有限差分法和變分法課件

1、第五章用差分法和變分法解平面問題第五章用差分法和變分法解平面問題51差分公式的推導51差分公式的推導51差分公式的推導差分法：是微分方程的近似解法，具體的講，差分法就是把微分用 差分 來代替，把導數(shù)用差分商來代替，從而把基本方程和邊界條件（微 分方程）近似用差分方程來表示，把求解微分方程的問題變成求解 代數(shù)方程問題。差分法的數(shù)學基礎： 泰勒公式； 微分中值定理；圖5151差分公式的推導差分法：是微分方程的近似解法，具體的講，51差分公式的推導圖51設： 為彈性體的某一連續(xù)函數(shù)在平行與 軸的一根網(wǎng)線上函數(shù)只隨 坐標的變化而變化。在節(jié)點0 的近處將函數(shù) 展成泰勒級數(shù)（a）51差分公式的推導圖51設

2、： 51差分公式的推導節(jié)點3的坐標 ，節(jié)點1的坐標 ，帶入（a）假定網(wǎng)格間距 充分小，二階項以后的項可以忽略，（b），（c）可變?yōu)椋╞）（c） （d） （e）把（d）和（e）看成關于 和 的二元一次方程組51差分公式的推導節(jié)點3的坐標 把（d）和（e）看成關于 和 的二元一次方程組51差分公式的推導（51）（52）同理可以得到 方向的上的差分公式（53）（54）注（51）（54）是最基本的差分公式把（d）和（e）看成關于 和 51差分公式的推導混合二階導數(shù)的差分公式（55）四階導數(shù)的差分公式（56）（57）（58）51差分公式的推導混合二階導數(shù)的差分公式（55）四階導數(shù)51差分公式的推導 討論

3、：（1）差分公式是微分方程在數(shù)學上的近似；（2）在推導（51）（54）時，略去了三階項及更高階項；（3）由于 是 或 的二次函數(shù)，所以基本差分公式（51） 至（54）稱為拋物線差分公式；（4）要想求差分解，前提是要有微分方程。51差分公式的推導 討論：（1）差分公式是微分方程在數(shù)學上52應力函數(shù)的差分解52應力函數(shù)的差分解52應力函數(shù)的差分解 當不計體力時，我們已把彈性力學平面問題歸結為在給定邊界條件下求解雙調和方程的問題。用差分法解平面問題，就應先將雙調和方程變換為差分方程，而后求解之。圖51雙調和方程：52應力函數(shù)的差分解 當不計體力時，我們已把彈性力學52應力函數(shù)的差分解1、應力分量（不

4、計體力） 一旦求得彈性體全部節(jié)點的 值后，就可按應力分量差分公式（對節(jié)點0）算得彈性體各節(jié)點的應力。圖51（59）如果知道各結點的 值，就可以求得各結點的應力分量。52應力函數(shù)的差分解1、應力分量（不計體力） 一旦求52應力函數(shù)的差分解雙調和方程 對于彈性體邊界以內的每一結點，都可以建立這樣一個差分方程。 應力函數(shù)在域內應該滿足上式。整理即得2、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式圖51（510）問題：邊界上的點（邊界外的點）怎么辦？52應力函數(shù)的差分解雙調和方程 對于彈性體邊界以內的52應力函數(shù)的差分解 當對于邊界內一行的（距邊界為h的）結點，建立的差分方程還將涉及邊界上各結點處的 值，并

5、包含邊界外一行的虛結點處的 值。為了求得邊界上各結點處的 值，須要應用應力邊界條件，即： 在 上代入上式，即得： （b）（a）52應力函數(shù)的差分解 當對于邊界內一行的（距邊52應力函數(shù)的差分解由圖（52）可見圖5-2因此，式（b）可以改寫成52應力函數(shù)的差分解由圖（52）可見圖5-2因此，式（b52應力函數(shù)的差分解約去 dy、dx 得： （c）關于邊界上任一點處 、 的值，可將上式從基點 A 到 任意點B ，對 s 積分得到：（d）52應力函數(shù)的差分解約去 dy、dx 得： （c）關于邊界52應力函數(shù)的差分解由高等數(shù)學可知， 將此式亦從 A 點到 B 點沿 s 進行積分，就得到邊界上任一點 B

6、 處的 值。為此利用分部積分法，得： 圖5-252應力函數(shù)的差分解由高等數(shù)學可知， 將此式亦從 A52應力函數(shù)的差分解將式(c),(d)代入，整理得：由前知，把應力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應力。因此，可設想把應力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調整a，b，c三個數(shù)值，使得由式(d)及式(c)可見，設 已知，則可根據(jù)面力分量求得邊界s上任一點B的 （e）52應力函數(shù)的差分解將式(c),(d)代入，整理得：由前知52應力函數(shù)的差分解于是式(d)，式(e) 簡化為：（511）（512）（513） 討論：（1）（511）右邊積分式表示AB之間， 方向的面力之和；（2）（512）右邊積分式表示AB之間

7、， 方向的面力之和改號；（3）（513）右邊積分式表示AB之間， 面力對B的力矩之和；（4）以上結果不能用于多連體的情況。52應力函數(shù)的差分解于是式(d)，式(e) 簡化為：（552應力函數(shù)的差分解邊界外一行的虛節(jié)點的 值（514）圖5152應力函數(shù)的差分解邊界外一行的虛節(jié)點的 值（552應力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問題時，可按下列步驟進行：（2）應用公式（514），將邊界外一行虛結點處的 值用邊界內的相 應結點處的 值來表示。取 （1）在邊界上任意選定一個結點作為基點A，然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結點處 的值，以及所必需的一些 及 值，即垂直于邊界方向的導數(shù)值。（3）對邊

8、界內的各結點建立差分方程（510），聯(lián)立求解這些結點處的 值。52應力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問題時，可按下列步驟52應力函數(shù)的差分解（5）按照公式（59）計算應力的分量。 說明： 如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標軸正交，則邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內結點。對于這樣的結點，差分方程（510）必須加以修正。（4）按照公式（513），算出邊界外一行的各虛結點處的 值。52應力函數(shù)的差分解（5）按照公式（59）計算應力的分量54彈性體的變形勢能和外力勢能54彈性體的變形勢能和外力勢能54彈性體的變形勢能和外力勢能變分法：主要是研究泛函及其極值的求解方法。泛函：函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)；能量法：彈性力學

9、中的變分法；形變勢能與彈性體的受力次序無關，也與受力的歷史無關完全由應力和變形的最終大小確定保守場。54彈性體的變形勢能和外力勢能變分法：主要是研究泛函及其極 設彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實位移為u,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件和用位移表示的應力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作功，外力功轉化為變形能，儲存在彈性體內，單元體內的變形能為54彈性體的變形勢能和外力勢能或整個彈性體內的變形能 設彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實位54彈性體的變形勢能和外力勢能對應于平面問題，微元的應變能（應變比能）整個彈性體內的變形能把物理方程

10、代入微元的應變能，分別得到用應力應變表示方程對 求導（515）54彈性體的變形勢能和外力勢能對應于平面問題，微元的應變能54彈性體的變形勢能和外力勢能把幾何方程（28）代入，得到用位移分量表示的微元變形勢能位移分量表示的彈性體變形勢能平面應力 平面應變（516）54彈性體的變形勢能和外力勢能把幾何方程（28）代入，得54彈性體的變形勢能和外力勢能討論（1）變形勢能是變形分量或位移分量的二次泛函，疊加原理不再適用；（2）變形或位移發(fā)生時，變形勢能總是正的；54彈性體的變形勢能和外力勢能討論（1）變形勢能是變形分量54彈性體的變形勢能和外力勢能外力的功： 彈性體受面力和體力作用，在平面區(qū)域A內的體

11、力分量 ， 邊界上的面力分量為 ，則外力（體力和面力）在實際 位移上所做的功，用公式表示如下在靜態(tài)或準靜態(tài)時，外力的勢能轉化成外力的功，因此彈性體的外力勢能（518）（517）54彈性體的變形勢能和外力勢能外力的功：在靜態(tài)或準靜態(tài)時，55 位移變分方程55 位移變分方程55位移變分方程 設有任一彈性體，在一定外力作用下處于平衡狀態(tài)。命 為該彈性體中實際存在的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應力邊界條件。 假想，位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變，即虛位移，或位移變分對于三維時：一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）注：變分和微分都是微量，

12、運算方法相同。55位移變分方程 設有任一彈性體，在一定外力作55位移變分方程給出彈性體的限制條件：（1）沒有溫度改變（熱能沒變）；（2）沒有速度改變（動能沒變）。根據(jù)能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）三維：上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）體力的虛功面力的虛功（522）55位移變分方程給出彈性體的限制條件：根據(jù)能量守恒，變形勢55位移變分方程二、虛功方程按照變分原理，變分運算與定積分的運算可以交換次序。利用（515）代入位移變分方程（524）55位移變分方程二、虛功方程按照變分原理，變分運算與定積分55位移變分方程對應于二維情況（524） （524）就是虛功方程，表示

13、：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應力在虛應變上所做的虛功。55位移變分方程對應于二維情況（524） （555位移變分方程三、極小勢能原理令在虛位移過程中，外力的大小和方向保持不變，只是作用點發(fā)生了改變將變分與定積分交換次序，移項令極小勢能原理： （523） 55位移變分方程三、極小勢能原理令在虛位移過程中，外力的大極小勢能原理： （523） 55位移變分方程 在給定外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，實際存在的一組位移應使總勢能成為極值，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個值是極小值。 位移變分方程（極小勢能原理或虛功方程）等價于

14、平衡微分方程和應力邊界條件。極小勢能原理： 56 位移變分法56 位移變分法56位移變分法（瑞利-里茨法）位移變分法：（1）設定一組包含若干待定系數(shù)的位移分量表達式；（2）使它們滿足位移邊界條件；（3）令其滿足位移變分方程（代替平衡微分方程核應力邊界條件）并求 出待定系數(shù)，就同樣地能得出實際位移解答。（1）位移分量表達式（525）其中： 和 是坐標的函數(shù)， 為2m個互不依賴的待定系數(shù)。56位移變分法（瑞利-里茨法）位移變分法：（1）位移分量表（2）考察是否滿足邊界條件？56位移變分法令 等于給定約束位移值 ；在邊界 上，令 等于零。邊界條件滿足（3）怎樣滿足變分方程（522）？體力的虛功面力的

15、虛功（522）（2）考察是否滿足邊界條件？56位移變分法令 位移分量的變分56位移變分法注：位移分量的變分是由系數(shù) 的變分來實現(xiàn)的。（a）形變勢能的變分（b）（a），（b）代入變分方程（522）位移分量的變分56位移變分法注：位移分量的變分是由系數(shù) 56位移變分法移項，整理變分 是任意的，互不依賴的，所以系數(shù)必須為零（526）討論：（1）由于系數(shù)互不依賴，所以可由方程（526）求出各個系數(shù)；（2）再由（525）求得位移分量；（3）再求應變和應力分量。56位移變分法移項，整理變分 57位移變分法的例題57位移變分法的例題57位移變分法的例題例1：如圖（59）所示薄板，不計體力， 約束和外力如圖。

16、圖：59（1）取位移分量表達式如下（2）考察是否滿足邊界條件？滿足（516）（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形變勢能（b）57位移變分法的例題例1：如圖（59）所示薄板，不計體力57位移變分法的例題形變勢能的表達式進行積分由于不計體力，項數(shù)為1，（526）簡化為（c）（d）（e）代入邊界條件積分57位移變分法的例題形變勢能的表達式進行積分由于不計體力，57位移變分法的例題（d），（e）式就變?yōu)椋╢）再把形變勢能（c）代入上式解得（g）57位移變分法的例題（d），（e）式就變?yōu)椋╢）再把形變勢位移分量的解答（h）（4）由幾何方程求出應變分量；（5）由物理方

17、程求出應力分量；57位移變分法的例題位移分量的解答（h）（4）由幾何方程求出應變分量；（5）由物例2圖510問題描述：如圖510，不計體力，自由邊 給定位移：求：薄板位移（1）取位移分量表達式如下（i）（j）（k）57位移變分法的例題例2圖510問題描述：如圖510，不計體力，自由邊求：?。?）考察是否滿足邊界條件？（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答57位移變分法的例題滿足注：對稱性也滿足。由于不計體力，也沒有面力，式（526）簡化為（l）（2）考察是否滿足邊界條件？（3）由（526）求出待57位移變分法的例題（516）由（516）求出形變勢能注意到位移對稱性（m）（j），（k）求導，帶入（m），積分，再將U代入（l），得到關于 兩個線性方程，求出 ，得到位移分量的解答57位移變分法的例題（516）由（516）求出形變勢能補充：