有限差分法和變分法課件

1、第五章用差分法和變分法解平面問題第五章用差分法和變分法解平面問題51差分公式的推導(dǎo)51差分公式的推導(dǎo)51差分公式的推導(dǎo)差分法：是微分方程的近似解法，具體的講，差分法就是把微分用 差分 來代替，把導(dǎo)數(shù)用差分商來代替，從而把基本方程和邊界條件（微 分方程）近似用差分方程來表示，把求解微分方程的問題變成求解 代數(shù)方程問題。差分法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)： 泰勒公式； 微分中值定理；圖5151差分公式的推導(dǎo)差分法：是微分方程的近似解法，具體的講，51差分公式的推導(dǎo)圖51設(shè)： 為彈性體的某一連續(xù)函數(shù)在平行與 軸的一根網(wǎng)線上函數(shù)只隨 坐標(biāo)的變化而變化。在節(jié)點(diǎn)0 的近處將函數(shù) 展成泰勒級數(shù)（a）51差分公式的推導(dǎo)圖51設(shè)

2、： 51差分公式的推導(dǎo)節(jié)點(diǎn)3的坐標(biāo) ，節(jié)點(diǎn)1的坐標(biāo) ，帶入（a）假定網(wǎng)格間距 充分小，二階項(xiàng)以后的項(xiàng)可以忽略，（b），（c）可變?yōu)椋╞）（c） （d） （e）把（d）和（e）看成關(guān)于 和 的二元一次方程組51差分公式的推導(dǎo)節(jié)點(diǎn)3的坐標(biāo) 把（d）和（e）看成關(guān)于 和 的二元一次方程組51差分公式的推導(dǎo)（51）（52）同理可以得到 方向的上的差分公式（53）（54）注（51）（54）是最基本的差分公式把（d）和（e）看成關(guān)于 和 51差分公式的推導(dǎo)混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式（55）四階導(dǎo)數(shù)的差分公式（56）（57）（58）51差分公式的推導(dǎo)混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式（55）四階導(dǎo)數(shù)51差分公式的推導(dǎo) 討論

3、：（1）差分公式是微分方程在數(shù)學(xué)上的近似；（2）在推導(dǎo)（51）（54）時(shí)，略去了三階項(xiàng)及更高階項(xiàng)；（3）由于 是 或 的二次函數(shù)，所以基本差分公式（51） 至（54）稱為拋物線差分公式；（4）要想求差分解，前提是要有微分方程。51差分公式的推導(dǎo) 討論：（1）差分公式是微分方程在數(shù)學(xué)上52應(yīng)力函數(shù)的差分解52應(yīng)力函數(shù)的差分解52應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，我們已把彈性力學(xué)平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。用差分法解平面問題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。圖51雙調(diào)和方程：52應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，我們已把彈性力學(xué)52應(yīng)力函數(shù)的差分解1、應(yīng)力分量（不

4、計(jì)體力） 一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的 值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對節(jié)點(diǎn)0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。圖51（59）如果知道各結(jié)點(diǎn)的 值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。52應(yīng)力函數(shù)的差分解1、應(yīng)力分量（不計(jì)體力） 一旦求52應(yīng)力函數(shù)的差分解雙調(diào)和方程 對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。 應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)該滿足上式。整理即得2、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式圖51（510）問題：邊界上的點(diǎn)（邊界外的點(diǎn)）怎么辦？52應(yīng)力函數(shù)的差分解雙調(diào)和方程 對于彈性體邊界以內(nèi)的52應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)對于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，并

5、包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的 值。為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即： 在 上代入上式，即得： （b）（a）52應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)對于邊界內(nèi)一行的（距邊52應(yīng)力函數(shù)的差分解由圖（52）可見圖5-2因此，式（b）可以改寫成52應(yīng)力函數(shù)的差分解由圖（52）可見圖5-2因此，式（b52應(yīng)力函數(shù)的差分解約去 dy、dx 得： （c）關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處 、 的值，可將上式從基點(diǎn) A 到 任意點(diǎn)B ，對 s 積分得到：（d）52應(yīng)力函數(shù)的差分解約去 dy、dx 得： （c）關(guān)于邊界52應(yīng)力函數(shù)的差分解由高等數(shù)學(xué)可知， 將此式亦從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)沿 s 進(jìn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn) B

6、 處的 值。為此利用分部積分法，得： 圖5-252應(yīng)力函數(shù)的差分解由高等數(shù)學(xué)可知， 將此式亦從 A52應(yīng)力函數(shù)的差分解將式(c),(d)代入，整理得：由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整a，b，c三個(gè)數(shù)值，使得由式(d)及式(c)可見，設(shè) 已知，則可根據(jù)面力分量求得邊界s上任一點(diǎn)B的 （e）52應(yīng)力函數(shù)的差分解將式(c),(d)代入，整理得：由前知52應(yīng)力函數(shù)的差分解于是式(d)，式(e) 簡化為：（511）（512）（513） 討論：（1）（511）右邊積分式表示AB之間， 方向的面力之和；（2）（512）右邊積分式表示AB之間

7、， 方向的面力之和改號；（3）（513）右邊積分式表示AB之間， 面力對B的力矩之和；（4）以上結(jié)果不能用于多連體的情況。52應(yīng)力函數(shù)的差分解于是式(d)，式(e) 簡化為：（552應(yīng)力函數(shù)的差分解邊界外一行的虛節(jié)點(diǎn)的 值（514）圖5152應(yīng)力函數(shù)的差分解邊界外一行的虛節(jié)點(diǎn)的 值（552應(yīng)力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問題時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：（2）應(yīng)用公式（514），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的 值用邊界內(nèi)的相 應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的 值來表示。取 （1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)A，然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處 的值，以及所必需的一些 及 值，即垂直于邊界方向的導(dǎo)數(shù)值。（3）對邊

8、界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（510），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的 值。52應(yīng)力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問題時(shí)，可按下列步驟52應(yīng)力函數(shù)的差分解（5）按照公式（59）計(jì)算應(yīng)力的分量。 說明： 如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（510）必須加以修正。（4）按照公式（513），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的 值。52應(yīng)力函數(shù)的差分解（5）按照公式（59）計(jì)算應(yīng)力的分量54彈性體的變形勢能和外力勢能54彈性體的變形勢能和外力勢能54彈性體的變形勢能和外力勢能變分法：主要是研究泛函及其極值的求解方法。泛函：函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)；能量法：彈性力學(xué)

9、中的變分法；形變勢能與彈性體的受力次序無關(guān)，也與受力的歷史無關(guān)完全由應(yīng)力和變形的最終大小確定保守場。54彈性體的變形勢能和外力勢能變分法：主要是研究泛函及其極 設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實(shí)位移為u,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作功，外力功轉(zhuǎn)化為變形能，儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的變形能為54彈性體的變形勢能和外力勢能或整個(gè)彈性體內(nèi)的變形能 設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實(shí)位54彈性體的變形勢能和外力勢能對應(yīng)于平面問題，微元的應(yīng)變能（應(yīng)變比能）整個(gè)彈性體內(nèi)的變形能把物理方程

10、代入微元的應(yīng)變能，分別得到用應(yīng)力應(yīng)變表示方程對 求導(dǎo)（515）54彈性體的變形勢能和外力勢能對應(yīng)于平面問題，微元的應(yīng)變能54彈性體的變形勢能和外力勢能把幾何方程（28）代入，得到用位移分量表示的微元變形勢能位移分量表示的彈性體變形勢能平面應(yīng)力 平面應(yīng)變（516）54彈性體的變形勢能和外力勢能把幾何方程（28）代入，得54彈性體的變形勢能和外力勢能討論（1）變形勢能是變形分量或位移分量的二次泛函，疊加原理不再適用；（2）變形或位移發(fā)生時(shí)，變形勢能總是正的；54彈性體的變形勢能和外力勢能討論（1）變形勢能是變形分量54彈性體的變形勢能和外力勢能外力的功： 彈性體受面力和體力作用，在平面區(qū)域A內(nèi)的體

11、力分量 ， 邊界上的面力分量為 ，則外力（體力和面力）在實(shí)際 位移上所做的功，用公式表示如下在靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)，外力的勢能轉(zhuǎn)化成外力的功，因此彈性體的外力勢能（518）（517）54彈性體的變形勢能和外力勢能外力的功：在靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)，55 位移變分方程55 位移變分方程55位移變分方程 設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用下處于平衡狀態(tài)。命 為該彈性體中實(shí)際存在的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。 假想，位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變，即虛位移，或位移變分對于三維時(shí)：一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）注：變分和微分都是微量，

12、運(yùn)算方法相同。55位移變分方程 設(shè)有任一彈性體，在一定外力作55位移變分方程給出彈性體的限制條件：（1）沒有溫度改變（熱能沒變）；（2）沒有速度改變（動(dòng)能沒變）。根據(jù)能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）三維：上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）體力的虛功面力的虛功（522）55位移變分方程給出彈性體的限制條件：根據(jù)能量守恒，變形勢55位移變分方程二、虛功方程按照變分原理，變分運(yùn)算與定積分的運(yùn)算可以交換次序。利用（515）代入位移變分方程（524）55位移變分方程二、虛功方程按照變分原理，變分運(yùn)算與定積分55位移變分方程對應(yīng)于二維情況（524） （524）就是虛功方程，表示

13、：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。55位移變分方程對應(yīng)于二維情況（524） （555位移變分方程三、極小勢能原理令在虛位移過程中，外力的大小和方向保持不變，只是作用點(diǎn)發(fā)生了改變將變分與定積分交換次序，移項(xiàng)令極小勢能原理： （523） 55位移變分方程三、極小勢能原理令在虛位移過程中，外力的大極小勢能原理： （523） 55位移變分方程 在給定外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢能成為極值，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個(gè)值是極小值。 位移變分方程（極小勢能原理或虛功方程）等價(jià)于

14、平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。極小勢能原理： 56 位移變分法56 位移變分法56位移變分法（瑞利-里茨法）位移變分法：（1）設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)的位移分量表達(dá)式；（2）使它們滿足位移邊界條件；（3）令其滿足位移變分方程（代替平衡微分方程核應(yīng)力邊界條件）并求 出待定系數(shù)，就同樣地能得出實(shí)際位移解答。（1）位移分量表達(dá)式（525）其中： 和 是坐標(biāo)的函數(shù)， 為2m個(gè)互不依賴的待定系數(shù)。56位移變分法（瑞利-里茨法）位移變分法：（1）位移分量表（2）考察是否滿足邊界條件？56位移變分法令 等于給定約束位移值 ；在邊界 上，令 等于零。邊界條件滿足（3）怎樣滿足變分方程（522）？體力的虛功面力的

15、虛功（522）（2）考察是否滿足邊界條件？56位移變分法令 位移分量的變分56位移變分法注：位移分量的變分是由系數(shù) 的變分來實(shí)現(xiàn)的。（a）形變勢能的變分（b）（a），（b）代入變分方程（522）位移分量的變分56位移變分法注：位移分量的變分是由系數(shù) 56位移變分法移項(xiàng)，整理變分 是任意的，互不依賴的，所以系數(shù)必須為零（526）討論：（1）由于系數(shù)互不依賴，所以可由方程（526）求出各個(gè)系數(shù)；（2）再由（525）求得位移分量；（3）再求應(yīng)變和應(yīng)力分量。56位移變分法移項(xiàng)，整理變分 57位移變分法的例題57位移變分法的例題57位移變分法的例題例1：如圖（59）所示薄板，不計(jì)體力， 約束和外力如圖。

16、圖：59（1）取位移分量表達(dá)式如下（2）考察是否滿足邊界條件？滿足（516）（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形變勢能（b）57位移變分法的例題例1：如圖（59）所示薄板，不計(jì)體力57位移變分法的例題形變勢能的表達(dá)式進(jìn)行積分由于不計(jì)體力，項(xiàng)數(shù)為1，（526）簡化為（c）（d）（e）代入邊界條件積分57位移變分法的例題形變勢能的表達(dá)式進(jìn)行積分由于不計(jì)體力，57位移變分法的例題（d），（e）式就變?yōu)椋╢）再把形變勢能（c）代入上式解得（g）57位移變分法的例題（d），（e）式就變?yōu)椋╢）再把形變勢位移分量的解答（h）（4）由幾何方程求出應(yīng)變分量；（5）由物理方

17、程求出應(yīng)力分量；57位移變分法的例題位移分量的解答（h）（4）由幾何方程求出應(yīng)變分量；（5）由物例2圖510問題描述：如圖510，不計(jì)體力，自由邊 給定位移：求：薄板位移（1）取位移分量表達(dá)式如下（i）（j）（k）57位移變分法的例題例2圖510問題描述：如圖510，不計(jì)體力，自由邊求：薄（2）考察是否滿足邊界條件？（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答57位移變分法的例題滿足注：對稱性也滿足。由于不計(jì)體力，也沒有面力，式（526）簡化為（l）（2）考察是否滿足邊界條件？（3）由（526）求出待57位移變分法的例題（516）由（516）求出形變勢能注意到位移對稱性（m）（j），（k）求導(dǎo)，帶入（m），積分，再將U代入（l），得到關(guān)于 兩個(gè)線性方程，求出 ，得到位移分量的解答57位移變分法的例題（516）由（516）求出形變勢能補(bǔ)充：