奇異值的應(yīng)用-潛在語義索引

1、潛在語義索引（Latent Semantic Indexing）是一個嚴(yán)重依賴于SVD的算法，本文轉(zhuǎn)載自之前 吳軍老師數(shù)學(xué)之美和參考文獻(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)匯總。在自然語言處理中，最常見的兩類的分類問題分別是，將文本按主題歸類（比如將所有介紹 亞運(yùn)會的新聞歸到體育類）和將詞匯表中的字詞按意思?xì)w類（比如將各種體育運(yùn)動的名稱個 歸成一類）。這兩種分類問題都可用通過矩陣運(yùn)算來圓滿地、同時解決。為了說明如何用矩 陣這個工具類解決這兩個問題的，讓我們先來來回顧一下我們在余弦定理和新聞分類中介紹 的方法。分類的關(guān)鍵是計(jì)算相關(guān)性。我們首先對兩個文本計(jì)算出它們的內(nèi)容詞，或者說實(shí)詞的向量， 然后求這兩個向量的夾角。

2、當(dāng)這兩個向量夾角為零時，新聞就相關(guān)；當(dāng)它們垂直或者說正交 時，新聞則無關(guān)。當(dāng)然，夾角的余弦等同于向量的內(nèi)積。從理論上講，這種算法非常好。但 是計(jì)算時間特別長。通常，我們要處理的文章的數(shù)量都很大，至少在百萬篇以上，二次回標(biāo) 有非常長，比如說有五十萬個詞（包括人名地名產(chǎn)品名稱等等）。如果想通過對一百萬篇文 章兩篇兩篇地成對比較，來找出所有共同主題的文章，就要比較五千億對文章?，F(xiàn)在的計(jì)算 機(jī)一秒鐘最多可以比較一千對文章，完成這一百萬篇文章相關(guān)性比較就需要十五年時間。注 意，要真正完成文章的分類還要反復(fù)重復(fù)上述計(jì)算。在文本分類中，另一種辦法是利用矩陣運(yùn)算中的奇異值分解（Singular Value D

3、ecomposition， 簡稱SVD）。現(xiàn)在讓我們來看看奇異值分解是怎么回事。首先，我們可以用一個大矩陣A 來描述這一百萬篇文章和五十萬詞的關(guān)聯(lián)性。這個矩陣中，每一行對應(yīng)一篇文章，每一列對 應(yīng)一個詞。列的元素，是字典中第j個詞在在上面的圖中，M=l,000,000, N=500,000。第i行，第j列的元素，是字典中第j個詞在第i篇文章中出現(xiàn)的加權(quán)詞頻（比如，TF/IDF）。讀者可能已經(jīng)注意到了，這個矩陣非常大,有一百萬乘以五十萬，即五千億個元素。奇異值分解就是把上面這樣一個大矩陣，分解成三個小矩陣相乘，如下圖所示。比如把上面 的例子中的矩陣分解成一個一百萬乘以一百的矩陣X，一個一百乘以一百

4、的矩陣B，和一個 一百乘以五十萬的矩陣Y。這三個矩陣的元素總數(shù)加起來也不過1.5億，僅僅是原來的三千 分之一。相應(yīng)的存儲量和計(jì)算量都會小三個數(shù)量級以上。三個矩陣有非常清楚的物理含義。第一個矩陣X中的每一列表示一類主題，其中的每個非 零元素表示一個主題與一篇文章的相關(guān)性，數(shù)值越大越相關(guān)。最后一個矩陣Y中的每一列 表示100個關(guān)鍵詞，每個key word與500，000個詞的相關(guān)性。中間的矩陣則表示文章主題 和keyword之間的相關(guān)性。因此，我們只要對關(guān)聯(lián)矩陣A進(jìn)行一次奇異值分解，w我們就 可以同時完成了近義詞分類和文章的分類。（同時得到每類文章和每類詞的相關(guān)性）。比如降至2維（rank=2），

5、則document-term的關(guān)系可以在下面二維圖中展現(xiàn)：0 60.40,200-027 d-O.e-0,4-0.20,00.2o.d0.6Dimension 2在圖上，每一個紅色的點(diǎn)，都表示一個詞，每一個藍(lán)色的點(diǎn)，都表示一篇文檔，這樣我們可 以對這些詞和文檔進(jìn)行聚類，比如說stock和market可以放在一類，因?yàn)樗麄兝鲜浅霈F(xiàn)在 一起，real和estate可以放在一類，dads，guide這種詞就看起來有點(diǎn)孤立了，我們就不對他 們進(jìn)行合并了。按這樣聚類出現(xiàn)的效果，可以提取文檔集合中的近義詞，這樣當(dāng)用戶檢索文 檔的時候，是用語義級別（近義詞集合）去檢索了，而不是之前的詞的級別。這樣一減少我

6、們的檢索、存儲量，因?yàn)檫@樣壓縮的文檔集合和PCA是異曲同工的，二可以提高我們的用 戶體驗(yàn)，用戶輸入一個詞，我們可以在這個詞的近義詞的集合中去找，這是傳統(tǒng)的索引無法 做到的?，F(xiàn)在剩下的唯一問題，就是如何用計(jì)算機(jī)進(jìn)行奇異值分解。這時，線性代數(shù)中的許多概念， 比如矩陣的特征值等等，以及數(shù)值分析的各種算法就統(tǒng)統(tǒng)用上了。在很長時間內(nèi)，奇異值分 解都無法并行處理。（雖然Google早就有了 MapReduce等并行計(jì)算的工具，但是由于奇 異值分解很難拆成不相關(guān)子運(yùn)算，即使在Google內(nèi)部以前也無法利用并行計(jì)算的優(yōu)勢來分 解矩陣。）最近，Google中國的張智威博士和幾個中國的工程師及實(shí)習(xí)生已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了奇異 值分解的并行算法，我認(rèn)為這是Google中國對世界的一個貢獻(xiàn)。最后說說個人拙見，這里我們可以把document和term （word）中間加上一層latent semantics 項(xiàng)，那么上圖中的X和Y矩陣就可以分別表示同一個latent semantics對不同document之間 的相關(guān)性和同一 latent