初中數(shù)學(xué)幾何模型之倍長中線模型

1、數(shù)學(xué)模型-倍長中線模型模型分析：倍長中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定 過程中，給出中線，通過延長輔助線的方法證明三角形全等及其他，達(dá)到解題 的目的.其主要的圖形特征和證明方法如下圖：已知：在三角形ABC中，O為BC邊中點(diǎn)，輔助線：延長AO到點(diǎn)D使AO=DO,結(jié)論：AOB/DOC證明：延長AO到點(diǎn)D使AO=DO,由中點(diǎn)可知，OB=OC,在4AOB和4DOC中OA = OD 2ZABFED + BC = EB,四邊形 DEBC 2S&EFB【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到CD = 2AD = 2BC = 8，且F為DC的中點(diǎn)，所以CF = BC = 4,

2、由此可判斷A選項(xiàng)；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到ZCFB = ZFBA，由此可判斷b選項(xiàng)；同時(shí)延長EF和BC交于點(diǎn)P，DF = CF ,ZDFE = ZPFC,ZD = ZFCP可 以證得 QFE =衛(wèi)FP ，所 以ED + BC = CP + BC = BP由此可以判斷C選項(xiàng)；由于 QFE = ACFP，所以S四邊形S四邊形DEBC=S,P，由此可以判斷D選項(xiàng);【詳解】,四邊形ABCD是平行四邊形CD = 2 AD = 2 BC = 8CF = BC = 4由于條件不足，所以無法證明BF=4，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤; CF = BC = 4, Z CFB = Z FBCDC / AB, Z CFB = Z

3、 FBC = Z FBA, ZABC = 2ZABF故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；同時(shí)延長EF和BC交于點(diǎn)p,AD | BP, Z D = Z FCPDF = CF在4DFE 和 AFP 中：1/DFE = /PFC / D = / FCP (ASA )八 DFE = aCFPED + BC = CP + BC = BP由于條件不足，并不能證明BP = BE，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;, aDFE 二 aCFPS 四邊形 DEBC= S%ep F為DC的中點(diǎn)S，P = 2s 9= S 四邊形 DEBC故D選項(xiàng)正確;故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出 相應(yīng)的輔助線是求解本題的

4、關(guān)鍵.2.如圖，AB|CD，ZBCD = 90。，AB = 1,BC = CD = 2,E 為 AD 上的中點(diǎn)，則 BE2【解析】【分析】延長BE交CD于點(diǎn)F,證aAEEaDFE，則BE=EF= 1 BF,故再在直角三角形BCF中運(yùn)用勾股定理求出BF長即可.【詳解】解：延長BE交CD于點(diǎn)FVAB 平行 CD,則NA=NEDC,NABE=NDFE,又E為AD上的中點(diǎn)，BE=EF,所以 AEEaDFE . EE = EF = 1 EF, AE = DF = 1 2CF = 1在直角三角形BCF中，BF=67石 =5 .ee = 1 ef =立.22【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到

5、線段的關(guān)系，然后運(yùn)用勾53.如圖，AABC中，。為6C的中點(diǎn)，石是4。上一點(diǎn)，連接版并延長交AC于F , BE = AC ,且5/=9, CF = 6,那么A尸的長度為3【答案】-；【解析】【分析】延長至G使AD = OG,連接5G,得出AAC。=AGB。得出AC = BG = BE,所以得出AAF是等腰三角形，根據(jù)已知線段長度建立等量關(guān)系計(jì) 算.如圖：延長4。至G使AO = Z)G,連接5G在AAC。和中：CD = BDZADC = ZBDGAD = DG：.AACD = AGBD./CAD = /G,AC = BG BE = ACBE = BG / G = /BEG / BEG = /AE

6、F ZAEF = /EAF，EF = AF. AF + CF = BF EFBP AF + 6 = 9 EF3AF =2【點(diǎn)睛】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關(guān)的角的代換是解決本題的關(guān)鍵.4.如圖，平行四邊形ABCD中，CE1AD于E ,點(diǎn)F為邊AB中點(diǎn)， 1 _ AD = CD , / CEF = 40。，則 /AFE =28C【答案】30?！窘馕觥?【分析】延長EF、CB交于點(diǎn)G，連接FC ,先依據(jù)全等的判定和性質(zhì)得到FE = FG, 依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到FC = FE = FG，依據(jù)平行四邊 形的對邊相等及等量代換得到BF = BC ,依據(jù)三角形等邊對等角得到

7、 /FCG = /G = 50。、/BFC =/FCG = 50。，依據(jù)三角形內(nèi)角和得到/GFC,通過 作差即得所求.【詳解】解：延長、圓交于點(diǎn)G,連接FC,平行四邊形中，AD/BC, AB = CD, AD = BC,. ZA = ZGBF , ZAFE = ZBFG , ZGCE = CED = 901又點(diǎn)尸為邊A5中點(diǎn)，得AF = BF、AB,AFEa5FG(ASA), ZG = 90-ZCEF = 50,. FE = FG,FC = FE = FG,口CG = /G = 50。， ZGFC = 180-Z FCG-ZG = 80,11V BF = -AB, AD = -CD AB =

8、CD, AD = BC, 22. BF = BC, ZBFC=ZFCG = 50 J ZBFG = ZGFC-Z BFC = 3Q J. ZAFE = ZBFG = 30,故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形等邊對等角、三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角 三角形.5.已知：如圖所示，AD平分BAC , M是BC的中點(diǎn)，MF/AD,分別交CA延長線，AB 于 F、E.求證：BE=CF.【答案】見解析.【解析】【分析】過B作BNAC交EM延長線于 2點(diǎn)，易證BMN24CMF,可得CF= BN,然后由 MF/AD, AD

9、平分/BAC 可得/F=/DAC=/BAD=/BEM, /BEM = /N,所以 BE=BN=CF.【詳解】證明：過B作BNAC交EM延長線于N點(diǎn)，BNAC, BM=CM,/BMN=/CMF,/N=/F, aBMNaCMF,CF=BN,又,.,MF/AD, AD平分/BAC,./F=/DAC=/BAD=/BEM,/BEM=/N,BE=BN=CF.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等 知識(shí)，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).6.如圖所示，在AABC中，AD交BC于點(diǎn)d，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF / AD交CA的延長線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，若BG

10、 = CF，求證：AD為ZBAC的平分線.【答案】見解析【解析】 【分析】延長FE,截取EH=EG,連接CH,可證口BEGACEH,即可求得/F=ZFGA, E是BC中點(diǎn), E是BC中點(diǎn), BE= CE,即可求得/CAD =Z BAD,即可解題.【詳解】證明：延長FE，截取EH=EG，連接CH,10:BEG =Z CEH, 在口BEG和口CEH中， |BE= C/BEG=/ CEH , GE= EH BEGACEH (SAS),:BGE=Z H,AZ BGE=Z FGA=Z H, BG=CH, CF=BG,A CH= CF,AZ F=Z H= Z FGA, EF AD,AZ F=Z CAD ,

11、Z BAD =Z FGA,AZ CAD =Z BAD, AAD 平分ZBAC.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本 題中求證口 BEG/ CEH是解題的關(guān)鍵.7.已知：如圖所示，在AAB。中，AD為中線，BF交ad, ac分別于E, F，如果BE = AC,求證：AF = EF .【答案】詳見解析【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)G,得至1ABDEACDG ,利用全等 三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到2AEF中的兩個(gè)角相等，然 后用等角對等邊證明AE等于EF.【詳解】證明：延長ED至G,使DG = DE，連結(jié)GC,在AABC中

12、，AD為中線，BD=CD,在ADC和 GDB中，產(chǎn)二CD/BDE = / CDGDE = DG ABDE0 ACDG,BE = CG , ZBED = ZCGD ,bEE=AC,AC = GC,:.ZAGC = CAG.又.ZBED = ZAEF , ZAEF = ZEAF ,AF = EF .【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)建全等 三角形.如圖所示，AD為AABC的角平分線，e, F分別在BD, AD上，DC = DE，若EF AB .求證：EF = AC .12【答案】詳見解析【解析】【分析】延長FD至G,使DG = DF ,連結(jié)CG,可證ADEFKDCG

13、 ,則EF=CG,利用全等三角形和角平分線以及平行線的性質(zhì)可得GAC = ZAGC，根據(jù)等角對 等邊得AC=CG，即可得出結(jié)論.【詳解】證明：延長FD至G，使DG = DF，連結(jié)CG,VDC=DE,ZEDF=ZCDG, DG = DF ADEFZADCG,. EF = CG , /EFG = /CGD,EFH AB ,:.乙 EFG = /BAD ,又 / BAD = / CAD ,./ GAC = ZAGC ,.AC = GC,.EF = AC.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證4EDF與4CDG全等.如圖所示，在AABC中，AD為中線，/BAD = 90。, AB = 2AD

14、 ,求/DAC的度數(shù).【答案】45013【解析】【分析】延長AD至E,使DE = AD,連結(jié)CE,則AADBAEDC ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得 EC=AB, /E = /BAD = 90。，由 AB=2AD 可得 EC=AE,可得4AEC 是 等腰直角三角形，即可得/DAC的度數(shù).【詳解】解：延長AD至E,使DE = AD,連結(jié)CE ,VBD=CD,ZADB=ZEDC AADBAEDCEC=AB, /E = /BAD = 90,AB=2AD, DE = AD AB=AE=EC AEC是等腰直角三角形，AZDAC=45.故答案為45.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì) 等腰直角三角形的性質(zhì)，

15、解題的關(guān)鍵 是作輔助線構(gòu)建全等三角形和等腰直角三角形.已知：如圖，在AABC中，/C = 90。，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC 上，且 ED FD 于 D .求證：AE2 + BF 2 = EF2 .【答案】詳見解析【解析】【分析】通過倍長線段DE,將AE、BF、EF轉(zhuǎn)化到ABGF中，再證ABGF為直 角三角形.14【詳解】延長ED至G，使DG = DE，連結(jié)BG、FG , aAD = BD , ZADE = ZBDG,:.AADE = ABDG,AE = BG, ZA = ZDBG,AC H BG,:.ZC + ZFBG= 180。，:.ZFBG=90。，BG2 + BF2 = G

16、F2,又 yED 1 FD , ED = GD ,.EF ; GF ,AE2 + BF2 = EF2.w G【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線，熟練掌 握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F, AE=EF 求證：AC =BF.A經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖口，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得 ADCAGDB，再利用AE=EF可15完成下面問題：以進(jìn)一步證得/G 完成下面問題：以進(jìn)一步證得/G =/ FAE =/ AFE =/ BFG，從而證明結(jié)論./ FAE，再依據(jù)AA

17、S可以進(jìn)一步證得 ADC2 GDB，從而證明結(jié)論.思路二如圖，添加輔助線后并利用AE=EF可證得/G =/BFG =/AFE=(1) 口思路一的輔助線的作法是：;口思路二的輔助線的作法是：.(2)請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法(要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程).【答案(1)口延長AD至點(diǎn)G，使DG = AD,連接BG； 作BG=BF交AD的延 長線于點(diǎn)G；(2)詳見解析【解析】【分析】(1) 依據(jù)SAS可證得AADC A GDB，再利用AE=EF可以進(jìn)一步證得 / G =/ FAE =/AFE =/ BFG，從而證明結(jié)論.作BG=BF交AD的延長線于點(diǎn)

18、G.利用AE=EF可證得/G =/BFG =/AFE=/E4E,再依據(jù)44s可以進(jìn)一步證得ZX名GZ)8,從而證明結(jié)論.(2)作5G/。交4D的延長線于G,證明(AAS),得出4。二 BG,證出/G=/5尸G,得出5G=AF,即可得出結(jié)論.【詳解】解：(1) 口延長40至點(diǎn)G, ffi DG=AD,連接5G,如圖口，理由如下:Z。為48。中線，：.BD=CD,AD=DG在ADC 和GOB 中， ZADC= ZGDB ,CD = BD：.AADCAGDB (SAS),：.AC=BG,*：AE=EF,：.ZCAD=ZEE4,V ZBFG=ZG, ZG=ZCAD,:/G=/BFG,.BG=BF,：,

19、AC=BF.故答案為：延長/。至點(diǎn)G,使。G=/。，連接5G；作5G=5尸交的延長線于點(diǎn)G,如圖.理由如下：*：BG=BF,:/G=/BFG,*AE=EF,工 AEAF= AEFA,Z /EE4 = /BFG,：.ZG=ZEAF,ZCAD=ZG在ADC 和GOB 中， ZADC= ZGDB ,CD = BD：.AADCAGDB (44S),：.AC=BG,：.AC=BF；故答案為：作5G=8分交的延長線于點(diǎn)G；*G圖(2)作5G力。交4。的延長線于G,如圖所示:則/G=/C1D,:4D為4SC中線，：.BD=CD,/CAD= /G在和GQ8 中,EM即可得出結(jié)論；(3)延長AB至點(diǎn)N,使BN=

20、DF,連接CN,證出nNBC=nD,由SAS證明 NBCFDC,得出 CN=CF, nNCB=nFCD,證出口ECN=70=nECF,再由 SAS 證明NCEFCE,得出EN=EF,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：延長AD至E,使口=人口，連接BE,如圖所示：AD是BC邊上的中線，BD=CD,在BDE WnCDA 中，BD=CD, 口BDE=nCDA, DE=AD,BDEUCDA (SAS),BE=AC=6,在ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB - BEAEAB+BE,10-6AE10+6, 4AE16,2AD8；故答案為2ADEM,BE+CFEF；(3)解:BE+DF=EF；理由如下:延長

21、AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,如圖3所示：ABC+D=180, NBC+FBC=180,NBC=R20Sdnbc dfdc 中，BN=DF, DNBC =DD, BC=DC,NBCDDFDC (SAS),CN=CF, NCB=FCD,BCD=140, ECF=70,BCE+FCD=70,ECN=70ECF, 在NCE WFCE 中,CN=CF, 口ECNECF, CE=CE,NCEUFCE (SAS),EN=EF,BE+BN=EN, BE+DF=EF.考點(diǎn)：全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系定理 BE+DF=EF.考點(diǎn)：全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系定理.13.如圖，在n

22、ABC中，AB=AC, D為線段BC的延長線上一點(diǎn)，且DB=DA,BEADBEAD于點(diǎn)E，取BE的中點(diǎn)F，連接AF.(1)若 AC= 155 , AE=v3 ,求 BE 的長;在（1）的條件下，如果在（1）的條件下，如果口口=45。，求口ABD的面積.(3)若口BAC=nDAF,求證：2AF=AD；2121【答案】(1) 2總；(2) 9； (3)見詳解【解析】【分析】(1)在RtAAEB中，利用勾股定理即可解決問題；(2)由/D = 45可證得BE=DE,再利用三角的面積公式計(jì)算即可；(3)如圖，延長AF至M點(diǎn)，使AF=MF，連接BM,首先證明AEF/ MFB, 再證明ABM/ACD即可.【

23、詳解】(1)解：AB=AC, AC= 無，AB= 15 ,BEXAD, AE=石，在 RtAEB 中，BE = AAB2 - AE2 = (15) 2 - (3)2 = 23 ;(2)解：.BE，AD,/D = 45,/EBD=/D =45,BE=DE= 2v3,AD=AE+DE = 3 + 23 = 33 ,S= 1 AD - BE = 1 x 3 J3 x 2 J3 = 9 ；ABD 22；(3)證明：如圖，延長AF至M點(diǎn)，使AF=MF，連接BM,A點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，EF=BF,在AAEF和MBF中，AF = FM/AFE = /BFMEF = BF221AAEFAMBF (SAS), AZ FAE =/ FMB,:.AE / MB,AZ EAB +ZABM= 180 ,ZABM=180-Z BAD,又二小=AC, DB=DA,AZABC =Z ACB =Z BAD,AZACD =180-Z ACB, AZABM=ZACD.又/ BAC =Z DAF,AZ BAC -Z MAC =Z DAF -Z MAC, AZ1 = Z2.在AABM和AACD中，Z1 = Z2 AB = AC