局部線性化與微分

1、關(guān)于局部線性化與微分第1頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三4.3.1 微分的概念1引例問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A(x) , 面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故當(dāng)邊長(zhǎng)從在取得增量 時(shí)，變到一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,邊長(zhǎng)由其第2頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三2“以直代曲”的定量描述當(dāng)函數(shù) 在 處可導(dǎo)且 時(shí)，所以當(dāng) x 充分接近 x0 時(shí)，有以直代曲：局部線性化：4.3.1 微分的概念第3頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三 比較函數(shù) 在 附近比較函數(shù)的增量與該點(diǎn)切線縱坐標(biāo)

2、的增量。例14.3.1 微分的概念第4頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三2“以直代曲”的定量描述當(dāng)函數(shù) 在 處可導(dǎo)且 時(shí)，所以當(dāng) x 充分接近 x0 時(shí)，有以直代曲：局部線性化：4.3.1 微分的概念第5頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三即內(nèi)有定義，處的增量 可以表示為3微分的定義或 , 定義4.3.1設(shè)函數(shù) 在的某鄰域則稱函數(shù) 在 處可微（或可微分），稱為 在 處的微分，記為在一般點(diǎn) x 處的微分，簡(jiǎn)記為若存在與 無(wú)關(guān)的常數(shù) ，使函數(shù)在點(diǎn) 4.3.1 微分的概念第6頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三 設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域

3、 內(nèi)有定義，則函數(shù) 在 可微的充要條件是 在 處可導(dǎo)，且 在點(diǎn) 處的微分為或 函數(shù)可微的條件 當(dāng)，有定理4.3.14.3.1 微分的概念第7頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三 設(shè) ，證明 在任何點(diǎn) 處可微，且 對(duì)任何 ，有例2證此時(shí)，所以，得，即一般地,4.3.1 微分的概念第8頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三從而微分形式可以寫成由此得到，或若 和 互為反函數(shù)，則有對(duì)復(fù)合函數(shù)4.3.1 微分的概念第9頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三和 ，并求 在 處的局部線性化例3解，, 所以，在點(diǎn) 處的局部線性化函數(shù)為因?yàn)橐阎瘮?shù)

4、，求函數(shù) .4.3.1 微分的概念第10頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三 函數(shù)的增量是曲線的縱坐標(biāo)的增量，它的微分是對(duì)應(yīng)的切線的縱坐標(biāo)的增量，這兩者的差是橫坐標(biāo)增量的高階無(wú)窮小。4微分的幾何意義對(duì)應(yīng)切線的縱坐標(biāo)的增量。微分的幾何意義4.3.1 微分的概念第11頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三5基本初等函數(shù)的微分公式根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分.由此可以得到基本初等函數(shù)的微分公式。例如：4.3.1 微分的概念第12頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三4.3.2 微分法則與微分不變性 設(shè)函數(shù)

5、在 處可導(dǎo),定理4.3.2 這里為書寫方便將 簡(jiǎn)記為 （3） .（2） ；處可微，且 （1） ；（四則運(yùn)算）則 、 和在第13頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三定理4.3.3 （復(fù)合運(yùn)算）其中 和 均可微，則函數(shù) 設(shè)有復(fù)合函數(shù) ，也可微，且 因此，無(wú)論是自變量，還是中間變量，微分公式微分形式的不變性的形式保持不變，將此性質(zhì)稱為4.3.2 微分法則與微分不變性 第14頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三求函數(shù) 的微分 例4解4.3.2 微分法則與微分不變性 第15頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三例5解（1）將下面給出的微分形

6、式寫成某一函數(shù)的微分： （1） ； （2） ；（2） （3）（4） （3） ； （4） .4.3.2 微分法則與微分不變性 第16頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三4.3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 ，有近似公式 若函數(shù) 在 處可微，則對(duì)于充分小它說明：用線性函數(shù) 來(lái)近似時(shí)，所產(chǎn)生的誤差是 的高階無(wú)窮小，即第17頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三使用原則:4.3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 特別當(dāng)很小時(shí),第18頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三利用微分計(jì)算 的近似值。例6函數(shù)為. 設(shè)解則利用公式函數(shù)為則利用公式得4.3.3

7、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第19頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三例7證 令，則由近似公式有證明近似公式 ，由此公式計(jì)算的近似值并通過圖形觀察，考察當(dāng)時(shí)， x 應(yīng)在什么范圍取值？ 4.3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第20頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三，下面估計(jì)使不等式成立的的范圍4.3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第21頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三常見的近似公式有：這里要求 (1)(2)(3)(4)(5)4.3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第22頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三例8解將

8、麥克風(fēng)的插頭視為圓柱形，其截面半徑 ，長(zhǎng) ，為了提高它的導(dǎo)電性能，要在插頭的側(cè)面鍍上一層厚為 的純銅，試估算一下鍍一個(gè)這樣的插頭需要多少克銅？（銅的比重為 ） 用初等方法完全可以解決這個(gè)問題，所需要的銅為 不過此時(shí)計(jì)算量較大用微分的方法來(lái)估算4.3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第23頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三因?yàn)楫?dāng) 較小時(shí)有 由于 當(dāng) ， ， 時(shí)，所以，鍍一個(gè)這樣的插頭估計(jì)需要純銅例8將麥克風(fēng)的插頭視為圓柱形，其截面半徑 ，長(zhǎng) ，為了提高它的導(dǎo)電性能，要在插頭的側(cè)面鍍上一層厚為 的純銅，試估算一下鍍一個(gè)這樣的插頭需要多少克銅？（銅的比重為 ） 4.3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第24頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2. 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計(jì)算第25頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)31分，星期三2. 設(shè)由方程確定,求1. 設(shè) 且則思考與練習(xí)解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時(shí)由上式得第26頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，23