)力分布(圖8(a)。當(dāng)把孔徑改為1 mm時(shí)， 先讓學(xué)生自己練習(xí)。大多數(shù)學(xué)生仍然采用默認(rèn)網(wǎng)格 劃分方案(圖8(b)，查看計(jì)算結(jié)果，最大應(yīng)力與

21、精 確解9301 MPa間的誤差達(dá)到49.5%，說明默認(rèn)的 網(wǎng)格劃分方案已不再可行。遂鼓勵(lì)學(xué)生思考解決辦 法，在學(xué)生通過摸索已有部分成效時(shí)，再傳授學(xué)生正 確的精細(xì)化網(wǎng)格劃分方法(圖8(c)，再次比較結(jié)果, 誤差降為11%。進(jìn)一步將單元換為二階單元CPS8R, 則誤差可以進(jìn)一步下降為0.7%。通過這個(gè)過程，讓 學(xué)生對(duì)網(wǎng)格劃分所應(yīng)遵循的原則有了深入理解。再 比如：施加均布載荷時(shí)，應(yīng)選擇“Pressure”類型還是 “Surface traction”類型，每個(gè)學(xué)生選擇不一樣。最終 實(shí)踐證明，對(duì)本例載荷垂直于表面情況，兩種類型的 選擇都能得到正確結(jié)果。(a)孔徑10 mm的默認(rèn)網(wǎng)格(b)孔徑1mm的

22、默認(rèn)網(wǎng)格(c)孔徑1 mm的精細(xì)化網(wǎng)格圖8不同網(wǎng)格劃分方案及所得到的ayy應(yīng)力分布o(jì)圖9o圖9含有陣列排列的圓孔的平板受拉示意圖欲擒故縱有時(shí)候教師故意出錯(cuò)，反而能起到加深學(xué)生印 象的作用。比如：在創(chuàng)建一個(gè)完整帶孔模型時(shí)，示意 圖中只有載荷邊界條件，很容易漏加剛體位移約束 條件，這樣提交計(jì)算時(shí)軟件會(huì)報(bào)錯(cuò)，當(dāng)把剛體位移 約束條件加上后，模型就能夠順利求解。再比如：施 加均布載荷時(shí)，不少學(xué)生選擇“Surface traction”類 型載荷，把大小、方向等參數(shù)都正確設(shè)好后，卻總是 得不到正確結(jié)果。仔細(xì)檢查發(fā)現(xiàn)原來有個(gè)易忽略的 “Traction”選項(xiàng)，需要把該選項(xiàng)從默認(rèn)的“Shear”改 成“General”后，載荷才能正確施加上去。通過這種 “曲折”的教學(xué)過程，學(xué)生對(duì)各種易錯(cuò)之處有了深刻 印象,避免再犯類似錯(cuò)誤。舉一反三引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)到的技能應(yīng)用在相似問題的解決 中。比如：講授完利用對(duì)稱性邊界將原模型