【八年級(jí)數(shù)學(xué)講義】反比例函數(shù)-教師講義

1、青 藍(lán) 教 育 教 師 輔 導(dǎo) 講 義年 級(jí)： 九年級(jí) 課 時(shí) 數(shù)：3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：課程主題 反比例函數(shù)授課類型T 理解反比例函數(shù)的概念和意義C 進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)T 會(huì)解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題授課日期時(shí)段年 月 日 A段（8：00-10：00）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解反比例函數(shù)的概念和意義，能根據(jù)問(wèn)題的反比例關(guān)系確定函數(shù)解析式2. 能根據(jù)解析式畫出反比例函數(shù)的圖象，初步掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)3. 會(huì)用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)4. 會(huì)解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、反比例函數(shù)的定

2、義如果兩個(gè)變量的每一組對(duì)應(yīng)值的乘積是一個(gè)不等于零的常數(shù)，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數(shù).一般地，形如 (為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）在中，自變量是分式的分母，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，所以自變量的取值范圍是，函數(shù)的取值范圍是.故函數(shù)圖象與軸、軸無(wú)交點(diǎn).（2） ()可以寫成()的形式，自變量的指數(shù)是1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.（3） ()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.要點(diǎn)二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式 確定反比例函數(shù)

3、關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是： （1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為： ()；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程求出待定系數(shù)的值；（4）把求得的值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式 中.要點(diǎn)三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、 反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，永遠(yuǎn)不會(huì)與軸、軸相交，只是無(wú)限靠近兩坐標(biāo)軸.要點(diǎn)詮

4、釋：（1）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，) 中，由于，所以兩個(gè)分支都無(wú)限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以O(shè)為中心，在0的兩側(cè)取三對(duì)（或三對(duì)以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時(shí)，只需計(jì)算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對(duì)應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點(diǎn)：描出一側(cè)的點(diǎn)后，另一側(cè)可根據(jù)中心對(duì)稱去描點(diǎn)；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點(diǎn)并延伸，連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢(shì)，但永遠(yuǎn)

5、不與坐標(biāo)軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號(hào)決定的：當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi) 3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而減?。?（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而增大； 要點(diǎn)詮釋：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號(hào)決定的；反過(guò)來(lái)，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號(hào).要點(diǎn)四：反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過(guò)雙曲線() 上任意一

6、點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過(guò)雙曲線() 上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為. 要點(diǎn)詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.【典型例題】類型一、反比例函數(shù)的定義1、在下列函數(shù)關(guān)系式中，哪些函數(shù)表示是的反比例函數(shù)？（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；（6）； （7）； （8）（，是常數(shù)）解：根據(jù)反比例函數(shù)的形式及其關(guān)系式，可知反比例函數(shù)有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)【總結(jié)升華】根據(jù)反比例函數(shù)的概念，必須是形如(為常數(shù)，)的函數(shù)，才是反比例函數(shù)如(2)(3)(6)(8)均

7、符合這一概念的要求，所以它們都是反比例函數(shù)但還要注意(為常數(shù)，)常見的變化形式，如，等，所以(4)(7)也是反比例函數(shù)在(5)中，是的反比例函數(shù)，而不是的反比例函數(shù)(1)中是的正比例函數(shù)類型二、確定反比例函數(shù)的解析式2、已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)A(，1) 求此正比例函數(shù)的關(guān)系式及另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)解： 因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(，1)，則，所以3把A(3，1)代入中，得，所以所以正比例函數(shù)關(guān)系式為由 得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，1)舉一反三：已知與成反比，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，值為多少？解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以，則24， 所以有當(dāng)時(shí)，類型三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、在函數(shù)（為常數(shù)）

8、的圖象上有三點(diǎn)()，()，()，且，則的大小關(guān)系是（ ）【答案】D；A B C D 【解析】解：因?yàn)?，所以函?shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，且在第二、四象限內(nèi)，隨的增大而增大因?yàn)椋砸驗(yàn)樵诘谒南笙?，而，在第二象限，所以所以舉一反三：已知的圖象是雙曲線，且在第二、四象限，(1)求的值(2)若點(diǎn)(2，)、(1，)、(1，)都在雙曲線上，試比較、的大小解：(1)由已知條件可知：此函數(shù)為反比例函數(shù)，且， .(2)由(1)得此函數(shù)解析式為： (2，)、(1，)在第二象限，21， 而(1，)在第四象限， 【變式2】若A(，)、B(，)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)、滿足_時(shí)，.【答案】或或； 解：的圖象在一、三象限，在每個(gè)

9、象限內(nèi)，隨著的增大，函數(shù)值減小，所以或時(shí)，.當(dāng)B點(diǎn)在三象限，A點(diǎn)在一象限， 即，也滿足.類型四、反比例函數(shù)綜合4、已知點(diǎn)A(0，2)和點(diǎn)B(0，2)，點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，如果PAB的面積是6，求P點(diǎn)的坐標(biāo)解：如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)P作PC軸于點(diǎn)C A(0，2)、B(0，2)， AB4又 且， ， ， 又 在曲線上， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， P的坐標(biāo)為或舉一反三：已知：如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于A、B，作AC軸于C，連BC，則ABC的面積為3，求反比例函數(shù)的解析式解：由雙曲線與正比例函數(shù)的對(duì)稱性可知AOOB，則設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，而AC|，OC|，于是， ，而由得，所以，

10、所以反比例函數(shù)解析式為一.選擇題1. 點(diǎn)（3,4）在反比例函數(shù)的圖象上，則在此圖象上的是點(diǎn)（ ）A（3，4）B（2，6）C（2，6）D（3，4）2. 若反比例函數(shù)的圖象在其每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，則的值可以是（ ）A1B3C0D33.下列四個(gè)函數(shù)中：； 隨的增大而減小的函數(shù)有（ ）A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè)4. 在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，且，則的值為（ ）A. 正數(shù) B. 負(fù)數(shù) C. 非正數(shù) D. 非負(fù)數(shù)5. 函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（ ）6. 已知反比例函數(shù)，下列結(jié)論中不正確的是（）A.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）B.圖象在第一、三象限C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大

11、二.填空題7. 若是的反比例函數(shù)，是的正比例函數(shù)，則是的_函數(shù)8. 已知反比例函數(shù)的圖象，在每一象限內(nèi)隨的增大而減小，則反比例函數(shù)的解析式為 9. 已知函數(shù)的圖象在第一、三象限，則的取值范圍為 10. 已知直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）則_；_；它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是_11. 如圖，如果曲線是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，且過(guò)點(diǎn)A (2，1)， 那么與關(guān)于軸對(duì)稱的曲線的解析式為 (). 12. 已知正比例函數(shù)的圖象與雙曲線的交點(diǎn)到軸的距離是1, 到軸的距離是2,則雙曲線的解析式為_.三.解答題13. 已知反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，12)，且雙曲線位于第二、四象限，求的值14.若與成

12、反比例，且時(shí)(1)求與函數(shù)關(guān)系式(2)求16時(shí)的值15. 已知點(diǎn)A(，2)、B(2，)都在反比例函數(shù)的圖象上(1)求、的值；(2)若直線與軸交于點(diǎn)C，求C關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】由題意得，故點(diǎn)（2，6）在函數(shù)圖象上.2.【答案】B；【解析】由題意知10，1，故選B.3.【答案】B；【解析】只有，注意不要錯(cuò)誤地選了，反比例函數(shù)的增減性是在每一個(gè)象限內(nèi)討論的.4.【答案】A；【解析】函數(shù)在二、四象限，隨的增大而增大，故.5.【答案】B；【解析】分0，和0分別畫出圖象，只有B選項(xiàng)是正確的.6.【答案】D；【解析】D選項(xiàng)應(yīng)改為，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小.二.填

13、空題7.【答案】反比例；【解析】由題意，代入求得，故是的反比例函數(shù).8.【答案】；【解析】由題意，解得.9.【答案】；【解析】由題意比例系數(shù)0，故.10.【答案】 ； (1，2)；【解析】另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)與A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.11.【答案】；12.【答案】或；【解析】由題意交點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為2，交點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為1，故可能是點(diǎn)（2，1）或（2，1）或（2，1）或（2，1）.三.解答題13.解：根據(jù)點(diǎn)在圖象上的含義，只要將(3，12)代入中，得， 6又 雙曲線位于第二、四象限， 0， 614.解：(1) 與成反比例， 設(shè)將2，代入得：， 與的函數(shù)關(guān)系式為(2)當(dāng)16時(shí)，解得：15.解：（1）將點(diǎn)

14、A(，2)、B(2，)的坐標(biāo)代入得：，解得；，所以.（2）直線為， 令，所以該直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C（1,0），C關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0) 一.選擇題1. 在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，有，則的取值范圍是（ ） A B C D2. 如圖所示的圖象上的函數(shù)關(guān)系式只能是( ) A. B. C. D. 3. 已知，點(diǎn)P()在反比例函數(shù)的圖像上，則直線不經(jīng)過(guò)的象限是( ).A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，則函數(shù)值、的大小關(guān)系是（ ）.A B C D5. 如圖，過(guò)軸上任意一點(diǎn)P，作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖

15、象交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，若C為軸上任意一點(diǎn)，連接AC，BC，則ABC的面積為（）A.3 B.4 C.5 D.66. 如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OA的中點(diǎn)D，且與直角邊AB相交于點(diǎn)C若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，4），則AOC的面積為（）A.12 B.9 C.6 D.4二.填空題7. 如圖所示是三個(gè)反比例函數(shù)、的圖象，由此觀察得到、的大小關(guān)系是_（用“”連接）.8. 如圖，矩形ABCD的邊AB與y軸平行，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B與點(diǎn)D在反比例函數(shù)（0）的圖象上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_9.設(shè)P（），Q（）是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)則 10.已知A（），B（）都在 圖象上若，則的值為_11. 如

16、圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（0）的圖象交于點(diǎn)A，若取1，2，320，對(duì)應(yīng)的RtAOB的面積分別為，則 _. 12. 如圖所示，點(diǎn)，在x軸上，且，分別過(guò)點(diǎn)， 作軸的平行線，與反比例函數(shù)（0）的圖象分別交于點(diǎn)，,分別過(guò)點(diǎn)，作軸的平行線，分別于軸交于點(diǎn)，,連接，,那么圖中陰影部分的面積之和為_.三.解答題13. 如圖所示，已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)C，CD垂直于軸，垂足為D，且OAOBOD1(1)求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；(2)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式14. 如圖所示，已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)第一象限上的點(diǎn)M(，)(在A點(diǎn)左側(cè))

17、是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B作BD軸交于x軸于點(diǎn)D過(guò)N(0，)作NC軸交雙曲線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C(1)若點(diǎn)D坐標(biāo)是(8，0)，求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及的值(2)若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式15. 如圖所示，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(1，4)和B(，2)(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式(2)觀察圖象，寫出使的自變量的取值范圍(3)如果點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于軸稱，求ABC的面積一.選擇題1.【答案】C；【解析】由題意畫出圖象，只能在一、三象限，故.2.【答案】D； 【解析】畫出的圖象，再把軸下方的圖象翻折上去.3.【答案】C；【解析】由題意，故0，直線經(jīng)過(guò)一、二、四象

18、限.4.【答案】D；【解析】，故圖象在二、四象限，畫出圖象，比較大小得D答案.5.【答案】A；【解析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（），ABC的面積為.6.【答案】B；【解析】由題意，D點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2），故，求得C點(diǎn)坐標(biāo)為（6,1），AOC的面積為.二.填空題7. 【答案】；8. 【答案】（3，6）；【解析】由題意B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），因?yàn)锳BCD是矩形，故C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6）.9.【答案】；【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在反比例函數(shù)圖象上，所以， .10.【答案】12；【解析】由題意所以，因?yàn)?，所?2.11.【答案】105；【解析】AOB的面積始終為，故.12.【答案】；【解析】（）第一個(gè)陰影部分面積等于4；（），用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（），第二個(gè)陰影面積為1；（），求出直線的解析式，再求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（），第三個(gè)陰影部分面積為，所以陰影部分面積之和為.三.解答題13.【解析】解：(1) OAOBOD1， 點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(0，1)，D(1，0)(2) 點(diǎn)A、B在一次函數(shù)的圖象上， 解得所以一次函數(shù)的表達(dá)式是又 點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上，且CD軸， C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，又 點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上， 2 反比例函數(shù)的表達(dá)式為14.【解析