主題從西歐多樂斯輪談起-科展設計匯總課件

1、科展設計主 題:從西歐多樂斯輪談起設 計 者:林進發(fā)老師科展設計主 題:從西歐多樂斯輪談起從西歐多樂斯輪談起一.研究動機 二.研究目的五.研究結果三.研究設備器材四.研究過程八.參考資料七.結論六.討論從西歐多樂斯輪談起一.研究動機 二.研究目的五.研究結果三.研究動機： 在數(shù)學第三冊第三章介紹商高定理時，曾 經(jīng)提到以西歐多樂斯輪幫助我們在數(shù)線上畫出 長度 的線段(如圖一) 。類似西歐多樂斯輪的 造圖法，依其規(guī)則可以畫出下列不同的造型， 使每個直角三角形都是等腰直角三角形，對於 這一類圖形的線段長及面積和的計算，引起我 們相當?shù)呐d趣(如圖二) 。研究動機：圖一:西歐多樂斯輪圖二:類似西歐多樂斯

2、輪 1 1 1圖一:西歐多樂斯輪圖二:類似西歐多樂斯輪 二.研究目的： 以歸納推演的方式，應用商高定理、等比級數(shù)和公式來求得圖形的線段總長度與所有直角三角形總面積，並舉例說明。 三.研究設備器材： 筆、尺、圓規(guī)、橡皮擦。二.研究目的：三.研究設備器材：四.研究過程： 何謂西歐多樂斯輪：在西元前425年古希臘哲學家西歐多樂斯， 發(fā)現(xiàn)下圖的造法（他只作到 ），我們稱之為西歐多樂斯輪 （The Wheel of Theodorus），它可以幫助我們在數(shù) 線上畫出長 度為 的線段。 (2)集並瞭解應用公式的由來： 1.梯形面積：(上底+下底)高2 由來：設一梯形上底a、下底b、高h，我們可以把兩個相同

3、 的梯形併成一個 平行四邊形，如圖三 a b h b a 圖三:梯形面積 則平形四邊形的面積為(a+b)h，梯形面積為平行四邊形面積的一半 (a+b)h2即為所求。四.研究過程： (2)集並瞭解應用公式的由來： 2.商高定理：一個直角三角形的斜邊平方等於其兩股的平方和。 由來：設一直角三角形兩股長分別為a、b，斜邊長為c，我們可以 將相同的兩個直角三角形排成如圖四而成一個梯形 c c b a b a 圖四:商高定理則梯形面積等於三個直角三角形的面積和即 (a+b)(a+b)2 ab2 c2 兩邊同乘以2得 (a+b)(a+b)2 abc2 a22abb22 abc2 a2b2c2 即為所求。2

4、.商高定理：一個直角三角形的斜邊平方等於其兩股的平方和。 3.等比級數(shù)：在一等比級數(shù)中，若首項為a，公比為r，項數(shù)為n， 則其總和為S (r1)；若r1，則S=na。 由來：我們以S表示n項等比級數(shù)的和即 Sa+ar+ar2+arn-1 當r=1時，Sa+a+a+aan 當r1時，由兩邊同乘以r 得rSar+ar2+ ar3+arn 由得 SrSaarn (1-r)Sa(1-rn) S 即為所求。 3.等比級數(shù)：在一等比級數(shù)中，若首項為a，公比為r，項數(shù)為(3)西歐多樂斯輪的作圖： 1.首先作一兩股長為1的等腰直角。則斜邊長為 。 2.以 和1為兩股再作另一個相接連的直角。則斜邊長為 3.以

5、和1為兩股再作另一個相接連的直角。則斜邊長為 4.如此一直作下去的圖形，即得西歐多樂斯輪如圖五。 5.此輪根據(jù)多次作圖，最多能畫出16個直角，第17個其轉角的 和就會超過360度，即會和第一個直角重疊。 圖五:西歐多樂斯輪(3)西歐多樂斯輪的作圖：圖五:西歐多樂斯輪(4)西歐多樂斯輪線段長度和面積的計算：表一:西歐多樂斯輪總長度和面積的計算(4)西歐多樂斯輪線段長度和面積的計算：表一:西歐多樂斯輪總(5)類似西歐多樂斯輪的作圖：1.首先作一兩股長為1的等腰直角。則斜邊長為 。2.以 為兩股再作另一個相接連的等腰直角。3.再以第二次所作等腰直角的斜邊為兩股長作出第三次等腰直角。4.如此類推，一直

6、作下去，就可以作得8個等腰直角相接連為一 個輪狀,如圖六。圖六:類似西歐多樂斯輪(5)類似西歐多樂斯輪的作圖：圖六:類似西歐多樂斯輪(6)類似西歐多樂斯輪線段長度和面積的計算：表二:類似西歐多樂斯輪總長度和面積的計算(6)類似西歐多樂斯輪線段長度和面積的計算：表二:類似西歐多主題從西歐多樂斯輪談起-科展設計匯總課件(7)以另外一種方法來研討上述(6)5的方式： 類似西歐多樂斯輪，在不影響其線段總長度和面積情況下可以作 下圖的轉換。(7)以另外一種方法來研討上述(6)5的方式：由轉換後的圖形可以瞭解，其全部的面積相當於一個大的等腰直角減去 ，而其線段總長度為一等比級數(shù)加上大的直角的斜邊和一股長後

7、減去(1+ )計算如下：由此可知以上兩種方式的計算結果是相等的。由轉換後的圖形可以瞭解，其全部的面積相當於一個大的等腰由此可五.研究結果： 依上述研究過程中，我們得到下面一般的公式： (1)西歐多樂斯輪的作圖法，若作n個直角時，其線段總長為其中a為第一個直角的一股長度。 而其總面積為 (2)類似西歐多樂斯輪的作圖規(guī)則，若n個等腰直角時， 且第一個等腰直角的股長為a時，其線段總長為 而其總面積為五.研究結果：其中a為第一個直角的一股長度。 而其總面積為六.討論：由以上公式，我們可以利用它來解決一些幾何上的問題，這裡我們列舉兩個幾何問題來加以討論。【例題一】設 =10cm，求下列圖形的線段總長和總

8、面積(圖中皆 為等腰直角) B 10cm A六.討論：【例題一】設 =10cm，求下列圖形的【例題二】下圖是由連續(xù)幾個等腰直角有規(guī)則地構成圖形，若此 圖形是由10個等腰直角，且最小的等腰直角面積為 8cm2，試求其總長度、總面積。 【例題二】下圖是由連續(xù)幾個等腰直角有規(guī)則地構成圖形，若此七.結論： 由上面研討過程和結果，我們可以看得出來，類似西歐多樂斯輪的作圖方式，可以轉換為一個大的梯形或四邊形（梯形和三角形構成），而在導引公式當中，應用到商高定理和等比級數(shù)，而所求的公式，可以處理平面幾何的連續(xù)圖形的問題，可見幾何和代數(shù)是可以相互驗證的。八.參考資料： (1)王懷權(1975) ，幾何學發(fā)展史，協(xié)進圖書有限公司。 (2)