廣東省揭陽市紫賢中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

1、廣東省揭陽市紫賢中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則它的導(dǎo)函數(shù)的圖象可以是（ ）A. B. C. D. 參考答案：D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系可排除；根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)變號零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可排除.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)；可排除當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，可排除本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，關(guān)鍵是能夠明確函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)、零點(diǎn)之間的關(guān)系.2. 圓截直線所得的弦長是 （ ）A2 B1 C D

2、參考答案：A3. ABC中，若c=，則角C的度數(shù)是( )A.60 B.120 C.60或120 D.45參考答案：B4. 已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+4r，則 r=( )A B C. D. 1參考答案：A5. 直線 與圓相交于，兩點(diǎn)，若， 則的取值范圍是 （ ） A、 B、 C、 D、 參考答案：D6. 數(shù)列,前n項(xiàng)和為（ ） 參考答案：A7. 命題“”的否定是（ ）A. B.C. D. 參考答案：D8. 設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則（ ）A B C D參考答案：B9. 設(shè)雙曲線=1的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若PF1與雙曲線的一條漸近線平行，則?=（）ABCD

3、參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】求得雙曲線的a，b，c，可得兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，可設(shè)PF1與直線平行，求得平行線的方程代入雙曲線的方程，求得P的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值【解答】解：由雙曲線=1的a=，b=1，c=2，得F1（2，0），F(xiàn)2（2，0），漸近線為，由對稱性，不妨設(shè)PF1與直線平行，可得，由得，即有，?=+（）2=故選B10. 已知集合A，B，則AB等于()A1,3 B1,5 C3,5 D1，)參考答案：C【分析】求出中不等式的解集確定出，求出中的范圍確定出，找出與的交集即可【詳解】由中不等式變形可得：，解得由中得到，即則故選二、 填空題

4、:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 在我國明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的九章算術(shù)比類大全中，有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）根據(jù)此詩，可以得出塔的頂層和底層共有 盞燈參考答案：195【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，然后由等比數(shù)列的前7項(xiàng)和等于381列式計(jì)算即可【解答】解：由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，設(shè)塔的頂層燈的盞燈為x，則x+2x+4x+8x+16x+3

5、2x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的頂層和底層共有x+64x=195盞燈故答案為：19512. 在z軸上與點(diǎn)A（4，1，7）和點(diǎn)B（3，5，2）等距離的點(diǎn)C的坐標(biāo)為 參考答案：（0，0，）【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式【分析】根據(jù)C點(diǎn)是z軸上的點(diǎn)，設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)（0，0，z），根據(jù)C點(diǎn)到A和B的距離相等，寫出關(guān)于z的方程，解方程即可得到C的豎標(biāo)，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)【解答】解：由題意設(shè)C（0，0，z），C與點(diǎn)A（4，1，7）和點(diǎn)B（3，5，2）等距離，|AC|=|BC|，=，18z=28，z=，C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0，）故答案為：（0，0，）13. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，C上一點(diǎn)

6、P滿足，則PF1F2的內(nèi)切圓面積為 參考答案：4【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)橢圓的方程，算出a=5且焦距|F1F2|=2c=10設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，根據(jù)橢圓的定義和勾股定理建立關(guān)于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF1|?|PF2|=48，結(jié)合直角三角形的面積公式，可得PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=24，再由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），求得r，即可得到所求內(nèi)切圓的面積【解答】解：橢圓，a2=49，b2=24，可得c2=a2b2=25，即a=7，c=5，設(shè)|PF1|=m，|P

7、F2|=n，則有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100，可得2mn=96，即mn=48，|PF1|?|PF2|=48，PF1PF2，得F1PF2=90，PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=48=24，由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=r?（2a+2c）=12r（r為內(nèi)切圓的半徑），由12r=24，解得r=2，則所求內(nèi)切圓的面積為4故答案為：4【點(diǎn)評】本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題14. 某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：307：50之間到校，且每人在該時(shí)

8、間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 （用數(shù)字作答）參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型【專題】概率與統(tǒng)計(jì)【分析】設(shè)小張到校的時(shí)間為x，小王到校的時(shí)間為y（x，y）可以看成平面中的點(diǎn)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?（x，y|30 x50，30y50是一個(gè)矩形區(qū)域，則小張比小王至少早5分鐘到校事件A=（x，y）|yx5作出符合題意的圖象，由圖根據(jù)幾何概率模型的規(guī)則求解即可【解答】解：設(shè)小張到校的時(shí)間為x，小王到校的時(shí)間為y（x，y）可以看成平面中的點(diǎn)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?（x，y|30 x50，30y50是一個(gè)矩形區(qū)域，對應(yīng)的面積S=2020=400，則小張比小王至少早

9、5分鐘到校事件A=x|yx5作出符合題意的圖象，則符合題意的區(qū)域?yàn)锳BC，聯(lián)立得C（45，50），聯(lián)立得B（30，35），則SABC=1515，由幾何概率模型可知小張比小王至少早5分鐘到校的概率為=，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查幾何概率模型與模擬方法估計(jì)概率，求解的關(guān)鍵是掌握兩種求概率的方法的定義及規(guī)則，求出對應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵15. 記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，則不同的排法有 參考答案：14416. 若兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別是Sn，Tn，已知=，則等于參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公

10、式可得=，代值計(jì)算可得【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得： =故答案為：17. 不等式x2+2x30的解集是參考答案：?【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法【分析】把不等式化為x22x+30，計(jì)算0，判斷原不等式的解集是?【解答】解：不等式x2+2x30化為x22x+30，=4413=80，不等式對應(yīng)的方程無實(shí)數(shù)解，所以原不等式的解集是?故答案為：?三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 設(shè)橢圓C：過點(diǎn)（0，4）離心率為（1）求C的方程； （2）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段中點(diǎn)坐標(biāo)參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系；K3：橢

11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）由題意可知：b=4，根據(jù)橢圓離心率公式即可求得b的值，求得橢圓方程；（2）由點(diǎn)斜式方程求得直線AB方程，代入橢圓方程，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：（1）由橢圓C：過點(diǎn)（0，4），則b=4橢圓離心率為e=，則a=5，C的方程為；（2）過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程為y=（x3），設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），將直線方程y=（x3）代入C的方程，得x23x8=0，解得x1=，x2=，AB的中點(diǎn)M（x0，y0）坐標(biāo)x0=，y0=（x1+x16）=，即中點(diǎn)為（，）19. 已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)（1）求的最小

12、值（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍參考答案：見解析解：（）因?yàn)閷τ谌我夥橇銓?shí)數(shù)和恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值等于（）因?yàn)楹愠闪ⅲ什淮笥诘淖钚≈涤桑ǎ┛芍淖钚≈档扔趯?shí)數(shù)的取值范圍即為不等式的解，解不等式得20. 如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面，為的中點(diǎn)，在棱上，且， （1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）若為的中點(diǎn)，問上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，說明點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由參考答案：解一：（1）取AC的中點(diǎn)H，因?yàn)?ABBC，所以 BHAC因?yàn)?AF3FC，所以 F為CH的中點(diǎn)因?yàn)?E為BC的中點(diǎn)，所以 EFBH則EFAC因?yàn)?

13、BCD是正三角形，所以 DEBC因?yàn)?AB平面BCD，所以 ABDE因?yàn)?ABBCB，所以 DE平面ABC所以 DEAC因?yàn)?DEEFE，所以 AC平面DEF（2）（3）存在這樣的點(diǎn)N，當(dāng)CN時(shí)，MN平面DEF連CM，設(shè)CMDEO，連OF由條件知，O為BCD的重心，COCM所以 當(dāng)CFCN時(shí)，MNOF所以 CN解二：建立直角坐標(biāo)系略21. 某廠家擬在“五一”節(jié)舉行大型促銷活動(dòng)，經(jīng)測算某產(chǎn)品銷售價(jià)格x（單位：元/件）與每日銷售量y（單位：萬件）滿足關(guān)系式y(tǒng)=+2（x5）2，其中2x5，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為3元時(shí)，每日銷售量10萬件（1）求a的值；（2）若該商品的成本為2元/件，試確定銷售價(jià)格

14、x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大參考答案：【分析】（1）由f（3）=10代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對應(yīng)的x值【解答】解：（1）因?yàn)閤=3時(shí)，y=10，所以a+8=10，故a=2；（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量y=+2（x2）2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f（x）=（x2）+2（x5）2=2+2（x2）（x5）2，從而，f（x）=6（x5）（x3），于是，當(dāng)x變化時(shí)，f（x）、f（x）的變化情況如下表：x（2，3）3（3，5）f（x）+0f（x）單調(diào)遞增極大值10單調(diào)遞減由上表可得，x=3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，5）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)所以，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于10，答：當(dāng)銷售價(jià)格為3元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大22. 已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；（）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍參考答案：（）當(dāng)時(shí)，其定義域是