(10)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的運(yùn)用

1、經(jīng)典例題透析類型一、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用1將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路點(diǎn)撥：運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).總結(jié)升華：對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問(wèn)題的重要手段.舉一反三：【變式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x(4)思路點(diǎn)撥：將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求出X.解：(1)；(2)；(3)10 x=100=102，于是x=2；(4)由.類型二、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值2求值：解：.總結(jié)升華：對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：

2、它們是同底的；指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；其值為真數(shù).舉一反三：【變式1】求的值(a,b,cR+,且不等于1,N0)思路點(diǎn)撥：將冪指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為冪的冪，再進(jìn)行運(yùn)算.解：.類型三、積、商、冪的對(duì)數(shù)3.已知lg2=a,lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b原式二1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a舉一反三：【變式1】求值(2)lg2lg50+(l

3、g5)2(3)lg25+lg2lg50+(lg2)2解：(1)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【變式2】已知3a=5b=c,求c的值.解：由3a=c得：同理可得【變式3】設(shè)a、b、c為正數(shù)，且滿足a2+b2=c2.求證:證明：【變式4】已知：a2+b2=7ab,a0,b0.求證：.證明：a2+b2=7ab,/.a2+2ab+b2=9ab,即

4、(a+b)2=9ab,/.lg(a+b)2=lg(9ab),:a0，b0，/.21g(a+b)=lg9+lga+lgb/.2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即.類型四、換底公式的運(yùn)用(1)已知10gxy=a,用a表示；(2)已知1ogax=m,1ogbx=n,1ogcx=p,求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路點(diǎn)撥：將條件和結(jié)論中的底化為同底.方法一：am=x,bn=x,cp=x*,，方法二：.舉一反三：【變式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(2)；(3)法一：法二：.總結(jié)升華：運(yùn)用換底公式時(shí)，理論上換成以大于0不為1任意數(shù)為底均可，但具體到每一個(gè)題，一般以題中某個(gè)對(duì)數(shù)的

5、底為標(biāo)準(zhǔn)，或都換成以10為底的常用對(duì)數(shù)也可.類型五、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用5.求值1og891og2732(4)(1og2125+1og425+1og85)(1og1258+1og254+1og52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)舉一反三：【變式1】求值：解：另解：設(shè)=m(m0).，,；.lg2=lgm,2=m，即.【變式2】已知：log23=a,log37=b，求：log4256=?解：,，類型六、函數(shù)的定義域、值域求含有對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法

6、類似，但要注意對(duì)數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)(如定義域、值域及單調(diào)性)在解題中的重要作用.求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2).思路點(diǎn)撥：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知：x20,4-x0,解出不等式就可求出定義域.解：(1)因?yàn)閤20,即xW0,所以函數(shù)；(2)因?yàn)?-x0,即x0且all,k?R).解：(1)因?yàn)椋?，所以函?shù)的定義域?yàn)?1，)(，2).(2)因?yàn)閍x-k2x0,所以()xk.1當(dāng)kW0時(shí)，定義域?yàn)镽；2當(dāng)k0時(shí)，若a2,則函數(shù)定義域?yàn)?k,+8)；(ii)若0a2,且aWL則函數(shù)定義域?yàn)?-8,k)；(iii)若a=2,則當(dāng)0k0且aWl)思路點(diǎn)撥：由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)完成.(1)

7、解法1：畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象，橫坐標(biāo)為3.4的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為8.5的點(diǎn)的下方，所以，10g23.4log28.5；解法2：由函數(shù)y=1og2x在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且3.48.5,所以10g23.41og28.5；解法3：直接用計(jì)算器計(jì)算得：1og23.41.8,1og28.5弋3.1,所以1og23.41og28.5；與第(1)小題類似,1og0.3x在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且1.81og0.32.7；注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類討論a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小.解法1：當(dāng)a1時(shí)，y=1ogax在(0,+8)上是增函數(shù)，且5.15.9,所以，1oga5.11oga5.9當(dāng)0a1時(shí)，y

8、=1ogax在(0,+8)上是減函數(shù)，且5.11oga5.9解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù),再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小,令b1=1oga5.1,貝U，令b2=1oga5.9,貝U當(dāng)a1時(shí)，y=ax在R上是增函數(shù)，且5.15.9所以，b1b2,即當(dāng)0a1時(shí)，y=ax在R上是減函數(shù)，且5.1b2,即.舉一反三：【變式1】(2011天津理7)已知?jiǎng)t()ABCD解析：另,在同一坐標(biāo)系下作出三個(gè)函數(shù)圖像,由圖像可得又為單調(diào)遞增函數(shù)，故選C.證明函數(shù)上是增函數(shù).思路點(diǎn)撥：此題目的在于讓學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法,同時(shí)熟悉利用對(duì)函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對(duì)數(shù)大小的方法.證明：設(shè)，且x1x2則又y=1og2x在上是增函數(shù)

9、即f(x1)0且aW1),試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解：設(shè)t=logax(xR+,tR).當(dāng)a1時(shí)，t=logax為增函數(shù)，若t1t2,則0 x1x2,f(t1)-f(t2)=,0 x11,f(t1)f(t2),陽(yáng)在R上為增函數(shù)，當(dāng)0a1或0a1,f(x)在R上總是增函數(shù).求函數(shù)y=(-x2+2x+3)的值域和單調(diào)區(qū)間.解：設(shè)t=-x2+2x+3，貝Ut=-(x-1)2+4.:y=t為減函數(shù)，且00,即-1x0的解集為R,這是不等式中的常規(guī)問(wèn)題.f(x)的值域?yàn)镽與ax2+2x+1恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求f(x)取遍一切實(shí)數(shù)，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的

10、各種情況，如圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，使u能取遍一切正數(shù)的條件是.解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽,即：關(guān)于x的不等式ax2+2x+10的解集為R,當(dāng)a=0時(shí)，此不等式變?yōu)?x+10,其解集不是R；當(dāng)aW0時(shí)，有a1.；.a的取值范圍為a1.f(x)的值域?yàn)镽,即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù)a=0或0WaW1,.a的取值范圍為0WaW1.13.已知函數(shù)h(x)=2x(xR),它的反函數(shù)記作g(x),A、B、C三點(diǎn)在函數(shù)g(x)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a,a+4,a+8(a1),記AABC的面積為S.(1)求S=f(a)的表達(dá)式；求函數(shù)f(a)的值域；(3)判斷函數(shù)S=f(a)的單調(diào)性，并予以證明；(4)若S2,求a的取值范圍.解：(1)依題意有g(shù)(x)=log2x(x0).并且A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,10g2a),B(a+4,log2(a+4),C(a+8,10g2(a+8)(a1),如圖.AA,C中點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為log2a+log2(a+8).S=|BD|-42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-210g2(a+8).(2)把S=f(a)變形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+).由于a1時(shí)，a2+8a9,A11+,又函數(shù)y=log2x在(