知識(shí)講解離散型隨機(jī)變量均值與方差

1、失散型隨機(jī)量的均與方差【學(xué)目】1.理解取有限個(gè)的失散型隨機(jī)量的均或希望的看法，會(huì)依照失散型隨機(jī)量的分布列求出均或希望，并能解決一些；理解取有限個(gè)的失散型隨機(jī)量的方差、準(zhǔn)差的看法，會(huì)依照失散型隨機(jī)量的分布列求出方差或準(zhǔn)差，并能解決一些；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、失散型隨機(jī)量的希望定：一般地，若失散型隨機(jī)量的概率分布P稱Ex1p1x2p2xnpn的均或數(shù)學(xué)希望，稱希望要點(diǎn)：（1）均（希望）是隨機(jī)量的一個(gè)重要特色數(shù)，它反響或刻畫(huà)的是隨機(jī)量取的平均水平（2）一般地，在有限取失散型隨機(jī)量的概率分布中，令p1p2pn，有p1p21，E(x1x2xn)1pn，因此的數(shù)學(xué)希望又稱平均數(shù)、均。nn（3）隨機(jī)量的均與隨

2、機(jī)量自己擁有相同的位2性：E()EE；若ab(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)量，也是隨機(jī)量，有E(ab)aEb；E(ab)aEb的推程以下：的分布列P于是E(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pia(x1p1x2p2xipi)b(p1p2pi)aEbE(ab)aEb。要點(diǎn)二：失散型隨機(jī)量的方差與準(zhǔn)差一數(shù)據(jù)的方差的看法：已知一數(shù)據(jù)x1，x2，xn，它的平均x，那么各數(shù)據(jù)與x的差的平方的平均數(shù)S21(x1x)2(x2x)2(xnx)2叫做數(shù)據(jù)的方差。n失散型隨機(jī)量的方差：一般地，若失散型隨機(jī)量的概率分布P稱D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pi稱隨機(jī)量的方差，式中的E是隨機(jī)量的希望D的

3、算平方根D叫做隨機(jī)量的準(zhǔn)差，作要點(diǎn)：隨機(jī)量的方差的定與一數(shù)據(jù)的方差的定式是相同的；隨機(jī)量的方差、準(zhǔn)差也是隨機(jī)量的特色數(shù)，它都反響了隨機(jī)量取的定與波、集中與失散的程度；方差（準(zhǔn)差）越小，隨機(jī)量的取就越定（越湊近平均）準(zhǔn)差與隨機(jī)量自己有相同的位，因此在中用更廣泛。希望和方差的關(guān)系：方差的性：若ab(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)量，也是隨機(jī)量，DD(ab)a2D；要點(diǎn)三：常分布的希望與方差1、二點(diǎn)分布：若失散型隨機(jī)量遵從參數(shù)p的二點(diǎn)分布，希望Ep方差Dp(1p).明：P(0)q,P(1)p,0p1,pq1E0q1pp2、二分布：若失散型隨機(jī)量遵從參數(shù)n,p的二分布，即B(n，P),希望EnP方差Dnp(1

4、-p)希望公式明：P(k)Cnkpk(1p)nkCnkpkqnk，E0Cn0p0qn1Cn1p1qn12Cn2p2qn2.kCnkpkqnk.nCnnpnq0，又kCnkkn!(kn(n1)!1)!nCnk11，k!(nk)!1)!(n1)(kEnp(Cn01p0qn1Cn11p1qn2Cnk11pk1q(n1)(k1)Cnn11pn1q0)np(pq)n1np3、幾何分布：獨(dú)立重復(fù)中，若事件A在每一次中生的概率都p，事件A第一次生所做的次數(shù)是隨機(jī)量，且P(k)(1p)k1p，k0,1,2,3,L,n,L，稱失散型隨機(jī)量遵從幾何分布，作：P(k)g(k，P)。若失散型隨機(jī)量遵從幾何分布，且P(

5、k)g(k，P)，希望E1.p1-p方差Dp2要點(diǎn)：隨機(jī)量可否遵從二分布也許幾何分布，要從取和相概率兩個(gè)角度去。4、超幾何分布：若失散型隨機(jī)量遵從參數(shù)N,M,n的超幾何分布，nM希望E()N要點(diǎn)四：失散型隨機(jī)量的希望與方差的求法及用1、求失散型隨機(jī)量的希望、方差、準(zhǔn)差的基本步：理解的意，寫(xiě)出可能取的全部；求取各個(gè)的概率，寫(xiě)出分布列；P依照分布列，由希望、方差的定求出E、D、：.注意：常分布列的希望和方差，不用寫(xiě)出分布列，直接用公式算即可失散型隨機(jī)量的希望與方差的意及用失散型隨機(jī)量的希望，反響了隨機(jī)量取的平均水平；隨機(jī)量的方差與準(zhǔn)差都反響了隨機(jī)量取的定與波、集中與失散的程度。方差越大數(shù)據(jù)波越大。

6、于兩個(gè)隨機(jī)量1和2，當(dāng)需要認(rèn)識(shí)他的平均水平，可比E1和E2的大小。E1和E2相等或很湊近，當(dāng)需要一步認(rèn)識(shí)他的定性也許集中程度，比D1和D2，方差大，表示比失散，反之，表示比集中品種的劣、器的利害、的正確與否、武器的性能等很多指都與兩個(gè)特色數(shù)（數(shù)學(xué)希望、方差）有關(guān)【典型例】型一、失散型隨機(jī)量的希望例1某射手射所得數(shù)的分布列以下：78910Pxy已知的希望E，y的_【思路點(diǎn)】分布列中含有字母x、y,先依照分布列的性，求出x、y的，再利用希望的定求解；【解析】xy1，即xy.又7x10y，化得7x10y.由立解得x，y.【升】求希望的關(guān)是求出分布列，只要隨機(jī)量的分布列求出，就可以套用希望的公式求解，

7、一反三：【式1】某一失散型隨機(jī)量的概率分布以下，且E（）=，ab（）0123PabAB0CD【答案】B由分布列的性知：+a+b+=1，a+b=又E（）=0+1a+2b+3=，即a+2b=解得a=，b=，ab=0【變式2】隨機(jī)變量的分布列為024P，則E(54)等于()A13B11CD【答案】A由已知得：E()024，E(54)5E()45413.【變式3】節(jié)日時(shí)期，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束元，銷售價(jià)每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束元價(jià)格處理依照前五年銷售情況展望，節(jié)日時(shí)期這種鮮花的需求量遵從以下表所示的分布，若進(jìn)這種鮮花500束，則希望利潤(rùn)是200300400500P元C754元B690元D72

8、0元【答案】A節(jié)日時(shí)期預(yù)售的量：E2003004005004010512075340(束)，則希望的利潤(rùn)：5(500)500450，E450340450706.希望利潤(rùn)為706元【變式4】設(shè)失散型隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，4，且P(k)akb（k1,2,3,4），E3，則ab；【答案】0.1；由分布列的概率和為1，有(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，又E3，即1(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，解得a0.1，b0，故ab0.1。例2.某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為，且各

9、題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響1）求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分X的概率分布和數(shù)學(xué)希望；2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即X0）的概率【思路點(diǎn)撥】本題顯然為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的問(wèn)題，因此求各個(gè)情況的概率直接用公式即可。（1）求X的可能取值，即求得分，答對(duì)0道題得300分，答對(duì)1道題得100200=100分，答對(duì)2道題得2100100=100分，答對(duì)3道題得300分；（2）總分不為負(fù)分包括100分和300分兩種情況【解析】1）X的可能取值為300，100，100，300P（X=300）=。P（X=100）=C31=，P（X=100）=C32=，（X=300）=因此X的概率分布為X30010010030

10、0PE（X）=(300)+(100)+100+300=180（2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為（X0）=P（X=100）+P（X=300）=+=【總結(jié)升華】求失散型隨機(jī)變量均值的要點(diǎn)在于列出概率分布表貫穿交融：【變式1】籃球運(yùn)動(dòng)員在競(jìng)賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為，求他罰球一次得分的希望【答案】由于P(1)0.7,P(0)0.3，因此E10.700.30.7【變式2】一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，若是每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零件，直到獲取正品為止求在獲取正品從前已取出次品數(shù)的希望【答案】設(shè)獲取正品從前已取出的次品數(shù)為，顯然全

11、部可能取的值為0，1，2，3當(dāng)0時(shí)，即第一次獲取正品，試驗(yàn)停止，則當(dāng)1時(shí)，即第一次取出次品，第二次獲取正品，試驗(yàn)停止，則當(dāng)2時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次獲取正品，試驗(yàn)停止，則當(dāng)3時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次獲取正品，試驗(yàn)停止，則分布列為0123pE03192931344422022010【變式3】某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛行程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛行程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì))從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某旅店的行程為15km某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場(chǎng)與此旅店之間接送旅客，由于行車路線的不相同以及途中停車時(shí)間要變換成行車行

12、程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm行程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車行程是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)他所收租車費(fèi)為()求租車費(fèi)關(guān)于行車行程的關(guān)系式；()若隨機(jī)變量的分布列為15161718P求所收租車費(fèi)的數(shù)學(xué)希望()已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)質(zhì)行駛了15km，問(wèn)出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘?【答案】()依題意得=2(-4)十10，即=2+2；()E150.1160.5170.3180.116.4=2+2E2E+2=（元）故所收租車費(fèi)的數(shù)學(xué)希望為元()由38=2+2，得=18，5(18-15)=15因此出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多例3若某批產(chǎn)品共100件，其中有15分鐘20件二等

13、品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差?！舅悸伏c(diǎn)撥】3次有放回的抽取就是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，取出二等品的件數(shù)這一隨機(jī)變量遵從二項(xiàng)分布?！窘馕觥坑深}知一次取出二等品的概率為0.2，有放回地抽取3件，可以看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即取出二等品的件數(shù)B(3,0.2)，因此Enp30.20.6，Dnp(1p)30.2(10.2)0.48.【總結(jié)升華】在確定隨機(jī)變量遵從特別分布今后，可直接運(yùn)用公式求其均值貫穿交融：【變式1】英語(yǔ)考試有100道選擇題，每個(gè)題有4個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得1分，否則得0分，學(xué)生甲會(huì)其中的20道，學(xué)生乙會(huì)其中的80道，不會(huì)的均隨機(jī)選擇，求甲、乙在此次測(cè)試中得分的數(shù)學(xué)希望【答案

14、】設(shè)甲、乙不會(huì)的題的得分分別為隨機(jī)變量X和Y，由題意知XB（80，），YB（20，），E（X）=80=20，E（Y）=20=5故甲、乙的數(shù)學(xué)希望成績(jī)分別為40分和85分【變式2】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為1，乙每次擊中目標(biāo)的概率為2，記23甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y，（1）求X的概率分布；（2）求X和Y的數(shù)學(xué)希望【答案】甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均遵從二項(xiàng)分布3（1）P(X0)C3011，2833，P(X1)11C3283P(X2)C3213，283P(X3)C3311。28因此X的概率分布以下表：X0123P（2）由（1）知E(X)011323311.5，88

15、88或由題意X:B3,1，Y:B3,2。23E(X)311.5，E(Y)322。23【變式3】一次單元測(cè)試由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為，學(xué)生乙則在測(cè)試中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，修業(yè)生甲和乙在此次英語(yǔ)單元測(cè)試中的成績(jī)的希望【答案】設(shè)學(xué)生甲和乙在此次英語(yǔ)測(cè)試中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是,，則:B(20,0.9),B(20,0.25),由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在此次英語(yǔ)測(cè)試中的成績(jī)分別是5和5因此，他們?cè)跍y(cè)試中的成績(jī)的希望分別是：型二、失散型隨機(jī)量的方差

16、例4.X是一個(gè)失散型隨機(jī)量，其概率分布以下表，求E（X）和D（X）X101P12qq2【思路點(diǎn)】由概率分布的性求出q的后，再算E（X），D（X）【解析】由概率分布的性，得：1(12q)q2122012q1，得q1。0q212E(X)110(21)13212，22D(X)(22)21(12)2(21)(2)23221。22【升】求隨機(jī)量的方差，先明確隨機(jī)量的概率分布。爾后利用均與方差的定列式算一反三：【式1】隨機(jī)量X的概率分布X12nP求D(X）?！敬鸢浮勘究挤讲畹那蠓捎煞植剂邢惹蟪鯴的希望E（X），再利用方差的定求之也可直接利用公式D（X）22=E（X）E（X）來(lái)解解法一：n(n1)1n1，

17、2n2222D1n11n11Ln1122nnn21(1222Ln2)(n1)(12Ln)n(n1)2n21。n412解法二：由解法一可求得E(X)n12。又E(X2)121221Ln21nnn1(1222Ln2)(n1)(2n1)，n6D22(n1)(2n1)(n1)2n21V(X)E(X)E(X)64。12【變式2】已知隨機(jī)變量的分布列以下表：101P1）求E（），D（），；2）設(shè)=2+3，求E（），D（）【答案】（1）E()x1p1x2p2x3p31111(1)01；2363D()x1E()2p1x2E()2p2x3E()2p35，D()5。93（2）E()2E()74D()203，D()

18、。39例5.設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為p=1）求一次投籃時(shí)，投中次數(shù)X的數(shù)學(xué)希望和方差；2）求重復(fù)5次投籃時(shí)，投中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)希望和方差【思路點(diǎn)撥】（1）投籃一次可能中，也可能不中，投中次數(shù)X遵從兩點(diǎn)分布；（2）重復(fù)投籃5次的投中次數(shù)Y遵從二項(xiàng)分布【解析】（1）X遵從兩點(diǎn)分布，其分布列以下：X01P因此E（X）=p=，D（X）=p（1p）=2）由題設(shè)，YB（5，）因此E（Y）=np=5=3，（Y）=np（1p）=5=【總結(jié)升華】關(guān)于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布，可直接運(yùn)用公式計(jì)算貫穿交融：【變式1】籃球運(yùn)動(dòng)員在競(jìng)賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為，求他罰球三次得分的希望和方差。【答

19、案】罰球三次可以看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即罰球三次得分B(3,0.7)，因此Enp30.72.1Dnp(1p)30.7(10.7)0.63.【變式2】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為,求X的分布列,希望和方差.X【答案】種類三、失散型隨機(jī)變量的希望和方差的應(yīng)用例6.甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩個(gè)隨機(jī)變量，分別記為X1和X2，它們的概率分布分別為X1012X2012Papb1）求a，b的值；2）計(jì)算X1和X2的數(shù)學(xué)希望和方差，并以此解析甲、乙兩射手的技術(shù)情況【思路點(diǎn)撥】本題觀察分布列的性質(zhì)、希望與方差的求法及對(duì)希望與方差的理解（1）可直接由分布列的性質(zhì)列式求解（

20、2）利用定義求希望與方差【解析】（1）由分布列的性質(zhì)知，+a+=1，+b=1，即a=，b=。2）E（X1）=0+1+2=，E（X2）=0+1+2=，D（X1）=(02+(12+(22=，D（X2）=(02+(12+(22=。由上述計(jì)算的結(jié)果可知，乙的平均水平較甲好一點(diǎn)，但乙的牢固性不如甲【總結(jié)升華】失散型隨機(jī)變量的希望與方差分別反響了隨機(jī)變量的取值的平均水平和顛簸大?。ɑ蚴⒊潭龋┴灤┙蝗冢骸咀兪?】A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率以下表所示：?jiǎn)柲囊慌_(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好.A機(jī)床B機(jī)床次品數(shù)10123次品數(shù)10123概率P概率P【答案】E1=0+1+2+3=,E

21、2=0+1+2+3=.它們的希望相同，再比較它們的方差.D1=（）2+（）2+（）2+（）2=,D2=（）2+（）2+（）2+（）2=.D1D2故A機(jī)床加工較牢固、質(zhì)量較好.【變式2】有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲取以下信息：甲單位不相同職位月薪水X1/元1200140016001800獲取相應(yīng)職位的概率P1乙單位不相同職位月薪水X2/元1000140018002200獲取相應(yīng)職位的概率P2依照薪水待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？【答案】依照月薪水的分布列，利用計(jì)算器可算得E(X)12001400160018001400，1121400)2(16001400)22；D(X)(12001400)(1400(18001400)40000E(X2)10001400180022001400，D(X2)(10001400)2(14001400)2(18001400)2(22001400)2160000.由于E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，因此兩家單位的薪水均值相等，但甲單位不相同職位的薪水相對(duì)集中，乙單位不相同職位的薪水相對(duì)分別這樣，若是你希望不相同職位的薪水差距小一些