不等式的證明策略

1、2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十八難點(diǎn)18 不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.難點(diǎn)磁場(chǎng)場(chǎng)()已知a0，b0，且a+b=1.求證：(aa+)(b+).案例探究究例1證證明不等等式(nN*)命題意圖：本題是是一道考考查數(shù)學(xué)學(xué)歸納法法、不等等式證明明的綜合合性題目目，考查查學(xué)生觀觀察能力力、構(gòu)造造能力以以及邏輯輯分析能能力，屬屬級(jí)級(jí)題目.知識(shí)依托：本題是是一個(gè)與與自然數(shù)數(shù)n有關(guān)的的命題，首首先想到到應(yīng)用數(shù)數(shù)

2、學(xué)歸納納法，另另外還涉涉及不等等式證明明中的放放縮法、構(gòu)構(gòu)造法等等.錯(cuò)解分析：此題易易出現(xiàn)下下列放縮縮錯(cuò)誤：這樣只注重重形式的的統(tǒng)一，而而忽略大大小關(guān)系系的錯(cuò)誤誤也是經(jīng)經(jīng)常發(fā)生生的.技巧與方法法：本題題證法一一采用數(shù)數(shù)學(xué)歸納納法從nn=k到n=k+1的過過渡采用用了放縮縮法；證證法二先先放縮，后后裂項(xiàng)，有有的放矢矢，直達(dá)達(dá)目標(biāo)；而證法法三運(yùn)用用函數(shù)思思想，借借助單調(diào)調(diào)性，獨(dú)獨(dú)具匠心心，發(fā)人人深省.證法一：(1)當(dāng)當(dāng)n等于1時(shí)，不不等式左左端等于于1，右端端等于22，所以以不等式式成立；(2)假設(shè)設(shè)n=k(k1)時(shí)，不不等式成成立，即即1+2，當(dāng)n=kk+1時(shí)，不不等式成成立.綜合(1)、(2)

3、得：當(dāng)當(dāng)nN*時(shí)，都都有1+2.另從k到kk+1時(shí)的的證明還還有下列列證法：證法二：對(duì)對(duì)任意kkN*，都有有：證法三：設(shè)設(shè)f(n)= 那么對(duì)任意意kN* 都有：f(k+1)f(k)因此，對(duì)任任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=10，例2求求使a(x0，y0)恒成成立的aa的最小小值.命題意圖：本題考考查不等等式證明明、求最最值函數(shù)數(shù)思想、以以及學(xué)生生邏輯分分析能力力，屬于于級(jí)級(jí)題目.知識(shí)依托：該題實(shí)實(shí)質(zhì)是給給定條件件求最值值的題目目，所求求a的最值值蘊(yùn)含于于恒成立立的不等等式中，因因此需利利用不等等式的有有關(guān)性質(zhì)質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出出來，等等價(jià)轉(zhuǎn)化化的思想想是解決決題目的的突破口口，然后后再利

4、用用函數(shù)思思想和重重要不等等式等求求得最值值.錯(cuò)解分析：本題解解法三利利用三角角換元后后確定aa的取值值范圍，此此時(shí)我們們習(xí)慣是是將x、y與coss、sinn來對(duì)應(yīng)應(yīng)進(jìn)行換換元，即即令=ccos，=siin(0)，這樣樣也得aasinn+coos，但是是這種換換元是錯(cuò)錯(cuò)誤的.其原因因是：(1)縮縮小了xx、y的范圍圍；(22)這樣樣換元相相當(dāng)于本本題又增增加了“x、y=1”這樣一一個(gè)條件件，顯然然這是不不對(duì)的.技巧與方法法：除了了解法一一經(jīng)常用用的重要要不等式式外，解解法二的的方法也也很典型型，即若若參數(shù)aa滿足不不等關(guān)系系，af(x)，則aminn=f(x)maxx；若 af(x)，則ama

5、xx=f(x)minn，利用用這一基基本事實(shí)實(shí)，可以以較輕松松地解決決這一類類不等式式中所含含參數(shù)的的值域問問題.還有三三角換元元法求最最值用的的恰當(dāng)好好處，可可以把原原問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化.解法一：由由于a的值為為正數(shù)，將將已知不不等式兩兩邊平方方，得：x+y+22a2(x+y)，即2(a21)(x+y)，x，y0，x+y2，當(dāng)且僅當(dāng)xx=y時(shí)，中有等等號(hào)成立立.比較、得a的最小小值滿足足a21=11，a2=22，a= (因a0)，a的最小小值是.解法二：設(shè)設(shè).x0，y0，x+y2 (當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)，1，的的最大值值是1.從而可知，u的最大值為，又由已知，得得au，a的最小小值為.解法三：y0

6、，原不等式式可化為為+1a，設(shè)=tann，(0，).tan+1a；即taan+1asecasiin+coos=sinn(+)，又sinn(+)的最大大值為11(此時(shí)時(shí)=).由式可知知a的最小小值為.錦囊妙計(jì)計(jì)1.不等式式證明常常用的方方法有：比較法法、綜合合法和分分析法，它它們是證證明不等等式的最最基本的的方法.(1)比較較法證不不等式有有作差(商)、變形形、判斷斷三個(gè)步步驟，變變形的主主要方向向是因式式分解、配配方，判判斷過程程必須詳詳細(xì)敘述述；如果果作差以以后的式式子可以以整理為為關(guān)于某某一個(gè)變變量的二二次式，則則考慮用用判別式式法證.(2)綜合合法是由由因?qū)Ч?，而分分析法是是?zhí)果索索因

7、，兩兩法相互互轉(zhuǎn)換，互互相滲透透，互為為前提，充充分運(yùn)用用這一辯辯證關(guān)系系，可以以增加解解題思路路，開擴(kuò)擴(kuò)視野.2.不等式式證明還還有一些些常用的的方法：換元法法、放縮縮法、反反證法、函函數(shù)單調(diào)調(diào)性法、判判別式法法、數(shù)形形結(jié)合法法等.換元法法主要有有三角代代換，均均值代換換兩種，在在應(yīng)用換換元法時(shí)時(shí)，要注注意代換換的等價(jià)價(jià)性.放縮性性是不等等式證明明中最重重要的變變形方法法之一，放放縮要有有的放矢矢，目標(biāo)標(biāo)可以從從要證的的結(jié)論中中考查.有些不不等式，從從正面證證如果不不易說清清楚，可可以考慮慮反證法法.凡是含含有“至少”“惟一一”或含有有其他否否定詞的的命題，適適宜用反反證法.證明不等式式時(shí)，

8、要要依據(jù)題題設(shè)、題題目的特特點(diǎn)和內(nèi)內(nèi)在聯(lián)系系，選擇擇適當(dāng)?shù)牡淖C明方方法，要要熟悉各各種證法法中的推推理思維維，并掌掌握相應(yīng)應(yīng)的步驟驟、技巧巧和語言言特點(diǎn).殲滅難點(diǎn)點(diǎn)訓(xùn)練一、填空題題1.()已知x、y是正變變數(shù)，aa、b是正常常數(shù)，且且=1，x+y的最小小值為_. 2.()設(shè)正數(shù)數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|ad|bc|，則add與bc的大大小關(guān)系系是_.3.()若mn，pq，且(pm)(pn)0，(qm)(qn)0，則m、n、p、q的大小小順序是是_.二、解答題題4.()已知a，b，c為正實(shí)實(shí)數(shù)，aa+b+c=1.求證：(11)a2+b2+c2 (2)65.()已知x，y，zR，且x

9、+y+z=1，x2+y2+z2=，證明明：x，y，z0，6.()證明下下列不等等式：(1)若xx，y，zR，a，b，cR+，則z22(xyy+yz+zx)(2)若xx，y，zR+，且x+y+z=xyzz，則2()7.()已知i，m、n是正整整數(shù)，且且1imn.(1)證明明：niAmiA；(2)證明明：(11+m)n(1+n)m8.()若a0，b0，a3+b3=2，求求證：aa+b2，ab1.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)證法一：(分析綜綜合法）欲證原式，即即證4(ab)2+4(a2+b2)25abb+40，即證證4(abb)233(ab)+80，即證證ab或ab8.a0，b0，a+b=1，ab8不可能能成立

10、1=a+b2，ab，從而而得證.證法二：(均值代代換法)設(shè)a=+tt1，b=+t2.a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|顯然當(dāng)且僅僅當(dāng)t=0，即即a=b=時(shí)，等等號(hào)成立立.證法三：(比較法法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab證法四：(綜合法法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab.證法五：(三角代代換法） a00，b0，a+b=1，故故令a=siin2，b=coos2，(0，)2殲滅難點(diǎn)訓(xùn)訓(xùn)練一、1.解解析：令令=coos2，=siin2，則x=asecc2，y=bcsc2，x+y=asecc2+bcscc2=a+b+atann2+bcot2a+b+2.答案：a

11、+b+22.解析：由0|ad|bc|(ad)2(bc)2(a+b)24ad(b+c)24bca+d=b+c，4ad4bc，故故adbc.答案：addbc3.解析：把p、q看成變變量，則則mpn，mqn.答案：mpqn二、4.(1)證證法一：a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)=3a22+3b2+3c2(a+b+c)2=3a22+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2證法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2abb+2acc+2bcca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a22+b2+c2)(a+b+c

12、)2=1 a2+b2+c2證法三：a2+b2+c2a2+bb2+c2證法四：設(shè)設(shè)a=+，b=+，c=+.a+b+c=1，+=0a2+bb2+c2=(+)2+(+)2+(+)2=+ (+)+2+2+2=+2+2+2a2+bb2+c2原不等式式成立.證法二：6原不等式式成立.5.證法一一：由xx+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(11xy)2=，整理理成關(guān)于于y的一元元二次方方程得：2y222(1x)y+2x22x+=0，yR，故04(1x)242(22x22x+)0，得0 x，x0，同理可得yy，z0，證法二：設(shè)設(shè)x=+x，y=+y，z=+z，則x+y+z=0，于是=(+x)2+(

13、+y)2+(+z)2=+x22+y2+z2+ (x+y+z)=+x22+y2+z2+x2+=+x2故x2，x，x0，同同理y，z0，證法三：設(shè)設(shè)x、y、z三數(shù)中中若有負(fù)負(fù)數(shù)，不不妨設(shè)xx0，則x20，=x2+y2+z2x2+，矛盾盾.x、y、zz三數(shù)中中若有最最大者大大于，不不妨設(shè)xx，則=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+=x(x)+；矛盾盾.故x、y、z0，上式顯然然成立，原不等式得證.7.證明：(1)對(duì)于1im，且A =m(mi+1)，由于mnn，對(duì)于于整數(shù)kk=1，2，i1，有，所以(2)由二二項(xiàng)式定定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+

14、Cnm，由(1)知知miAniA (11im，而C=miCiinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cmm+Cm2+Cmn1+CCn+C2mn2+Cnm，即(1+mm)n(1+n)m成立.8.證法一一：因aa0，b0，a3+b3=2，所所以(a+b)323=a3+b3+3a2b+3abb28=33a2b+3abb26=3abb(a+b)2=3ab(a+b)(a3+b3)=3(a+b)(ab)20.即(a+bb)323，又a+b0，所以a+b2，因?yàn)?a+b2，所以ab1.證法二：設(shè)設(shè)a、b為方程程x2mx+n=0的兩兩根，則則，因?yàn)閍00，b0，所以以m0，n0，且=m24n0 因?yàn)?=aa3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab=m(m23n)所以n=將代入得m24()0，即0，所所以mm3+80，即m2，所以以a+b2，由2m 得4m2，又m24n，所以以44n，即n1，所所以abb1.證法三：因因a0，b0，a3+b3=2，所所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)(a+b)(22abab)=ab(a+b)于是有63ab(a+b)，從而83ab(a+b)+22=3aa2b+3abb2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b2，(下略）證法四：因因