經(jīng)濟(jì)數(shù)線性代數(shù)部分習(xí)輔導(dǎo)及典型例題解析

1、文檔編碼 : CB6O9K1R6C2 HH4N3H10G2O1 ZR3N2W9D4O5優(yōu)質(zhì)資料 歡迎下載 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù)部分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)及典型例題解析 第 1-2 章 行列式 和矩陣 明白矩陣的概念,嫻熟把握矩陣的運(yùn)算； 矩陣的運(yùn)算中意以下性質(zhì) 明白矩陣行列式的遞歸定義,把握運(yùn)算行列式（三,四階）的方法；掌 握方陣乘積行列式定理； 是同階方陣,就有： 如 是 階行列式, 為常數(shù),就有： 第 1 頁,共 8 頁優(yōu)質(zhì)資料 歡迎下載 明白零矩陣,單位矩陣,數(shù)量矩陣,對角矩陣,上（下）三角矩陣,對 稱矩陣,初等矩陣的定義及性質(zhì)； 懂得可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質(zhì),把握矩陣可逆的充分必要條件； 如 為 階

2、方陣,就以下結(jié)論等價 存在 階方陣 使得 可逆 滿秩 嫻熟把握求逆矩陣的初等行變換法,會用相伴矩陣法求逆矩陣,會解簡 單的矩陣方程； 用初等行變換法求逆矩陣： 用相伴矩陣法求逆矩陣： （其中 是 的相伴矩陣） 可逆矩陣具有以下性質(zhì)： 明白矩陣秩的概念,會求矩陣的秩； 將矩陣用初等行變換化為階梯形后,所含有的非零行的個數(shù)稱為矩陣的秩； 典型例題解析 例 1 設(shè) 均為 3 階矩陣,且 ,就 ； 解：答案： 72 由于 ,且 第 2 頁,共 8 頁優(yōu)質(zhì)資料 歡迎下載 所以 例 2 設(shè) 為 矩陣, 為 矩陣,就矩陣運(yùn)算（ ）有意義； 解：答案： A 由于 ,所以 A 可進(jìn)行； 關(guān)于 B,由于矩陣 的列

3、數(shù)不等于矩陣 的行數(shù),所以錯誤； 關(guān)于 C,由于矩陣 與矩陣 不是同形矩陣,所以錯誤； 關(guān)于 D,由于矩陣 與矩陣 不是同形矩陣,所以錯誤； 例 3 已知 求 ； 分析：利用矩陣相乘和矩陣相等求解； 解：由于 得 ； 第 3 頁,共 8 頁優(yōu)質(zhì)資料 歡迎下載 例 4 設(shè)矩陣 求 ； 解：方法一：相伴矩陣法 可逆； 且由 得相伴矩陣 第 4 頁,共 8 頁就 優(yōu)質(zhì)資料 = 歡迎下載 方法二：初等行變換法 留意：矩陣的逆矩陣是唯獨(dú)的,如兩種結(jié)果不相同,就必有一個結(jié)果是錯誤的 或兩個都是錯誤的； 例 4 設(shè)矩陣 第 5 頁,共 8 頁求 的秩； 優(yōu)質(zhì)資料 歡迎下載 分析：利用矩陣初等行變換求矩陣的秩

4、； 解： ； 例 5 如 是 階矩陣,且 ,試證 證明： 留意：在證明中用到了已知條件和轉(zhuǎn)置行列式相等的結(jié)論； 第三章 線性方程組 一,本章主要內(nèi)容 主要概念： 齊次線性方程組 非齊次線性方程組 方程組的矩陣表示 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 一 般解 通解（全部解） 特解 基礎(chǔ)解系 自由元（自由未知量） n 維向量 線性組合（線性表出）線性相關(guān) 線性無關(guān) 極大線性無關(guān)組 向量組的秩 向 量空間 向量空間的基和維數(shù) 主要性質(zhì)： 齊次線性方程組解的性質(zhì) 主要定理 ： 線 性方程組的理論 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性方程組有解的充分必要條

5、件 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 向量組線性相關(guān)性的有關(guān)定理（教材中第三章第三節(jié)）定理 1, 2, 3 及有關(guān)推論； 極大無關(guān)向量組的有關(guān)定理（教材中第三章第四節(jié)）定理 1,2, 3 主要方法： 高斯消元法 第 6 頁,共 8 頁優(yōu)質(zhì)資料 歡迎下載 齊次線性方程組解的情形判別 非齊次線性方程組解的情形判別 AX 0 基礎(chǔ)解系的求法 AX B B 0 通解的求法 向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的判別法 極大線性無關(guān)組的求法 二,本章重點 ：向量組相關(guān)性的概念及判別,線性方程組相容性定理,齊次線性方程組基礎(chǔ) 解系幾通解的求法,非齊次線性方程組特解和全部解的求法； 三,典型例題解析 例 1 向量組 11 1 1

6、 , 20 1 1 , 31 2k ,如向量組線性相關(guān)就 k = ； 解：答案： 2 由于由有關(guān)定理,向量組線性相關(guān)的充要條件是向量組的秩數(shù)小于向量組向量個數(shù),所以 求向量組的秩,預(yù)備 k 的取值,使其秩數(shù)小于 3；詳細(xì)解法是 10k 12 101101123112011011當(dāng) k 2 時, r 111k 01k 10023 23 ,故向量組線性相關(guān)； 例 2 設(shè)向量組為 11 30 5 , 21 21 4 , 31 12 3 , 41 361 求它的一個極大無關(guān)組,并判定向量組的相關(guān)性； 分析： 解： 121111111111111234 3213012601260126012600001

7、 , 543101260000r 4 24 ,此向量組線性相關(guān)； 是向量組的一個極大無關(guān)組, 23例 3 線性方程組 x1 x2 3x3 x4 1r A B 43 x1x2 3x3 4x4 x1 5 x2 9 x3 8x4 的值,使 r A 當(dāng) 為何值時方程組有解,有解時解的情形如何？ 分析：由于增廣矩陣的秩與 的取值有關(guān),所以挑選 解 第 7 頁,共 8 頁113優(yōu)質(zhì)資料 11歡迎下載 1113111131 A B 3134404671046711598046710000當(dāng) 0 時,有 r A r A B 24 ,方程組有解且有無窮多解； 例 4 設(shè)線性方程組 AX B 的增廣矩陣經(jīng)初等行變

8、換后化為 11012 A B 0113100000求方程組的通解； 分析： 將階梯形矩陣連續(xù)化為行簡化階梯形矩陣, 求出方程組的一般解,然后求特解, 相應(yīng) 齊次方程組的基礎(chǔ)解系,寫出方程組的通解； 解： A B 110121012101131011310000000000得到方程組的一般解為 令 x3 x4 x1 x3 2x4 1（其中 x3 , x4 是自由元） x2 x3 3x4 10 ,得 AX B 的一個特解 X 0 1 100 再由相應(yīng)齊次方程組的一般解 令 x3 令 x3 X 1 X x1 x3 2x4 （其中 x3 , x4 是自由元） x2 x3 3x4 1, x4 0 ,得 AX 0 的一個解向量 X 1 1 1 1 0 0, x4 1 ,得