福建省三明市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試質(zhì)量檢測試題含解析

1、PAGE PAGE 22福建省三明市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試質(zhì)量檢測試題（含解析）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）. 1青少年近視問題已經(jīng)成為我國面臨的重要社會問題現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查某校學(xué)生的視力情況，該校三個年級的學(xué)生人數(shù)如表：年級高一高二高三人數(shù)550500450已知在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高三年級的人數(shù)為（）A18B20C222用斜二測畫法畫水平放置的ABC的直觀圖ABC如圖所示，則在ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是（）AABBADCBCDAC3下列結(jié)論正確的是（）A事件A的概率P（A）必有0P（A）1B事件A的概率P（

2、A）0.999，則事件A是必然事件C用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計其有明顯的療效的可能性為76%D某獎券中獎率為50%，則某人購買此券10張，一定有5張中獎4若某同學(xué)連續(xù)3次考試的名次（3次考試均沒有出現(xiàn)并列名次的情況）不低于第3名，則稱該同學(xué)為班級的尖子生根據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次的數(shù)據(jù)，推斷一定是尖子生的是（）A甲同學(xué)：平均數(shù)為2，方差小于1B乙同學(xué)：平均數(shù)為2，眾數(shù)為1C丙同學(xué)：中位數(shù)為2，眾數(shù)為2D丁同學(xué)：眾數(shù)為2，方差大于15設(shè)D，E分別為ABC兩邊BC，CA的中點，則（）ABCD6袋子中有大

3、小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個字，若有放回地從袋子中任意摸出一個小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個球都摸到就停止摸球利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：411 231 324 412 112 443 213 144 331 123114 142 111 344 312 334 223 122 113 133由此可以估計，恰好在第三次就停止摸球的概率為（）ABCD7如圖，在三棱錐PABC中，點D，E分別為

4、棱PB，BC的中點若點F在線段AC上，且滿足AD平面PEF，則的值為（）A1B2CD8ABC中，若ABAC5，BC6，點E滿足，直線CE與直線AB相交于點D，則cosADE（）ABCD二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9從1至9這9個自然數(shù)中任取兩個，有如下隨機(jī)事件：A“恰有一個偶數(shù)”，B“恰有一個奇數(shù)”，C“至少有一個是奇數(shù)”，D“兩個數(shù)都是偶數(shù)”，E“至多有一個奇數(shù)”下列結(jié)論正確的有（）AABBBCCDEDCD，CD10下列命題正確的是（）A若，則或B已知，則向量在向量上的投

5、影向量的坐標(biāo)為（0，4）C若，則向量，的夾角為鈍角D設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則，可作為該平面的一個基底11如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，A1D1AEFACB直線AF與直線CE所成角的最大值是C若直線AF與直線CE相交，則交點在直線DD1上D若直線AF與直線CE相交，則二面角EACD的平面角的最小正切值為12在ABC中，ABC90，BC1，P為ABC內(nèi)一點，BPC90，下列結(jié)論正確的是（）A若，則B若APB150，則CBPC的面積的最大值為DABP的面積的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)z（a24）

6、+（a+2）i為純虛數(shù)，則a 142021年1月1日起，三明市全面鋪開市區(qū)生活垃圾分類工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“廚余垃圾”、“其他垃圾”的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類投放若某居民將“廚余垃圾“和“可回收物“兩袋垃圾隨機(jī)地投放到四個分類垃圾桶中的兩個，則兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確的概率為 15“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美如圖，是一個棱長為1的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上則該正方體的棱長為 ；半正多面體的表面積為 16已知正三棱錐ABCD的底面是邊長為3的正三角形，其外接球O的表面積為16，且點A到底面

7、BCD的距離小于外接球O的半徑，E為AD的中點，則異面直線AB與CE所成角的余弦值為 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)，所對應(yīng)的向量分別為，（1）求所對應(yīng)的點C的坐標(biāo)；（2）求的值18三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是邊長為的菱形，A1C1B1C2，A1B1平面BCC1B1，E，F(xiàn)分別是AC，BB（1）求證：EF平面A1B1C（2）求直線A1C1與平面A1B119在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ab（sinC+cosC）（1）求B；（2）若a1，求ABC的面積20為慶祝中國共產(chǎn)黨成立10

8、0周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答，若甲每道題答對的概率為，乙每道題答對的概率為，且甲乙答對與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響求：（1）甲至少抽到1道填空題的概率；（2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率21已知A，B兩家公司的員工月均工資情況如圖：（1）以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，根據(jù)圖1估計A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù)，你認(rèn)為用哪個數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平？請簡要說明理由（2）小明擬到A，B兩家公司中的一家應(yīng)聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，他應(yīng)該選哪個公司？22如圖，在四棱錐PAB

9、CD中，底面ABCD是菱形，BAD60，PAD是正三角形，E為線段AD的中點，（1）求證：平面PBC平面PBE；（2）是否存在點F，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由（3）若平面PAD平面ABCD，在平面PBE內(nèi)確定一點H，使CH+FH的值最小，并求此時的值參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）. 1青少年近視問題已經(jīng)成為我國面臨的重要社會問題現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查某校學(xué)生的視力情況，該校三個年級的學(xué)生人數(shù)如表：年級高一高二高三人數(shù)550500450已知在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高三年級的人數(shù)為（）A18B20C22解：設(shè)該樣本中高三年級的人數(shù)為

10、n，由分層抽樣的性質(zhì)列方程得：，解得n18故選：A2用斜二測畫法畫水平放置的ABC的直觀圖ABC如圖所示，則在ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是（）AABBADCBCDAC解：由斜二測畫法法則知，直觀圖ABC對應(yīng)的原圖形ABC是直角三角形，其中AC是斜邊，AD是直角邊上的中線，所以最長的線段是AC故選：D3下列結(jié)論正確的是（）A事件A的概率P（A）必有0P（A）1B事件A的概率P（A）0.999，則事件A是必然事件C用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計其有明顯的療效的可能性為76%D某獎券中獎率為50%，則某人購買此券10張

11、，一定有5張中獎解：由概率的基本性質(zhì)，事件A的概率P（A）的值滿足0P（A）1，故A錯誤；必然事件概率為1，故B錯誤；某獎券中獎率為50%，則某人購買此券10張，不一定有5張中獎，故D錯誤故選：C4若某同學(xué)連續(xù)3次考試的名次（3次考試均沒有出現(xiàn)并列名次的情況）不低于第3名，則稱該同學(xué)為班級的尖子生根據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次的數(shù)據(jù)，推斷一定是尖子生的是（）A甲同學(xué)：平均數(shù)為2，方差小于1B乙同學(xué)：平均數(shù)為2，眾數(shù)為1C丙同學(xué)：中位數(shù)為2，眾數(shù)為2D丁同學(xué)：眾數(shù)為2，方差大于1解：記甲同學(xué)三次考試名次為a，b，c，則2，1，若甲同學(xué)三次考試名次中低于第3名的，不妨設(shè)a4，則（a

12、2）24，與1相矛盾，故A正確，若三次考試名次為1，1，4，滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為1，故B錯，若三次考試名次為2，2，4，滿足中位數(shù)為2，眾數(shù)為2，故C錯，若三次考試名次為2，2，4，滿足眾數(shù)為2，方差大于1，故D錯，故選：A5設(shè)D，E分別為ABC兩邊BC，CA的中點，則（）ABCD解：因為D，E分別為ABC兩邊BC，CA的中點，所以（+）+（）（+）+（）故選：D6袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個字，若有放回地從袋子中任意摸出一個小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個球都摸到就停止摸球利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，

13、4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：411 231 324 412 112 443 213 144 331 123114 142 111 344 312 334 223 122 113 133由此可以估計，恰好在第三次就停止摸球的概率為（）ABCD解：經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：411 231 324 412 112 443 213 144 331 123114 142 111 344 312 334 223 122 113 133共有20組隨機(jī)數(shù)，恰好在第三次就停止摸球的隨機(jī)數(shù)有：324，144，

14、133，共有3個，所以恰好在第三次就停止摸球的概率為故選：B7如圖，在三棱錐PABC中，點D，E分別為棱PB，BC的中點若點F在線段AC上，且滿足AD平面PEF，則的值為（）A1B2CD解：連接CD，交PE于G，連接FG，如圖，AD平面PEF，平面ADC平面PEFFG，ADFG，點D，E分別為棱PB，BC的中點G是PBC的重心，故選：C8ABC中，若ABAC5，BC6，點E滿足，直線CE與直線AB相交于點D，則cosADE（）ABCD解：根據(jù)題意，直線CE與直線AB相交于點D，設(shè)，則（+）+，又由A、D、B三點共線，則+1，解可得3，故+，（），又由AB5，則AD3，DC2，則在ABC中，co

15、sABC，則CD2BD2+BC22BDBCcosABC，則CD，故在ADC中，cosADEcosADC；故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9從1至9這9個自然數(shù)中任取兩個，有如下隨機(jī)事件：A“恰有一個偶數(shù)”，B“恰有一個奇數(shù)”，C“至少有一個是奇數(shù)”，D“兩個數(shù)都是偶數(shù)”，E“至多有一個奇數(shù)”下列結(jié)論正確的有（）AABBBCCDEDCD，CD解：從1至9這9個自然數(shù)中任取兩個，當(dāng)恰有一個偶數(shù)時，另外一個必為奇數(shù)，當(dāng)恰有一個奇數(shù)時，另外一個必為偶數(shù)，故AB，故A選項正確，“

16、至少有一個是奇數(shù)的事件”包含”恰有一個奇數(shù)的事件”，故BC，故B選項正確，“至多有一個奇數(shù)的事件”包含“一個奇數(shù)，一個偶數(shù)的事件”和“兩個都為偶數(shù)的事件”，故D，E不互斥，故C選項錯誤，C“至少有一個是奇數(shù)”，D“兩個數(shù)都是偶數(shù)”，C和D即是互斥事件，又是對立事件，故D選項正確故選：ABD10下列命題正確的是（）A若，則或B已知，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（0，4）C若，則向量，的夾角為鈍角D設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則，可作為該平面的一個基底解：對于A：若，若不為，則，故A錯誤；對于B：已知，所以cos，故向量在向量上的投影向量為，所以向量的坐標(biāo)為（0，4），故B正確；對于C：

17、若，則向量，的夾角為鈍角或相反向量，故C錯誤；對于D：設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則，所以（2，1），由于不共線，所以可作為該平面的一個基底，故D正確；故選：BD11如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，A1D1AEFACB直線AF與直線CE所成角的最大值是C若直線AF與直線CE相交，則交點在直線DD1上D若直線AF與直線CE相交，則二面角EACD的平面角的最小正切值為解：對于A選項，當(dāng)E在C1，F(xiàn)在A1時，EFAC，但點E，F(xiàn)是動點，故A選項錯誤，對于B選項，直線AF與直線CE所成角的最大值就是E，F(xiàn)與D1重合時取得，夾角是，故B選項正確，對于C選項，空間

18、3個平面兩兩相交有3條交線，要么互相平行，要么相交于一點，直線AF與直線CE相交，則交點在直線DD1上，故C選項正確，對于D選項，當(dāng)E，F(xiàn)與D1重合時，二面角EACD的平面角最小，連接BD交AC于O，連接AD1，CD1，OD1，AD1CD1，O為AC的中點，D1OAC，又DOAC，D1OD 為二面角EACD的平面角，設(shè)正方體的邊長為a，則OD，故D選項正確故選：BCD12在ABC中，ABC90，BC1，P為ABC內(nèi)一點，BPC90，下列結(jié)論正確的是（）A若，則B若APB150，則CBPC的面積的最大值為DABP的面積的取值范圍是解：對于A：當(dāng)PB時，PBC60，PBA30，在PBA中，由余弦定

19、理，得PA2AB+PB2ABPBcos303+2，PA，故A錯誤；對于B：APB150時，設(shè)BCP，（0，60），則PAB30，所以tan，因為BC1，所以PBBCsinsin，在PBA中，根據(jù)正弦定理，可得，化簡得cos4sin，所以tan，所以，故B正確；對于C：由B得BCP時，PCcos，BPsin，（0，60），所以SPBCsincossin2，當(dāng)290，即45時，sin2取到最大值1，則PBC的最大值為，故C正確；對于D：由C得，當(dāng)BCP時，PBA，（0，60），所以在直角坐標(biāo)系中，又xPsincos，yPsin2，所以SPBABAyPsin2sin2，因為sin在（0，60）上單調(diào)

20、遞增，故sin2在（0，60）上單調(diào)遞增，所以sin200，sin260，所以sin200，sin260，所以SPBA（0，），故D錯誤，故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)z（a24）+（a+2）i為純虛數(shù)，則a2解：若復(fù)數(shù)z（a24）+（a+2）i為純虛數(shù)，則，求得a2，故答案為：2142021年1月1日起，三明市全面鋪開市區(qū)生活垃圾分類工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“廚余垃圾”、“其他垃圾”的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類投放若某居民將“廚余垃圾“和“可回收物“兩袋垃圾隨機(jī)地投放到四個分類垃圾桶中的兩個，則兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確的概率為 解：“廚

21、余垃圾“和“可回收物“兩袋垃圾隨機(jī)地投放到四個分類垃圾桶中，共有種不同的投放方法，兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確，則共有1種投放方法，所以兩袋垃圾均投放準(zhǔn)確的概率為故答案為：15“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美如圖，是一個棱長為1的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上則該正方體的棱長為 ；半正多面體的表面積為 解：由題意，可將正六邊形補(bǔ)全為正方形，則DEF是斜邊為1的等腰直角三角形，直角邊DF，所以正方形的邊長為DC1+2；半多面體包含6個正六邊形，8個正三角形，每個正六邊形的面積，每個等邊三角形的面積，所以半個正多面體的

22、表面積為故答案為：；16已知正三棱錐ABCD的底面是邊長為3的正三角形，其外接球O的表面積為16，且點A到底面BCD的距離小于外接球O的半徑，E為AD的中點，則異面直線AB與CE所成角的余弦值為 解：因為外接球球O的表面積為16，設(shè)其半徑為r，則有4r216，解得r2，設(shè)點A到平面BCD的距離為x，則有（x2）2+（）222，解得x1或x3（舍），取BD的中點Q，則EQAB，所以異面直線AB與CE所成角為QEC或它的補(bǔ)角，AB2，即ACAD2，所以EQ1，而CQ，cosCAD，所以CE2AC2+AE22ACAEcosCAD4+12，所以CE，cosQEC，故異面直線AB與CE所成角的余弦值為故

23、答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)，所對應(yīng)的向量分別為，（1）求所對應(yīng)的點C的坐標(biāo)；（2）求的值解：（1），點C的坐標(biāo)為（2），18三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是邊長為的菱形，A1C1B1C2，A1B1平面BCC1B1，E，F(xiàn)分別是AC，BB（1）求證：EF平面A1B1C（2）求直線A1C1與平面A1B1【解答】（1）證明：如圖，取BC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EGAB，F(xiàn)GB1CABA1B1，EGA1B1，EG平面A1B1C，A1B1平面A1B1EG平面A1B1CFG平面A1B1C，B1C平

24、面A1BFG平面A1B1C又EGFGG，EG，F(xiàn)G平面EFG，平面EFG平面A1B1CEF平面EFG，EF平面A1B1C（2）解：設(shè)BC1與B1C交于點H，連接A1H側(cè)面BCC1B1是邊長為的菱形，A1C1B1CB1CHC1，B1H；A1B1平面BCC1B1，HC1平面BCC1B1，A1B1HC1，B1CA1B1B1，B1C，A1B1平面A1BHC1平面A1B1CC1A1H為直線A1C1與平面A1BA1H平面A1B1C，HC1A1H又，A1C12，即直線A1C1與平面A1B1C所成的角為19在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ab（sinC+cosC）（1）求B；（2）若a1，求

25、ABC的面積解：（1）ab（sinC+cosC），由正弦定理得，sinAsinB（sinC+cosC），sin（B+C）sinB（sinC+cosC），sinBcosC+cosBsinCsinBsinC+sinBcosC，cosBsinCsinBsinC，cosBsinB，tanB1，又B（0，），（2），可得，由正弦定理，可得，20為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答，若甲每道題答對的概率為，乙每道題答對的概率為，且甲乙答對與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響求：（1）甲至少抽到1道填空題的概率；（

26、2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率解：（1）記3道選擇題的題號為1，2，3，2道填空題的題號為4，5，則試驗的樣本空間（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有10個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，所以這是一個古典概型，記事件A“甲至少抽到1道填空題”，則A（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），所以n（A）7，故，因此甲至少抽到1道填空題的概率為；（2）設(shè)事件A1，A2分別表示甲答對1道題，2道題，事件B0，B1分別表示乙答對0道題，1道題，則，記事件B“甲答對的題數(shù)比

27、乙多”，則BA1B0A2B0A2B1，且A1B0，A2B0，A2B1兩兩互斥，A1與B0，A2與B0，A2與B1分別相互獨立，所以P（B）P（A1B0）+P（A2B0）+P（A2B1）P（A1）P（B0）+P（A2）P（B0）+P（A2）P（B1），故甲答對的題數(shù)比乙多的概率為21已知A，B兩家公司的員工月均工資情況如圖：（1）以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，根據(jù)圖1估計A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù)，你認(rèn)為用哪個數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平？請簡要說明理由（2）小明擬到A，B兩家公司中的一家應(yīng)聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，他應(yīng)該選哪個公司？解：（1）A公司員工月均工資的平均數(shù)為：0.30.18+0.50.29+0.70.3+0.90.21+290.021.178（萬元），由A公司員工月均工資的扇形圖知，在0.6萬元以下的比例為0.18+0.290.47，A公司員工月均工資在0.8萬元以下的比例為0.18+0.29+0.30.77，A公司