函數(shù)的周期性和對稱性

1、函數(shù)的周期性和對稱性第一頁，共32頁。(1)若 關(guān)于直線 對稱一、函數(shù)的對稱性若函數(shù) 上任意一點關(guān)于某直線（或某點）的對稱點仍在 上，就稱 關(guān)于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為自對稱。(2)若 關(guān)于點 對稱兩個恒等式的形式均不唯一，要記住本質(zhì)構(gòu)造.第二頁，共32頁。定理：若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)以 為對稱軸。cor.若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)以 為對稱軸。即：YXOABX=a第三頁，共32頁。定理：若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)關(guān)于點 對稱。cor.若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)關(guān)于點 對稱 。 即：YXOAB(a,0)第四頁，共32頁。2)若 ,則函數(shù) 關(guān)于_對稱;注：1.當(dāng) 時,函數(shù)關(guān)于直線 對稱

2、2.當(dāng) 時,函數(shù)關(guān)于點 對稱偶函數(shù)-特殊的軸對稱函數(shù)奇函數(shù)-特殊的點對稱函數(shù)一般地,1)若 ,則函數(shù) 關(guān)于 對稱.第五頁，共32頁。y=f(x)對稱源性質(zhì)點(0,0)y軸y=xx=m點(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:若函數(shù) 12第六頁，共32頁。關(guān)于x=0對稱例1：已知 的圖象,畫出 和 的圖象，并指出兩者的關(guān)系。(-1,0)(1,0)若函數(shù) 上任意一點關(guān)于某直線（或某點）的對稱點在 上，就稱 和 關(guān)于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為互對稱。第七頁，共32頁。一般地, 函數(shù) 和 關(guān)于_對稱

3、.記憶：令x+a=-x+b，可求得對稱軸.變化前對稱源變化后y=f(x)點(0,0)x軸y軸y=xy=-x直線x=m直線y=n點(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)第八頁，共32頁。例3：設(shè) 的圖象與 的圖象關(guān)于直線 對稱，求 的解析式。 例2:將函數(shù) 右移2個單位得到圖像C1，有C1和C2的圖像關(guān)于點 對稱，求C2的函數(shù)解析式。利用對稱性求解析式（一）、互對稱問題常用軌跡代入法求解析式第九頁，共32頁。例4：設(shè) 圖象關(guān)于直線 對稱,在 上， 求當(dāng) 時 的解析式。例5：設(shè) 是定義在

4、R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線 對稱，已知 時,函數(shù) 求當(dāng) 時 的解析式(二)、自對稱問題常聯(lián)系恒等式進(jìn)行x的變換第十頁，共32頁。關(guān)于直線 對稱關(guān)于直線 對稱關(guān)于 對稱關(guān)于點 對稱常見函數(shù)的對稱性一個函數(shù)本身的對稱性稱為自對稱,分成 關(guān)于某直線對稱或某點對稱.原點第十一頁，共32頁。二、函數(shù)的周期性理解（1）.是否所有周期函數(shù)都有最小正周期？1.定義:對于函數(shù) ，若存在非零常數(shù)T，使得 恒成立，則稱 為周期函數(shù)，T是函數(shù)的一個周期。若所有周期中存在一個最小正數(shù)，則稱它是函數(shù)的最小正周期。 (2).若T是 的一個周期，則kT（k是非零整數(shù)）均是 的周期嗎？ (3)周期函數(shù)的定義域D可以為閉區(qū)間

5、嗎？T= (a-b) 思考：若 ,函數(shù) 具有什么性質(zhì)？第十二頁，共32頁。第十三頁，共32頁。注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件2、常見的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明) 第十四頁，共32頁。3.函數(shù)的對稱性與周期性的幾個常見性質(zhì)。性質(zhì)1.若函數(shù) 以 為對稱軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T= X=aX=b第十五頁，共32頁。性質(zhì)2.若函數(shù) 以 為對稱點，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=假定(a,0)(b,0)第十六頁，共32頁。性質(zhì)3.若函數(shù) 以 為對稱點，以 為對稱軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期 T=假定X=b(a,0)XYO第十七頁，共32頁。第十八頁，共32頁。第十九頁，

6、共32頁。第二十頁，共32頁。第二十一頁，共32頁。第二十二頁，共32頁。第二十三頁，共32頁。第二十四頁，共32頁。第二十五頁，共32頁。第二十六頁，共32頁。練習(xí)1:定義在R上的函數(shù) 滿足且方程 有1001個根，則這1001個根的和？4:如果 那么3：如果 那么2:函數(shù) 圖象關(guān)于點 對稱，則第二十七頁，共32頁。5:(1)定義在R上偶函數(shù) 滿足 則方程 在區(qū)間 上至少有( )個根。(2)將上題中的“偶函數(shù)”改成“奇函數(shù)”，其余條件不變，則在區(qū)間 至少有( )個根。6：定義在R上函數(shù) 滿足條件: 不是 常值函數(shù)； 則下列命題中正確的是( )A. 是周期函數(shù) B. 關(guān)于 對稱 C. 關(guān)于y軸對稱 D. 關(guān)于原點中心對稱重要結(jié)論：若 奇，且周期為T，則必有注：可用模擬圖，直觀明了第二十八頁，共32頁。思考：若 周期為 ，又 關(guān)于 對稱，能否推出 是偶函數(shù)？若能，能否嚴(yán)格證明？練習(xí):1.若 為定義在R上的奇函數(shù)，且關(guān)于直線 對稱，問： 是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期。2. 若 為定義在R上偶函數(shù)且滿足 問： 是否關(guān)于直線對稱？若是，請給出證明。3：設(shè)奇函數(shù) ，且當(dāng) 則 第二十九頁，共32頁。第三十頁，共32頁。5：設(shè) 是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線 對稱，已知 時,函數(shù) 求當(dāng) 時 的解析式。6：