矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析匯總課件

1、4.5 應(yīng) 用（一） 矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析、生命科學(xué)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域都有著廣泛而重要的應(yīng)用.4.5和4.6兩節(jié)就來介紹這方面的知識(shí). 本節(jié)先來介紹下面的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型.經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個(gè)突出問題.為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可建立如下數(shù)學(xué)模型： 4.5.1 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型14.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）令 則上述關(guān)系的矩陣形式為 此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系. 24.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）如則由上式得 由此可預(yù)測該地區(qū)

2、若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 34.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）令 則上述關(guān)系的矩陣形式為 由此，有44.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一） 由此可預(yù)測該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.下面作進(jìn)一步地討論： 由矩陣A 的特征多項(xiàng)式 得A 的特征值為54.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）下面分三種情況分析： Case 1 由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知， 64.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）即 或 此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 的前提下，t 年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時(shí)，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢. 74.5 應(yīng) 用（一）4.5

3、應(yīng) 用（一）由（*）及特征值與特征向量的性質(zhì)84.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）即 由此可預(yù)測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 94.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一） 由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應(yīng)用. 因無實(shí)際意義而在Case 2中未作討論，但在Case3的討論中仍起到了重要作用. 104.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一） 萊斯利種群模型研究動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關(guān)系. 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為L(單位：年），將區(qū)間0,L作n等分得n個(gè)年齡組4.5.2萊斯利（Leslie）種

4、群模型每個(gè)年齡組的長度為 114.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一） 的生育率（即每一雌性動(dòng)物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為ai，存活率（即第i個(gè)年齡組中可存活到第i+1個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目與第i 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的總數(shù)之比）為bi . 令 設(shè)第i個(gè)年齡組124.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一） 即為初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量. 取 設(shè)在時(shí)刻tk該動(dòng)物種群的第i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目為 令 134.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一） 則X(k)即為時(shí)刻tk該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量.顯然，隨著時(shí)間的變化，該動(dòng)物種群的各年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目會(huì)發(fā)生變化. 易

5、知，時(shí)刻tk該動(dòng)物種群的第一個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于在時(shí)段tk-1,tk內(nèi)各年齡組中雌性動(dòng)物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即 （2.1） 又tk時(shí)刻該動(dòng)物種群的第i+1個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于tk-1 時(shí)刻第i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的存活量，即 （2.2） 144.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）聯(lián)立（2.1）和（2.2）得（2.3） 即 （2.4） 154.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）令萊斯利矩陣 則（2.4）即為 （2.5） 于是164.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）（2.6） 由此，若已知初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量X(0)，則可計(jì)算出tk時(shí)刻該動(dòng)物種群中

6、雌性動(dòng)物的年齡分布向量X(k)，從而對(duì)該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的數(shù)量作出科學(xué)的預(yù)測和分析. 174.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一） 例 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為15年，且以5年為間隔將雌性動(dòng)物分為3個(gè)年齡組0,5,5,10,10,15.由統(tǒng)計(jì)資料知，3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的生育率分別為0，4，3，存活率分別為0.5，0.25，0，初始時(shí)刻3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目分別為500，1000，500.試?yán)萌R斯利種群模型對(duì)該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律進(jìn)行分析. 解： 184.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）由（2.6）得 194.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一

7、）下面求 由矩陣L的特征多項(xiàng)式 得L的特征值為由Th4.9推論知，矩陣L可相似對(duì)角化. 204.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）214.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）.224.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）令矩陣 則P可逆，且 234.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）于是 從而 244.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）254.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）264.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）274.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）284.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）兩邊取極限得 294.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）304.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）314.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）324.5 應(yīng) 用（一）4.5 應(yīng) 用（一）于是，當(dāng)k充分大時(shí)， .334.5 應(yīng) 用（一