版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章 概率論的基本概念. 22樣本空間、隨機(jī)事件 . 24等可能概型(古典概型). 45條件概率 . 46獨(dú)立性 . 5第二章 隨機(jī)變量及其分布. 51隨機(jī)變量. 52離散性隨機(jī)變量及其分布律. 53隨機(jī)變量的分布函數(shù). 74連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度. 75隨機(jī)變量的函數(shù)的分布. 8第三章 多維隨機(jī)變量. 81二維隨機(jī)變量. 82邊緣分布. 93條件分布. 104相互獨(dú)立的隨機(jī)變量. 105兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布. 11第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征. 121數(shù)學(xué)期望 . 122方差. 13第 1 頁3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù). 13第五章 大數(shù)定律與中心極限定理. 161大數(shù)定律.
2、 162中心極限定理. 16第一章 概率論的基本概念2樣本空間、隨機(jī)事件1事件間的關(guān)系 則稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生A B必然導(dǎo)致事件B發(fā)生稱為事件A及事件B的和ABxx事件,指當(dāng)且僅當(dāng)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),事件 發(fā)生AB稱為事件A及事件B的積ABxx事件,指當(dāng)A,B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件 發(fā)生ABABx且x稱為事件A及事件B的差事件,指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí),事件 發(fā)生AB,則稱事件A及B是互不相容的,或AB A及事件B相容的,則稱事件A及事件B互為ABS且AB 逆事件,又稱事件A及事件B互為對(duì)立事件2運(yùn)算規(guī)則 交換律AB B A AB B A第 2 頁結(jié)合律(AB)C A(BC)
3、(AB)C (BC)分配律A(BC (AB)(AC)徳摩根律A B A B A B A B3頻率及概率定義 在相同的條件下,進(jìn)行了n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù) 稱為事件A 稱為事件nn nAAA發(fā)生的頻率概率:設(shè)E是它的樣本空間,對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù),記為1概率 滿足下列條件:P()(1)非負(fù)性:對(duì)于每一個(gè)事件A0 P() 1(2)規(guī)范性:對(duì)于必然事件SP 1(3)可列可加性:設(shè)是兩兩互不相容的事件,有AA ,A ,12n( 可以取 )nnP( A ) P(A )nkkk1k12概率的一些重要性質(zhì):(i)P ) 0A) P(A )nnA ,A ,AP(12nkkk1k1
4、( 可以取 )n(iii)設(shè) A,B是兩個(gè)事件若,則,A BP(B ) P(B) P()P(B) P(A)(iv)對(duì)于任意事件A,P(A) 1第 3 頁(v)(逆事件的概率)P(A) 1 P(A)(vi)對(duì)于任意事件A,B有4等可能概型(古典概型)P(AB) P(A) P(B) P(AB)件發(fā)生的可能性相同若事件 A 包含 k 個(gè)基本事件,即,里Ae e e ii2i1ki ,i ,i 2n中某k個(gè)不同的數(shù),則有12,k k AkP() Pe n Si jj15條件概率定義:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且,稱P 為(AB)P(A) 0P(B|))P()事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率條件概率符合
5、概率定義中的三個(gè)條件1 非負(fù)性:對(duì)于某一事件B,有。P(B| ) 02 規(guī)范性:對(duì)于必然事件S,。P(S | ) 13 可列可加性:設(shè)是兩兩互不相容的事件,則有B ,B ,12P( B A ) P(B A )iii1i1乘法定理 設(shè)式,則有稱為乘法公P(A) 0P(AB) P(B)P(A| B))第 4 頁全概率公式:貝葉斯公式:nP() P(B )P(A| B ))iii1P(B )P(A|B )P(B | ) kkkn ( ) ( | )P B P A Biii16獨(dú)立性定義 設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式P(AB)P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立定理一 設(shè)A,B是兩事件,且,若相
6、互獨(dú)立,則P() 0 P(B| ) P B定理二 若事件A和BA及BA與BA與B第二章 隨機(jī)變量及其分布1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為是定義在樣本Se. X X(e)空間S上的實(shí)值單值函數(shù),稱XX(e)為隨機(jī)變量2離散性隨機(jī)變量及其分布律或可列無限多個(gè),這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量滿足如下兩個(gè)條件(1)第 5 頁 =1P(X x ) pp 0kPkkkk1,則稱X服從以p為參數(shù)的 分布或兩點(diǎn)分布。(2)伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布P(A) p 0 p 1)P(A)1-pn =1Pkn-kP kk kn注意到 是二項(xiàng)式(pqn的展開式中出現(xiàn) 的那一項(xiàng),我pkkn-k k 其中 是常數(shù),則稱X服從
7、 0k-第 6 頁3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量,x 是任意實(shí)數(shù),函數(shù)F(x) PX x, - x 稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù),具有以下性質(zhì)(1)是一個(gè)不減函數(shù)( 3 )F(x) P(X x)F(x)( 2 )0 F(x) F() 0,F() 1F(x0) F(x),即F(x)4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量:如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)在非負(fù)可積函數(shù) ,使對(duì)于任意函數(shù)x有f(x)則稱F(x) xf(t)dt,-x 為連續(xù)性隨機(jī)變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度1 概率密度 f(x)f(x)dx1;f(x)(2) - 在點(diǎn)x處連續(xù),則(3)P(x
8、X x ) f(x)(x)xf2121有F (x) ( ),f x2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布1若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有概率密度x b,a ,則成Xf(x) b-a 0 ,其他在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布.記為(2)指數(shù)分布X U(a,b)第 7 頁1若連續(xù)性隨機(jī)變量 X 的概率密度為 e ,. 0 其中-xxf (x) 0,其他為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。 0(3)正態(tài)分布若 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 X 的 概 率 密 度 為1(x2f (x) e - x ,22的正態(tài)分布或高斯分其中,( 0)X,布,記為X N(,)特別,當(dāng)時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 , 1
9、5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度又設(shè)函數(shù)f (x- x ,g(x)x處處可導(dǎo)且恒有,則 Y= 是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率( )g X,( ) 0g x 密度為f hX(y) h (y), y f (y) 0,Y第三章 多維隨機(jī)變量1二維隨機(jī)變量定義 設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是和Se. X X(e)YY(e)是定義在S上的隨機(jī)變量,稱XX(e)為隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X,Y)叫做二維隨機(jī)變量設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,y,二元第 8 頁函數(shù)稱為二維隨機(jī)變 記成 Y 量(X,Y)的分布函數(shù)可列無限多對(duì),則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量。我們
10、稱為二維離散型隨機(jī)變P(X xY y ) p ij2ijij量(X,Y)的分布律。對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù),如果存F(x,)在非負(fù)可積函數(shù) f(x,y),使對(duì)于任意 x,y 有 x(u,)dudv,(x,y- -數(shù)f(x,y)稱為隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度,或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。2邊緣分布.F(x,)而X和Y都是隨機(jī)變量,各自也有分布函數(shù),將他們分別記為,依次稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的(x),()XY邊緣分布函數(shù)。 p x i 2 p PY y j2p ipijijij1i1分別稱為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。ppij分別f (x) f(x
11、,dyf (y) f(x,dxXY稱, 為X,Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。f (y)f (x)XY第 9 頁3條件分布定義 j,若Y y jX x ,Y y p則稱,i為在Y yX x Y y ijijY y pjijjj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律,同樣X x ,Y y p為在條件下隨機(jī)Y y X X , j X xijijX x pijiii變量X的條件分布律。f(,y)Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為 ,若對(duì)于固定的y, 0,f (y)f (y)YY(x,y)則稱f為在Y=y的條件下X的條件概率密度,記為f (y)Y=f(x,y)f (x y)X Yf (y)Y4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義 設(shè)
12、 及 , 分別是二維離散型隨機(jī)變量F(x,) F ( ) F ( )xyXY(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對(duì)于所有x,y有X ,YXPYyX和Y是相互獨(dú)立的。x, F (x XY和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0第 10 頁5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1,Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,它具有概率密度f(,y).則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量,其概率密度為或f(z)f(z y,f (z)XYf(,zXY又若X和Y相互獨(dú)立,設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為則和f (x f (y)(z)f (z fXYXYXY這兩個(gè)公式稱為的卷積公式f (z) f (f (zx)f, f
13、XXYXYY有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布Y2,Z 的分布、Z XY的分布X設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,它具有概率密度f(,y),Y則Z Z XYX仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為1z又若X和Y相互獨(dú)立,設(shè)f (z) x f(,xz) f (z) ( , )f x dxxxY XXY(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為則可化為f (x f (y)XY1zf (z) XY( ) ( )f x ff (z) f (x)f (xzdxxXxY XXYY3M XN X,Y設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為由于 Y不大于z等價(jià)于X和Y都不大于zF (x
14、),F (y)MXY第 11 頁故有PMzPXz,Yz又由于X和Y相互獨(dú)立,得到M Y的分布函數(shù)為F (z) F (z)F (z)maxXYNminX,Y的分布函數(shù)為F z F z F (z)( ) 1 1( ) 1XY第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X x pkk若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)x pkx pkkkk1k1學(xué)期望,記為 ,即E(X)E(X) x pkki設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x)xf(x)dx絕對(duì)收斂,則稱積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記xf(x)dx為 ,即E(X)xf(x)dxE(X)定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X
15、的函數(shù)Y= (g是連續(xù)函數(shù))g(X)(i)如果 X 是離散型隨機(jī)變量,它的分布律為,X x pkkk=1,2,若絕對(duì)收斂則有E(Y)E(g(X)( )g x pg(x )pkkkkk1k1(ii)如果 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量,它的分概率密度為 ,若f(x)絕對(duì)收斂則有( ) ( )g x f x dxE(Y) E(g(X) ( ) ( )g x f x dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù),則有E(C) C2設(shè)X是隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有ECX) CE(X)第 12 頁3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有;E(X Y) E(X) EY)4設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有2方差E(XY) E(X)E
16、Y)定義 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量,若 存在,則稱E X E(X) 2 為X的方差,記為D(x)即D(x)= ,E X E(X) 2E X E(X) 2在應(yīng)用上還引入量,記為 ,稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。(x)D(x)方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù),則有D(C) 0,2設(shè)X,D(CX) C2D(X) D(X C) D(X)3 設(shè) X,Y 是 兩 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 , 則 有D(X Y) D(X)D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)特別,若X,Y相互獨(dú)立,則有D(X Y) D(X) DY)4的充要條件是X以概率1取常數(shù) ,即E(X)D(X) 0X E(X)1切比雪夫不等式:設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望
17、,則對(duì)于E(X) 2任意正數(shù) ,不等式成立2PX- 23協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義 量X E(XYEY)稱為隨機(jī)變量X及Y的協(xié)方差為Cov(X,Y),即Cov(X,Y) E(X E(XY EY) E(XY) E(X)EY)Cov(X,Y)稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)D(X) D(Y)而XY第 13 頁對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X 和Y,協(xié)方差具有下述性質(zhì)D(X Y) D(X) DY) Cov(X,Y)_1Cov(X,Y) CovY,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)2(X X ,Y) (X ,Y)Cov(X ,Y)1212定理 112的充要條件是,存在常數(shù) a,b 使1Y a1當(dāng)0時(shí),稱X
18、和Y不相關(guān)附:幾種常用的概率分布表方差p p)np p)兩點(diǎn)分布二項(xiàng)式分pk,n 10 p 1nppknknkn第 14 頁布泊松分布幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布 e k0( ) P X kk, k!1P X k) p 1 p k (),kp2p1b a( )2a b21x 00,1(x)2e 0第 15 頁第五章 大數(shù)定律及中心極限定理1大數(shù)定律弱大數(shù)定理(辛欣大數(shù)定理) 設(shè) X X是相互獨(dú)立,服從統(tǒng)1, 2.作前,有E(X ) (k )k1n 個(gè)變量的算術(shù)平均,則對(duì)于任意n 0Xnkk11nlim X 1nknk1定義 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列,a 是一個(gè)常數(shù),若Y ,Y ,Y 12n對(duì)于任意正數(shù) Y a1依概率, , Y YYn12nn收斂于a,記為Y apn伯努利大數(shù)定理 設(shè) 是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次fA是事件A ,有f或lim p 1 lim
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 成都師范學(xué)院《世界文化概論》2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 成都師范學(xué)院《漢英翻譯》2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 石鍋相關(guān)項(xiàng)目實(shí)施方案
- DB11-T 337-2021 政務(wù)數(shù)據(jù)資源目錄體系規(guī)范
- 獨(dú)輪手推車項(xiàng)目評(píng)價(jià)分析報(bào)告
- DB11-T 1005-2021 公共建筑室內(nèi)溫度節(jié)能監(jiān)測標(biāo)準(zhǔn)
- 電線延長線項(xiàng)目評(píng)價(jià)分析報(bào)告
- 成都師范學(xué)院《比較思想政治教育》2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 電視機(jī)天線項(xiàng)目可行性實(shí)施報(bào)告
- 電話耳機(jī)相關(guān)項(xiàng)目實(shí)施方案
- 醫(yī)學(xué)院教學(xué)工作會(huì)議PPT課件
- 高低壓柜元器件綜合計(jì)算表 新手利器
- 部編版六年級(jí)道德與法治上冊(cè)《我們是場外“代表”》PPT課件
- 常用二極管型號(hào)及參數(shù)手冊(cè)
- 塔吊吊次分配及計(jì)算(共3頁)
- 荷載與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法 其他荷載與作用PPT課件
- 碩士研究生入學(xué)登記表
- 除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法
- 回鍋肉ppt課件
- 各科室廉政風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)排查表
- 1984年高考數(shù)學(xué)試題(全國理)及答案[1]
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論