大工13秋《應(yīng)用統(tǒng)計》輔導(dǎo)資料五

1、應(yīng)用統(tǒng)計輔導(dǎo)資料五主題：第二章 隨機變量及其分布 1 3 節(jié)學(xué)習(xí)時間：2013 年 10 月 28 日11 月 3 日內(nèi) 容：這周我們將學(xué)習(xí)第二章隨機變量及其分布 13 節(jié)，概率論的核心是隨機變量及其 概率分布。本章引入隨機變量的概念，為了全面刻畫隨機變量，又引入了隨機變量分布 函數(shù)的概念。討論了離散型和連續(xù)型兩類隨機變量。本周主要討論離散型隨機變量，其 學(xué)習(xí)要求及需要掌握的重點內(nèi)容如下：1、了解隨機變量的概念2、掌握離散型隨機變量的描述方法3、熟練掌握“ 0-1”分布、二項分布、泊松（Poisson ）分布基本概念：隨機變量的概念知識點：離散型隨機變量的描述方法；離散型隨機變量中的二項分布、

2、泊松分布1 、為方便理解，我們將主要概念及其性質(zhì)總結(jié)如下：隨機變量及離散型隨機變量的概念及特點隨機變量的概念：對于隨機試驗的每 一個基本的可能結(jié)果，我們都可以賦予一 個實數(shù)與之對應(yīng)。由于隨機試驗的不確定 性，該試驗隨著試驗結(jié)果的不同而變化， 并且一旦試驗實現(xiàn)了，該實數(shù)的取值也就 確定了。我們稱這種依賴于某個隨機試驗 的結(jié)果，并且由試驗結(jié)果完全確定的變量 為隨機變量。定義：對于實驗的每一結(jié)果，都可以用 一個實數(shù)X（）來表征。是實驗結(jié)果的函數(shù) 稱X（）為隨機變量。隨機變量的基本特點：1 ）變異性（即對于 不同的試驗結(jié)果，它可能取不同的值，因 此是變量而不是常量）2）隨機性（由于試驗中究竟出現(xiàn)哪種

3、結(jié)果是隨機的，因此該變量取何值是在試 驗之前事先無法確定的）離散 取有限個. 定義：設(shè)值為記pk 率函數(shù)， 分布列：X型隨機變量：若隨機變量X只能 或可列個值，稱X為離散型變量。X為離散型隨機變量，其可能取=PX = x ,k = 1,2,.為 X 的概 k或為X的概率分布。x xx12n離散型隨機變量基本性質(zhì)：1 ）非負性P 0i2 ）歸一性 Y p =1nnpP PP12n常用的離散型隨機變量的分布“0-1”分布：設(shè)X為離散型隨機變量，其概率分布為PX = 1 = p,PX = 0 = q，則稱 X服從參數(shù)為p的“01”分布。XB(l,p)它是離散型隨機變量分布中最簡單的一種?！?1”分布

4、的隨機變量用來描述只有 兩種對立結(jié)果的試驗，這類試驗稱為伯努利試驗。PX k pk (1 - p)i-k,k = 0,1二項分布：設(shè)X為離散型隨機變量，其概率分布為PX m Cmpmqn-m,m - 0,1,2,.n n其中0 p 1,q 1 - p,則稱X服從參數(shù)n,p的二項分布。記為XB(n,p)。對于O m 0,則稱X服從參數(shù)為九的泊松分布。記為XP(九)。 TOC o 1-5 h z 利用級數(shù)區(qū)巴ex易知區(qū)匕e-x 1 m!m!m0m0定理(泊松定理)：在n重伯努利試驗中，成功次數(shù)X服從二項分布，假設(shè)每次試驗成 功的概率為p (0 p 0,則對于任何非負整數(shù)m，有nnnxm xm 、e

5、-Xm!lim P X m lim Cmpm （1 一 p ） n-mn nansns(此式不要求證明)據(jù)此定理，對于成功率為p的n重伯努利試驗，只要n充分大，而p充分小，則其 成功次數(shù)X近似地服從參數(shù)X np的泊松分布。即對于任何非負整數(shù)m： 0 m n，有P X = m = Cmpm(1 p) nmn(np ) m沁e 一 npm!實際應(yīng)用中，n (np ) m沁e 一 npm!2、典型例題解析題型1：根據(jù)實際意義，用隨機變量描述試驗結(jié)果題型 2：確定離散型隨機變量的概率分布題型 3：二項分布題型 4：泊松分布例 1、設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的 2 倍，試用一個隨機變量描述該試驗的結(jié)果

6、題型 1）解:設(shè)隨機變量X表示一次試驗的成功次數(shù)，則X只取1和0兩個值，即事件X = 1與X = 0分別表示試驗成功和試驗失敗，依題意PX = 1 = 2PX = 021根據(jù) PX = 1 + PX = 0 = 1，有 PX = 1 = 3,PX = 0 = 3例 2、設(shè) 10 件產(chǎn)品中恰好有 2 件次品，現(xiàn)在接連進行不放回抽樣，每次抽一件直 到取到正品為止。求抽取次數(shù) X 的概率分布列（題型 2）PX22 x 810 x 945解：依題意， X 是離散型隨機變量，當取到次品時，不放回繼續(xù)抽取，若取到正品 則停止抽取。因為10件中只有2件次品，所以最多抽取3次就可以取到正品，因此X PX22

7、x 810 x 945X123481P54545PX32 x 1 x 810 x 9 x 845即 X 的分布列為：例 3、一批產(chǎn)品的合格率為 0.9，重復(fù)抽?。ㄈ〕龅拿考a(chǎn)品在下次抽取前送回）三件：每次一件，連續(xù)3次。求3次中取到的合格品件數(shù)X的概率分布（題型3）解：隨機變量X可以取0，1，2，3共4個值。由于是重復(fù)抽取，各次抽取結(jié)果不 受其他次抽取情況的影響，即各次抽取結(jié)果是相互獨立的。事件“X=0”表示“3次均未取到合格品” 事件“X=1 ”表示“3次中只有1次取到 合格品”，而3 次中的任意一次取到合格品，另兩次未取到合格品的概率都是0.9x0.12 = 0.009，“X=1”是所有C1個這樣的互不相容事件的和，由概率的可加性,3P X 二 1二 C1 X 0.9 X 0.12 二 0.027。類似地，P X 二 2二 C2 x 09 x 0.1 二 0.243。33其概率分布列表示如下：X0123p0.0010.0270.2430.729例 4、一袋重量為 500 克的種子約 10000 粒，假設(shè)該袋種子的