考研資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考研輔導(dǎo)串講(可編輯)

1、一主要內(nèi)容及要求 二重要公式與結(jié)論 三典型例題分析與解答 一主要內(nèi)容及要求 二重要公式與結(jié)論 三典型例題分析與解答一主要內(nèi)容及要求 二重要公式與結(jié)論 三典型例題分析與解答 一主要內(nèi)容及要求 二重要公式與結(jié)論 三典型例題分析與解答 一主要內(nèi)容及要求 二重要公式與結(jié)論 三典型例題分析與解答 第六章 歷年考研真題 1 2 3 第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 例3設(shè)XY在以點(diǎn)011011為頂點(diǎn)的三 角形區(qū)域G上服從均勻分布UXY求DU 分析個(gè)求二維隨機(jī)變量或叫兩個(gè)隨 機(jī)變量的函數(shù)UXY的方差問(wèn)題 因?yàn)橐阎?lián)合密度故最簡(jiǎn)單的做法是直接用函數(shù)期望公式計(jì)算 為了比較還另給出了這是一兩種解法

2、 解法一 三角形區(qū)域 于是XY的聯(lián)合密度為 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 解法二 三角形區(qū)域 于是XY的聯(lián)合密度為 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 以f1x表示X的概率密度則 同理可得 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 現(xiàn)在求X和Y的協(xié)方差 于是 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 解法三 三角形區(qū)域于是XY的聯(lián)合密度為 以fu表示UXY的概率密度則 當(dāng)u2時(shí)顯然有 fu0 當(dāng)1u2時(shí)有 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 由隨機(jī)變量之和的概率密度公式有 故隨機(jī)變量U的概率密度為 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 例4設(shè)XY在上服從均勻分布ZY-X2求EZ和DZ 解法一 正方形區(qū)域 于是XY的聯(lián)合密度為 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字

3、特征 解法二 正方形區(qū)域 于是XY的聯(lián)合密度為 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 因此XY相互獨(dú)立且都服從01上均勻分布 第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 解法三 正方形區(qū)域 于是XY的聯(lián)合密度為 因此XY相互獨(dú)立且都服從01上均勻分布 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 例5設(shè) 分析 解由題設(shè) 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 于是 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征某流水作業(yè)線上生產(chǎn)的每個(gè)產(chǎn)品為不合 格的概率是p當(dāng)生產(chǎn)出k個(gè)不合格品時(shí)即停工檢 修一次試求在兩次檢修之間所生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)的 數(shù)學(xué)期望和方差 例6 解設(shè)X表示兩次檢修之間所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù) Xi表示生產(chǎn)出第i-1個(gè)不合格品后至出現(xiàn)第i個(gè)不合 格品時(shí)所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)則有 第

4、三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1掌握大數(shù)定律的定義 第四章大數(shù)定律和中心極限定理2掌握獨(dú)立同分布的中心極限定理和德莫佛-拉普拉斯定理并會(huì)用這兩個(gè)定理求概率 第四章 大數(shù)定律和中心極限定理1 切比雪夫不等式的一般形式 設(shè)X的r階絕對(duì)矩存在r0則對(duì)有特別有 第四章 大數(shù)定律和中心極限定理 2 近似計(jì)算公式1當(dāng)n很大p很小np不太大時(shí) 二項(xiàng)概率有下 列近似公式即Poisson定理 2當(dāng)X1X2 Xn滿(mǎn)足中心極限定理的條件 n很大時(shí)有下列近似公式 第四章 大數(shù)定律和中心極限定理某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床它們獨(dú)立地工作著開(kāi)工率為06

5、開(kāi)工時(shí)耗電各為1千瓦問(wèn)供電所至少要供給這個(gè)車(chē)間多少電力才能以999的概率保證這個(gè)車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn) 解率保證這個(gè)車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn) 由題意有 例1第四章 大數(shù)定律和中心極限定理 即供給141千瓦電就能以999的概率保證這個(gè)車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn) 例2設(shè)隨機(jī)變量X的 則由切 比雪夫不等式有 解第四章 大數(shù)定律和中心極限定理 現(xiàn)有一批種子其中良設(shè)至少要供給這個(gè)車(chē)間r千瓦電才能以999的概種占16今任取6000粒問(wèn)能以099的概率保證在這6000粒種子中良種所占的比例與16的差不超過(guò)多少相應(yīng)的良種粒數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi) 例3解 由德莫佛-拉普拉斯定理 第四章大數(shù)定律和中心極限定理

6、 故近似地有 第四章大數(shù)定律和中心極限定理 良種粒數(shù)X的范圍為 第四章大數(shù)定律和中心極限定理例4獨(dú)立同分布 解 由辛欽大數(shù)定律取1有 又顯然有 第四章中心極限定理 1掌握統(tǒng)計(jì)量的概念會(huì)判斷哪些樣本的函數(shù)是統(tǒng)計(jì)量2掌握正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的定義及其分布 3要會(huì)熟練運(yùn)用矩法和極大似然法求估計(jì)量 矩法求估計(jì)量的步驟 第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步 極大似然法求估計(jì)量的步驟一般情況下 4要掌握估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 1無(wú)偏性 2有效性 3一致性 第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步 5要會(huì)正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)大數(shù)定律和設(shè)為總體X的分布中的未知參數(shù)X1X2Xn 為取自X的樣本若存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 使得對(duì)給定的0 1有則稱(chēng) 為

7、的置信度為1-的置信區(qū)間 分別稱(chēng)為置信下限和置信上限 第五章設(shè)檢驗(yàn)的步驟數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步 6要會(huì)根據(jù)樣本進(jìn)行正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 假1 由實(shí)際問(wèn)題提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H123 根據(jù)4 由樣選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量并在H0為真的條件下確 定該統(tǒng)計(jì)量的分布問(wèn)題要求確定顯著性水平一般題目 中會(huì)給定從而得到拒絕域本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值看是否 屬于拒絕域從而對(duì)H0作出判斷 第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步 7要熟悉假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的聯(lián)系 因此由假設(shè)檢驗(yàn)0的接受域即可得到的 區(qū)間估計(jì)反之亦然但二者對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果解釋不同 第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步9掌握二維離散型隨機(jī)變量分布率的定義會(huì)求二維離散10掌握二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)會(huì)

8、型隨機(jī)變量的分布率運(yùn)用概率密度求二維連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在平面某一區(qū)域上的概率 第二章隨機(jī)變量及其分布 11掌握二維均勻分布的定義及性質(zhì) D x y G 12會(huì)求邊緣分布率和邊緣概率密度 第二章隨機(jī)變量及其分布 13掌握隨機(jī)變量獨(dú)立性的充分必要條件 第二章續(xù)型隨機(jī)變量的極值分布 14掌握正態(tài)分布的性質(zhì) 第二章布 1 特別地 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2 注 若X1X2不相互獨(dú)立則k1X1k2X2不一定服 從正態(tài)分布 3X與Y相互獨(dú)立且分別服從ab與cd上的均勻 分布 第二章 隨機(jī)變量及其分布 4 第二章 隨機(jī)變量及其分布 例1設(shè)X為隨機(jī)變量若矩陣 的特征值全為實(shí)數(shù)的概率為05則 1 X服從03

9、上的均勻分布 3 X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布 4 XN12第二章 隨機(jī)變量及其分布 分析 由題設(shè) 故應(yīng)選4 例2設(shè)XY相互獨(dú)立 且均服從正態(tài)分布 第二章 隨機(jī)變量及其分布 分析 由題設(shè) 即a-b1故應(yīng)選2 例3設(shè) 分布函數(shù)為Fx 則對(duì) 任意實(shí)數(shù)x有分析 第二章 隨機(jī)變量及其分布 注 若XY服從密度為fxy的分隨機(jī)變量及其分布 15會(huì)求二維離散型隨機(jī)變量和連隨機(jī)變量及其分布則 例4設(shè)XY為相互獨(dú)立同分布的連續(xù)型隨機(jī) 變量證明 證 設(shè)X的分布函數(shù)為Fx 概率密度為fx 由題設(shè)可設(shè)Y的分布函數(shù)為Fy概率密度為fy則 XY的聯(lián)合概率密度為 fxyfxfy 故 第二章量及其分布 例5設(shè)XY相互獨(dú)立其中 而

10、Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布則PX-Y0 分析 解 第二章 隨機(jī)變量及其分布 注 先求出ZgXY的值域cd則 第二章隨機(jī)變量及其分布 第二章隨機(jī)變隨機(jī)變量及其分布 例6設(shè)XY在區(qū)域 上服從均勻分布求ZXY2的概率密度 分析ZXY2的值域?yàn)?16 將00022022代入確定 解 XY的聯(lián)合概率密度為 第二章隨機(jī)變量及其分布 第二章函數(shù)為 第二章 隨機(jī)變量及其分布 例7設(shè)X在滿(mǎn)足PX01Y為任一隨機(jī)變量則 X與Y相互獨(dú)立分析 X與Y相互獨(dú)立第二章 隨機(jī)變量及其分布 證 第二章 隨機(jī)變量及其分布 總之對(duì)于任意xy恒有 即X與Y相互獨(dú)立注 討論隨機(jī)變量X與Y的相互獨(dú)立性通常轉(zhuǎn)化 分布函數(shù)來(lái)討論 例8設(shè)二維

11、隨機(jī)變量隨機(jī)變量及其分布 故分布函數(shù)為 從而概率密度XYN00110 則 解 由二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知 XN01 YN01 且X與Y相互獨(dú)立故 第二章 隨機(jī)變量及其分布 1熟練掌握期望定義和性質(zhì) 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè) Y g X g x 是連續(xù)函數(shù)第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 3熟練掌握方差的定義和性質(zhì) 4熟記兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布的期望值和方差值 第三隨機(jī)變量的數(shù)字特征 5掌握協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義不相關(guān)的定義及獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系 COVXY EX EX Y-EY EXY EXEY 稱(chēng) XY不相關(guān) 若XY獨(dú)立則 X Y 不相關(guān)

12、反之不然 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1 或 2 或 3 特別地若XY的概率密度f(wàn)xy僅在D上非零 則 第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 例1章設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為01 檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次每次隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢 驗(yàn)若發(fā)現(xiàn)次品1多于件就要調(diào)整機(jī)器求一天中調(diào) 整機(jī)器次數(shù)Y的概率分布及Y2的數(shù)學(xué)期望EY2 分析 令A(yù)機(jī)器需要調(diào)整若pPA則 設(shè)X取出的5件產(chǎn)品中的次品數(shù)則 第三章其分布率為 第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 于是 即YB40082隨機(jī)變量的數(shù)字特征 例2設(shè)AB相互獨(dú)立且PAPBcom 試求 解 由題設(shè)易知 又AB相互獨(dú)立 相互獨(dú)立 第三章量的數(shù)字特征 從而易求得 故XY的聯(lián)合分布率為 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2 由1易求得XY的概率分布為 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 3 由題設(shè)易知XY的概率分布分別為 又由1易求得XY的概率分布為 第三章 隨機(jī)變量隨機(jī)變的數(shù)字特