吉林省長春市2017屆高考數(shù)學三模試卷(理科)-Word版含解析

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2017年吉林省長春市高考數(shù)學三模試卷（理科）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項涂在答題卡上）1已知復數(shù)z=1+2i，則=（）A5B5+4iC3D34i2已知集合A=x|x22x30，則AB=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x0或0 x3Dx|1x0或1x33若點P為拋物線y=2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A2BCD4某高中體育小組共有男生24人，其50m跑

2、成績記作ai（i=1，2，24），若成績小于6.8s為達標，則如圖所示的程序框圖的功能是（）A求24名男生的達標率B求24名男生的不達標率C求24名男生的達標人數(shù)D求24名男生的不達標人數(shù)5等比數(shù)列an中各項均為正數(shù)，Sn是其前n項和，且滿足2S3=8a1+3a2，a4=16，則S4=（）A9B15C18D306在平面內的動點（x，y）滿足不等式，則z=2x+y的最大值是（）A4B4C2D27某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（）ABCD8將一枚硬幣連續(xù)拋擲n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，則n的最小值為（）A4B5C6D79若方程在上有兩個不相等的實數(shù)解x1，x2，則x1+x2

3、=（）ABCD10設nN*，則=（）ABCD11已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，則的取值范圍是（）ABCD12對函數(shù)f（x）=，若a，b，cR，f（a），f（b），f（c）都為某個三角形的三邊長，則實數(shù)m的取值范圍是（）ABCD二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.13九章算術是我國第一部數(shù)學專著，下有源自其中的一個問題：“今有金箠（chu），長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤問金箠重幾何？”其意思為：“今有金杖（粗細均勻變化）長5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤問金杖重多少？”則答案是14函數(shù)f（x）=exsin

4、x在點（0，f（0）處的切線方程是15直線kx3y+3=0與圓（x1）2+（y3）2=10相交所得弦長的最小值為16過雙曲線=1（ab0）的左焦點F作某一漸近線的垂線，分別與兩漸近線相交于A，B兩點，若，則雙曲線的離心率為三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17（12分）已知點，Q（cosx，sinx），O為坐標原點，函數(shù)（1）求函數(shù)f（x）的最小值及此時x的值；（2）若A為ABC的內角，f（A）=4，BC=3，求ABC的周長的最大值18（12分）某手機廠商推出一款6吋大屏手機，現(xiàn)對500名該手機用戶（200名女性，300名男性）進行調查，對手機進

5、行評分，評分的頻數(shù)分布表如下：女性用戶分值區(qū)間50，60）60，70）70，80）80，90）90，100頻數(shù)2040805010男性用戶分值區(qū)間50，60）60，70）70，80）80，90）90，100頻數(shù)4575906030（1）完成下列頻率分布直方圖，并指出女性用戶和男性用戶哪組評分更穩(wěn)定（不計算具體值，給出結論即可）；（2）根據(jù)評分的不同，運用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶，在這20名用戶中，從評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶，求3名用戶中評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望19（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，AD=AP，E為棱

6、PD中點（1）求證：PD平面ABE；（2）若F為AB中點，試確定的值，使二面角PFMB的余弦值為20（12分）已知F1，F(xiàn)2分別是長軸長為的橢圓C：的左右焦點，A1，A2是橢圓C的左右頂點，P為橢圓上異于A1，A2的一個動點，O為坐標原點，點M為線段PA2的中點，且直線PA2與OM的斜率之積恒為（1）求橢圓C的方程；（2）設過點F1且不與坐標軸垂直的直線C（2，2，0）交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與B（2，0，0）軸交于點N，點N橫坐標的取值范圍是，求線段AB長的取值范圍21（12分）已知函數(shù)（1）求f（x）的極值；（2）當0 xe時，求證：f（e+x）f（ex）；（3）設函數(shù)f（

7、x）圖象與直線y=m的兩交點分別為A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2），中點橫坐標為x0，證明：f（x0）0請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講（共1小題，滿分10分）22（10分）已知在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系曲線C1的極坐標方程為=4cos，直線l：（為參數(shù)）（1）求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程；（2）若曲線C2的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線P（x0，y0）上點P的極坐標為，Q為曲線C2上的動點，求PQ的中點M到直線l距離的最大值選修4-5：不等式選講（共1小題，滿分

8、0分）23已知a0，b0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值為1（1）求證：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求實數(shù)t的最大值2017年吉林省長春市高考數(shù)學三模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項涂在答題卡上）1已知復數(shù)z=1+2i，則=（）A5B5+4iC3D34i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】由已知直接利用求解【解答】解：z=1+2i， =|z|2=故選：A【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎題2已知集合A=x|x22x3

9、0，則AB=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x0或0 x3Dx|1x0或1x3【考點】集合的表示法【分析】先化簡A，B，再求出其交集即可【解答】解：由A=x|1x3，B=x|x0，或x1，故AB=x|1x0，或1x3故選D【點評】本題考查了集合的交集的運算，屬于基礎題3若點P為拋物線y=2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A2BCD【考點】拋物線的簡單性質【分析】根據(jù)題意，設P到準線的距離為d，則有|PF|=d，將拋物線的方程為標準方程，求出其準線方程，分析可得d的最小值，即可得答案【解答】解：根據(jù)題意，拋物線y=2x2上，設P到準線的距離為d，則有|PF|=d，拋物

10、線的方程為y=2x2，即x2=y，其準線方程為：y=，分析可得：當P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|的最小值為，故選：D【點評】本題考查拋物線的幾何性質，要先將拋物線的方程化為標準方程4某高中體育小組共有男生24人，其50m跑成績記作ai（i=1，2，24），若成績小于6.8s為達標，則如圖所示的程序框圖的功能是（）A求24名男生的達標率B求24名男生的不達標率C求24名男生的達標人數(shù)D求24名男生的不達標人數(shù)【考點】程序框圖【分析】由題意，從成績中搜索出大于6.8s的成績，計算24名中不達標率【解答】解：由題意可知，k記錄的是時間超過6.8s的人數(shù)，而i記錄是的參與測試的人數(shù)，因此表

11、示不達標率；故選B【點評】本題考查程序框圖的理解以及算法功能的描述5等比數(shù)列an中各項均為正數(shù)，Sn是其前n項和，且滿足2S3=8a1+3a2，a4=16，則S4=（）A9B15C18D30【考點】等比數(shù)列的前n項和【分析】設等比數(shù)列an的公比為q0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化為：2q2q6=0，解得q，進而得出【解答】解：設等比數(shù)列an的公比為q0，2S3=8a1+3a2，2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化為：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化為：2q2q6=0，解得q=2又a4=16，可得a123=16，解得a1=2則S4=

12、30故選：D【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6在平面內的動點（x，y）滿足不等式，則z=2x+y的最大值是（）A4B4C2D2【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可【解答】解：不等式組所表示的平面區(qū)域位于直線x+y3=0的下方區(qū)域和直線xy+1=0的上方區(qū)域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，可知目標函數(shù)經(jīng)過A時，z取得最大值由可得A（1，2），所以目標函數(shù)z的最大值為4故選B【點評】本題主要考查線性規(guī)劃問題畫出可行域判斷目標函數(shù)的幾何意義是解題的關鍵7某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（）ABCD【

13、考點】由三視圖求面積、體積【分析】通過三視圖復原的幾何體是正四棱錐，結合三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積【解答】解：由題意三視圖可知，幾何體是正四棱錐，底面邊長為2的正方形，一條側棱垂直正方形的一個頂點，長度為2，四棱錐的表面積為故選D【點評】本題是基礎題，考查三視圖復原幾何體的表面積的求法，考查計算能力，空間想象能力8將一枚硬幣連續(xù)拋擲n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，則n的最小值為（）A4B5C6D7【考點】n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率【分析】由題意，1，即可求出n的最小值【解答】解：由題意，1，n4，n的最小值為4，故選A【點評】本題考查概率的計算，考查對立事件概率公式的

14、運用，比較基礎9若方程在上有兩個不相等的實數(shù)解x1，x2，則x1+x2=（）ABCD【考點】正弦函數(shù)的對稱性【分析】由題意可得2x+，根據(jù)題意可得=，由此求得x1+x2 值【解答】解：x0，2x+，方程在上有兩個不相等的實數(shù)解x1，x2，=，則x1+x2=，故選：C【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題10設nN*，則=（）ABCD【考點】歸納推理【分析】利用數(shù)列知識，即可求解【解答】解： =故選A【點評】本題主要考查推理證明的相關知識，比較基礎11已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，則的取值范圍是（）ABCD【考點】簡單線性規(guī)劃；簡單線性規(guī)劃的應用；平面向量數(shù)量積的運算

15、【分析】根據(jù)題意，由向量的坐標運算公式可得=（3m+n，m3n），再由向量模的計算公式可得=，可以令t=，將m+n1，2的關系在直角坐標系表示出來，分析可得t=表示區(qū)域中任意一點與原點（0，0）的距離，進而可得t的取值范圍，又由=t，分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，向量，=（3m+n，m3n），則=，令t=，則=t，而m+n1，2，即1m+n2，在直角坐標系表示如圖，t=表示區(qū)域中任意一點與原點（0，0）的距離，分析可得：t2，又由=t，故2；故選：D【點評】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及向量的模的計算，關鍵是求出的表達式12對函數(shù)f（x）=，若a，b，cR，f（a），f（b），f（c）都為

16、某個三角形的三邊長，則實數(shù)m的取值范圍是（）ABCD【考點】函數(shù)的值【分析】當m=2時，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等邊三角形的三邊長；當m2時，只要即可，當m2時，只要即可，由此能求出結果【解答】解：當m=2時，f（x）=1，此時f（a）=f（b）=f（c）=1，是等邊三角形的三邊長，成立；當m2時，只要即可，解得2m5；當m2時，只要即可，解得，綜上故選：C【點評】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.13九章算術是我國第一部數(shù)學專著，下有源自其中的一

17、個問題：“今有金箠（chu），長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤問金箠重幾何？”其意思為：“今有金杖（粗細均勻變化）長5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤問金杖重多少？”則答案是15斤【考點】等差數(shù)列的通項公式【分析】由題意可知等差數(shù)列的首項和第5項，由等差數(shù)列的前n項和得答案【解答】解：由題意可知等差數(shù)列中a1=4，a5=2，則S5=，金杖重15斤故答案為：15斤【點評】本題考查等差數(shù)列的前n項和，是基礎的計算題14函數(shù)f（x）=exsinx在點（0，f（0）處的切線方程是y=x【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】先求出f（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即

18、可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而問題解決【解答】解：f（x）=exsinx，f（x）=ex（sinx+cosx），（2分）f（0）=1，f（0）=0，函數(shù)f（x）的圖象在點A（0，0）處的切線方程為y0=1（x0），即y=x（4分）故答案為：y=x【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力屬于基礎題15直線kx3y+3=0與圓（x1）2+（y3）2=10相交所得弦長的最小值為2【考點】直線與圓的位置關系【分析】由條件可求得直線kx3y+3=0恒過圓內定點（0，1），則圓心（1，

19、3）到定點的距離為，因此最短弦長為【解答】解：由條件可求得直線kx3y+3=0恒過圓內定點（0，1），則圓心（1，3）到定點（0，1）的距離為，當圓心到直線kx3y+3=0的距離最大時（即等于圓心（1，3）到定點（0，1）的距離）所得弦長的最小，因此最短弦長為2=故答案為：2【點評】題考查直線和圓的位置關系，以及最短弦問題，屬于中檔題16過雙曲線=1（ab0）的左焦點F作某一漸近線的垂線，分別與兩漸近線相交于A，B兩點，若，則雙曲線的離心率為【考點】雙曲線的簡單性質【分析】方法一、運用兩漸近線的對稱性和條件，可得A為BF的中點，由垂直平分線的性質和等腰三角形的性質，可得RtOAB中，AOB=，

20、求得漸近線的斜率，運用離心率公式即可得到；方法二、設過左焦點F作的垂線方程為，聯(lián)立漸近線方程，求得交點A，B的縱坐標，由條件可得A為BF的中點，進而得到a，b的關系，可得離心率【解答】解法一：由，可知A為BF的中點，由條件可得，則RtOAB中，AOB=，漸近線OB的斜率k=tan=，即離心率e=解法二：設過左焦點F作的垂線方程為聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，又，yB=2yA3b2=a2，所以離心率故答案為：【點評】本題考查雙曲線的性質和應用，主要是離心率的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量共線的合理運用三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17（1

21、2分）（2017長春三模）已知點，Q（cosx，sinx），O為坐標原點，函數(shù)（1）求函數(shù)f（x）的最小值及此時x的值；（2）若A為ABC的內角，f（A）=4，BC=3，求ABC的周長的最大值【考點】平面向量數(shù)量積的運算；基本不等式在最值問題中的應用；余弦定理的應用【分析】（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后求解最值（2）利用函數(shù)的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范圍，然后利用基本不等式求解最值【解答】解：（1），當時，f（x）取得最小值2（2）f（A）=4，又BC=3，9=（b+c）2bc，當且僅當b=c取等號，三角形周長最大值為【點評】本題

22、考查向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值，基本不等式以及余弦定理的應用，考查計算能力18（12分）（2017長春三模）某手機廠商推出一款6吋大屏手機，現(xiàn)對500名該手機用戶（200名女性，300名男性）進行調查，對手機進行評分，評分的頻數(shù)分布表如下：女性用戶分值區(qū)間50，60）60，70）70，80）80，90）90，100頻數(shù)2040805010男性用戶分值區(qū)間50，60）60，70）70，80）80，90）90，100頻數(shù)4575906030（1）完成下列頻率分布直方圖，并指出女性用戶和男性用戶哪組評分更穩(wěn)定（不計算具體值，給出結論即可）；（2）根據(jù)評分的不同，運用分層抽樣

23、從男性用戶中抽取20名用戶，在這20名用戶中，從評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶，求3名用戶中評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列【分析】（I）根據(jù)已知可得頻率，進而得出矩形的高=，即可得出圖形（II）運用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶，評分不低于8（0分）有6人，其中評分小于9（0分）的人數(shù)為4，從6人中任取3人，記評分小于9（0分）的人數(shù)為X，則X取值為1，2，3，利用超幾何分布列的計算公式即可得出【解答】解：（）女性用戶和男性用戶的頻率分布表分別如下左、右圖：由圖可得女性用戶更穩(wěn)定（4分）（）運用分層抽樣從男性用戶中抽

24、取20名用戶，評分不低于8（0分）有6人，其中評分小于9（0分）的人數(shù)為4，從6人中任取3人，記評分小于9（0分）的人數(shù)為X，則X取值為1，2，3，；P（X=2）=；所以X的分布列為X123P（12分）【點評】本題考查了頻率分布直方圖的性質、超幾何分布列的概率與數(shù)學期望計算公式、分層抽樣，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19（12分）（2017長春三模）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，AD=AP，E為棱PD中點（1）求證：PD平面ABE；（2）若F為AB中點，試確定的值，使二面角PFMB的余弦值為【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定【分析】

25、（I）證明AB平面PAD，推出ABPD，AEPD，AEAB=A，即可證明PD平面ABE（II） 以A為原點，以為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系ABDP，求出相關點的坐標，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可【解答】解：（I）證明：PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB，又底面ABCD為矩形，ABAD，PAAD=A，PA平面PAD，AD平面PAD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD，AD=AP，E為PD中點，AEPD，AEAB=A，AE平面ABE，AB平面ABE，PD平面ABE（II） 以A為原點，以為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系A

26、BDP，令|AB|=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（1，0，0），M（2，2，22）設平面PFM的法向量，即，設平面BFM的法向量，即， ，解得【點評】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力20（12分）（2017長春三模）已知F1，F(xiàn)2分別是長軸長為的橢圓C：的左右焦點，A1，A2是橢圓C的左右頂點，P為橢圓上異于A1，A2的一個動點，O為坐標原點，點M為線段PA2的中點，且直線PA2與OM的斜率之積恒為（1）求橢圓C的方程；（2）設過點F1且不與坐標軸垂直的直線C（2，2

27、，0）交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與B（2，0，0）軸交于點N，點N橫坐標的取值范圍是，求線段AB長的取值范圍【考點】直線與橢圓的位置關系【分析】（1）由已知2a=2，解得a=，記點P（x0，y0），kOM=，可得kOM=利用斜率計算公式及其點P（x0，y0）在橢圓上，即可得出（2）設直線l：y=k（x+1），聯(lián)立直線與橢圓方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0，記A（x1，y1），B（x2，y2）利用根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、弦長公式即可得出【解答】解：（1）由已知2a=2，解得a=，記點P（x0，y0），kOM=，kOM=，又點P（x0，y0）在橢圓上，故+=1，

28、kOM=，b2=1，橢圓的方程為（4分）（2）設直線l：y=k（x+1），聯(lián)立直線與橢圓方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0，記A（x1，y1），B（x2，y2）由韋達定理可得，可得，故AB中點，QN直線方程：，已知條件得： ，02k21，（12分）【點評】本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、斜率計算公式、中點坐標公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題21（12分）（2017長春三模）已知函數(shù)（1）求f（x）的極值；（2）當0 xe時，求證：f（e+x）f（ex）；（3）設函數(shù)f（x）圖象與直線y=m的兩交點分別為A（x1，f

29、（x1）、B（x2，f（x2），中點橫坐標為x0，證明：f（x0）0【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極值即可；（2）問題轉化為證明（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex），設F（x）=（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex），根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可【解答】解：（1）f（x）=，f（x）的定義域是（0，+），x（0，e）時，f（x）0，f（x）單調遞增；x（e，+）時，f（x）0，f（x）單調遞減當x=e時，f（x）取極大值為，無極小值（2）要證f（e+x）f（ex），即證：，只需證明：（ex）ln（

30、e+x）（e+x）ln（ex）設F（x）=（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex），F(xiàn)（x）F（0）=0，故（ex）ln（e+x）（e+x）ln（ex），即f（e+x）f（ex），（3）證明：不妨設x1x2，由（1）知0 x1ex2，0ex1e，由（2）得fe+（ex1）fe（ex1）=f（x1）=f（x2），又2ex1e，x2e，且f（x）在（e，+）上單調遞減，2ex1x2，即x1+x22e，f（x0）0【點評】本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的知識，具體涉及到導數(shù)的運算，用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性等，考查學生解決問題的綜合能力請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講（共1小題，滿分10分）22（10分）（2017長春三模）已知在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系曲線C1的極坐標方程為=4cos，直線l：（為參數(shù)）（1）求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方