6.2.2 平面向量的數(shù)量積（精講）（解析版）

1、 12/126.2.2 平面向量的數(shù)量積（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考法一 向量的數(shù)量積【例1】（1）（2021巴音郭楞蒙古自治州）已知，與的夾角為60，則_.（2）（2021江蘇高一）已知是邊長為6的正三角形，求=_（3）（2020江西宜春市高一期末）邊長為2的菱形中，、分別為，的中點，則 【答案】（1）10（2）（3）【解析】（1）.故答案為：10.（2）如圖是邊長為的正三角形，所以，所以，故答案為：（3）由題意畫出示意圖，如圖，則.【一隅三反】1（2020全國高一）在中，則的值為（ ）AB5CD【答案】D【解析】，.故選：D.2（2020全國高一）若，則的最大值為_.【答案】

2、6【解析】，所以.故答案為:3（2020福建泉州市高一期末）平行四邊形中，是線段的中點，則（ ）A0B2C4D【答案】C【解析】如圖，根據(jù)題意：，且，故選：4（2021江蘇高一）在邊長為1的等邊三角形中，是邊的中點，是線段的中點，則（ ）ABC1D【答案】B【解析】因為在邊長為1的等邊三角形中，是邊的中點，是線段的中點，所以，因此.故選：B.考法二 向量的夾角【例2】（1）（2021廣東潮州）已知平面向量，滿足，且，則向量與向量的夾角余弦值為（ ）A1B-1CD-（2）（2021河南信陽市）若兩個非零向量，滿足，則向量與的夾角為( )ABCD【答案】（1）C（2）D【解析】（1）平面向量，滿足

3、，且，解得.故選：C（2）非零向量，滿足，平方得，即 ，則，由，平方得得，即則， 則向量與的夾角的余弦值 ， ，故選D.【一隅三反】1（2021膠州市）已知，則與的夾角為_.【答案】【解析】根據(jù)已知條件，去括號得：，所以，故答案為：2（2021河南）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為 【答案】120【解析】.設(shè)向量與向量的夾角為則.又，所以3（2021陜西西安市）若兩個非零向量，滿足，則向量與的夾角是_【答案】【解析】因為兩個非零向量，滿足，所以，即，所以，設(shè)向量與的夾角為，則因為，所以故答案為：考法三 向量的投影【例3】（1）（2020四川綿陽市三臺中學(xué)實驗學(xué)校高一月考）已知向量，且與的

4、夾角為，則在方向上的投影為（ ）ABCD（2）（2020江西宜春市高一期末）已知，為單位向量，則在上的投影為（ ）ABCD【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因為向量，且與的夾角為所以，故選：B（2）因為，為單位向量，所以，又，所以所以，即，所以，則，所以在上的投影為.故選：C.【一隅三反】1（2020合肥市第六中學(xué)高一月考）已知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影為（ ）A1B2C3D4【答案】A【解析】由題意，所以向量在向量方向上的投影為.故選：A.2（2020江西省崇義中學(xué)）設(shè)向量滿足，且，則向量在向量上的投影的數(shù)量為( )A1BCD【答案】D【解析】,.,向量在向量上的投影的數(shù)

5、量為.故選：D.3（2020全國高一專題練習(xí)）設(shè)向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）ABCD【答案】D【解析】，.，.設(shè)與方向相同的單位向量為，向量和向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為.故選:D.4（2020安徽蚌埠市高一期末）設(shè)單位向量、的夾角為，則在方向上的投影為（ ）ABCD【答案】A【解析】依題意得，因此在方向上的投影為，故選A.考法四 向量的模長【例4】（2020河北邢臺市）已知，且向量與的夾角為，則（ ）AB3CD【答案】A【解析】因為，與的夾角為，所以，則.故選：A.【一隅三反】1.（2020臺州市金清中學(xué)高一期末）已知，與的夾角為，那么等于 【答案】【解析】，.

6、2（2020四川省敘永縣第一中學(xué)校高一期中）已知、滿足：，則_.【答案】【解析】，因為，所以，所以，可得，故答案為：.3（2020廣東佛山市高一期末）已知，則的最大值等于 【答案】【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，4（2020浙江杭州市高一期末）若平面向量滿足，則_【答案】【解析】因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以.故答案為：考法五 平面向量運算的綜合運用【例5-1】（2020黃梅國際育才高級中學(xué)高一期中）已知平面向量，在下列命題中：為單位向量，且，則；存在唯一的實數(shù)，使得；若且，則；與共線，與共線，則與共線；.正確命題的序號是（ ）ABCD【答案】C【解析】因為為單位向量，且，

7、所以，則，故正確；若，滿足，但不能推出存在唯一的實數(shù)，使得，故錯誤；向量的數(shù)量積運算不滿足消去律，故錯誤；若，則與不一定共線，故錯誤；由于，所以，故正確故選：C【例5-2】（2020全國高一）如圖所示，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于、的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值為（ ）AB4C-5D5【答案】A【解析】因為點是線段的中點，所以向量，所以，又因為向量，方向相反，所以.故選：A.【一隅三反】1（2020北京朝陽區(qū)人大附中朝陽學(xué)校高一期末）已知非零平面向量，下列結(jié)論中正確的是（ ）（1）若，則；（2）若，則（3）若，則（4）若，則或A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（2）（3）（4）【答案】B【解析】已知非零平面向量，（1）若，則，所以或，即（1）錯；（2）若，則與同向，所以，即（2）正確；（3）若，則，所以，則；即（3）正確；（4）若，則，所以，不能得出向量共線，故（4）錯；故選：B.2（2020湖北高一期末）已知兩個非零向量，的夾角為，且，則的取值范圍是（ ）A BC D【答案】C【解析】因為，所以 ，所以，即，由基本不等式的性質(zhì)可知，所以故選：C3（2020浙江杭州市高一期末）已知向量，滿足，若對任意模為2的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】由，若對任意模為2的向量，均有可得：可得:,平方得到，即故選：B4