第屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題與解答

1、文檔編碼 : CT8C1Z1M2O7 HU1M7D8Q2V3 ZG1W9T10A1U5第十九屆全國中同學(xué)物理競賽 地,市 題號 一 二 復(fù) 賽 試 卷 六 七 總計(jì) 三 四 五 全卷共七題,總分為 140 分； 學(xué)校 得 分 一,（20分）某甲設(shè)計(jì)了一個如圖復(fù) 19-1 所示的“自動噴泉”裝 置,其中 A , B, C 為三個容器, D, E, F 為三根細(xì)管；管栓 K 是關(guān)閉的； A ,B,C 及細(xì)管均盛有水, 容器水面的高度差分別為 h1 和 h2 ,如以下圖； A , B, C 的截面半徑為 12cm ,D 的半徑為 0.2cm .甲 向同伴乙說：“我如擰開管栓 K ,會有水從細(xì)管口噴出

2、； ”乙認(rèn)為不行能； 理 姓名 由是：“低處的水自動走向高處,能量從哪兒來？”甲當(dāng)即擰開 K ,果真見 到有水噴出,乙啞口無言,但不能明白自己的錯誤何在；甲又進(jìn)一步演示； 在擰開管栓 K 前,先將噴管 D 的上端加長到足夠長,然后擰開 K ,管中水 面即上升,最終水面靜止于某個高度； 1論擰開 K 后水柱上升的緣由； 2當(dāng) D 管上端足夠長時,求擰開 K 后 D中靜止水面與 A 中水面的高度 差； 3論證水柱上升所需的能量來源； 性別 現(xiàn)讀年級 準(zhǔn)考證號 1 / 17 第 1 頁,共 17 頁二,（ 18 分）在圖復(fù) 19-2 中,半徑為 R 的圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直圖面指向 紙

3、外,磁感強(qiáng)隨時間勻稱變化,變化率B/ t = K （ K 為一正值常數(shù)） ；圓柱形區(qū)域外空間中 沒有磁場；沿圖中 AC 弦的方向畫始終線,并向外延長,弦 AC 與半徑 OA 的夾角= /4 ； 直線上有一任意點(diǎn),設(shè)該點(diǎn)與 A 點(diǎn)的距離為 x ,求從 A 沿直線到該點(diǎn)的電動勢大??； 2 / 17 第 2 頁,共 17 頁三,（ 18 分）如圖復(fù) 19-3 所示,在水平光滑的絕緣桌面上,有三個帶正電的質(zhì)點(diǎn) 得 分 1, 2, 3 ,位于邊長為 L 的等邊三角形的三個頂點(diǎn)處, C 為三角形的中心；三個 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量皆為 m ,帶電量皆為 q ；質(zhì)點(diǎn) 1,3 之間和 2,3 之間用絕緣的輕而細(xì) 的剛性桿

4、相連, 在 3 的連接處為無摩擦的鉸鏈； 已知開頭時三個質(zhì)點(diǎn)的速度為零, 在此后運(yùn)動 過程中,當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 3 運(yùn)動到 C 處時,其速度為多少？ 得 分 四,（18分）有人設(shè)計(jì)了下述裝置用以測量線圈的自感系數(shù)；在圖復(fù) 19-4-1 中, E 為可調(diào)的直流電源, K 為電鍵, L 為待測線圈的自感系數(shù), rL 為線圈的直流電阻, D 為抱負(fù)二極管, r 為用電阻絲做成的電阻器, A 為電流表；將圖復(fù) 19-4-1 中 a, b 之間的電阻絲裝進(jìn)圖復(fù) 19-4-2 中,其它裝置見圖下說明； 其中注射器筒 5 和試管 1 組成的密 閉容器內(nèi)裝有某種氣體（可視為抱負(fù)氣體） ,通過活塞 6 的上下移動可調(diào)劑毛

5、細(xì)管 8 中有色液 柱的初始位置,調(diào)劑后將閥門 10 關(guān)閉,使兩邊氣體隔開；毛細(xì)管 8 的內(nèi)直徑為 d； 3 / 17 第 3 頁,共 17 頁已知在壓強(qiáng)不變的條件下每摩爾試管中的氣體溫度上升 1K 時,需要吸取熱量為 CP ,大 氣壓強(qiáng)為 p ；設(shè)試管,三通管,注射器和毛細(xì)管皆為絕熱的,電阻絲的熱容不計(jì)；當(dāng)接通電 鍵 K 后,線圈 L 中將產(chǎn)生磁場,已知線圈中儲存的磁場能量 W = 1 LI 2 , I 2為通過線圈的電 L ； 流,其值可通過電流表 A 測量；現(xiàn)利用此裝置及合理的步驟測量線圈的自感系數(shù) 1簡要寫出此試驗(yàn)的步驟； 2用題中所給出的各已知量（ r ,rL ,CP ,p ,d 等

6、）及直接測量的量導(dǎo)出 L 的表達(dá)式； 4 / 17 第 4 頁,共 17 頁得 分 五,（20分）薄凸透鏡放在空氣中,兩側(cè)焦點(diǎn)和透鏡中心的距離相等；假如此薄透 鏡兩側(cè)的介質(zhì)不同,其折射率分別為 n1 和 n2 ,就透鏡兩側(cè)仍各有一焦點(diǎn)（設(shè)為 F1和 F2）,但 F1, F2和透鏡中心的距離不相等,其值分別為 f1 和 f 2 ；現(xiàn)有一薄 透鏡 L ,已知此凸透鏡對平行光束起會聚作用,在其左右兩側(cè)介質(zhì)和折射率及焦點(diǎn)的位置如 圖復(fù) 19-5 所示； 1試求出此時物距 u ,像距 v ,焦距 f1 , f2 四者之間的關(guān)系式； 2如有一傍軸光線射向透鏡中心,已知它與透鏡主軸的夾角為 1 ,就與之相應(yīng)

7、的出射 線與主軸的夾角 2 為多大？ 3 f 1 , f2 , n1 , n2 四者之間有何關(guān)系？ 5 / 17 第 5 頁,共 17 頁六,（ 20 分）在相對于試驗(yàn)室靜止的平面直角坐標(biāo)系 S 中,有一個光子,沿 x 軸正方向射向一 個靜止于坐標(biāo)原點(diǎn) O 的電子；在 y 軸方向探測到一個散射光子；已知電子的靜止質(zhì)量為 m0 , 光速為 c ,入射光子的能量有散射光子的能量之差等于電子靜止能量的 1/10 ； 1試求電子運(yùn)動速度大小 v ；電子運(yùn)動的方向與 為 L 0（作為已知量）的 A 點(diǎn)所經(jīng)受的時間 t ； 2在電子以 1 中的速度 v 開頭運(yùn)動時,一觀看者 x 軸的夾角 ；電子運(yùn)動到離原

8、點(diǎn)距 離 S相對于坐標(biāo)系 S 也以速度 v 沿 S 中 電子運(yùn)動的方向運(yùn)動（即 S相對于電子靜止） ,試求 S測出的 OA 的長度； 6 / 17 第 6 頁,共 17 頁七,（26分）一根不行伸長的細(xì)輕繩,穿上一粒質(zhì)量為 m 的珠子（視為質(zhì)點(diǎn)） ,繩 得 分 的下端固定在 A 點(diǎn),上端系在輕質(zhì)小環(huán)上,小環(huán)可沿固定的水平細(xì)桿滑動（小環(huán) 的質(zhì)量及與細(xì)桿摩擦皆可忽視不計(jì)） ；細(xì)桿與 A 在同一豎直平面內(nèi)； 開頭時, 珠子 緊靠小環(huán),繩被拉直,如圖復(fù) 19-7-1 所示；已知：繩長為 L ,A 點(diǎn)到桿的距離為 h ,繩能承 受的最大張力為 Td ,珠子下滑過程中到達(dá)最低點(diǎn)前繩子被拉斷；求細(xì)繩被拉直時

9、珠子的位置 和速度的大小（珠子與繩子之間無摩擦） ； 注 ：質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做曲線運(yùn)動時,它在任一點(diǎn)的加速度沿該點(diǎn)軌道法線方向的重量稱為法向加速度 an , 可以證明, an = v 2/R ,v 為質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)的速度大小, R 為軌道曲線在該點(diǎn)的“曲率半徑” ；所謂平面曲線上某 點(diǎn)的曲率半徑,就是在曲線上取包含該點(diǎn)在內(nèi)的一段弧線,當(dāng)這段弧微小時,可以把它看做是某個“圓”的 弧,就此圓的半徑就是曲線在該點(diǎn)的曲率半徑；如圖復(fù) 曲率半徑為 RB ； 19-7-2 中,曲線在 A 點(diǎn)的曲率半徑為 RA ,在 B 點(diǎn)的 7 / 17 第 7 頁,共 17 頁第十九屆全國中同學(xué)物理競賽復(fù)賽試題參考解答 202

10、2 年 一,參考解答 實(shí)踐證明,甲的設(shè)計(jì)是正確的,所以乙的結(jié)論確定是錯的； （ 1）設(shè)大氣壓為 p0 ,水的密度為 ；擰開 K 前的情形如圖復(fù)解 19-l 的（ a）圖所示；由流 體靜力學(xué)可知, B , C 中氣體的壓強(qiáng)為 pB pC p0 g h1 h2 （ 1） K DHK b D 中氣體的壓強(qiáng)為 A h1 A pD pB gh1 （2） E 由（ 1）,（ 2）兩式可得 B B h2 pD p0 gh2 F 即 pD p0 ,當(dāng)擰開 K 后, D 中氣體壓強(qiáng)降至 p0 ,此時 CCpB p0 gh1 （ 3） a 圖復(fù)解 19-1 即 D 管中容器 B 水面以上的那一段水柱所受合力向上,

11、 所以 D管中水柱上升； （2）擰開 K 后,水柱上升,因 D 管上端已足夠長,故水不會從管口噴出設(shè)到 D 中的水 面靜止時 D 中增加水量的體積為 V ,就 B 中削減水量的體積亦為 V ,其水面將略有降低, 因而 B 及 C 中氣體壓強(qiáng)路有下降, A 中的水將通過 E 管流入 C 中,當(dāng)從 A 流入水量的體積于 V 時, B , C 中氣體壓強(qiáng)復(fù)原原值；由于 A , B , C 的半徑為 D 管半徑的 60 倍,截面積 比為 3600 倍,故 A, B , C 中少量水的增減（ 可忽視不計(jì),即 h1 和 h2 的數(shù)值保持不變； V ）引起的 A, B , C 中水面高度的變化 設(shè) D 中水

12、面靜止時與 A 中水面的高度差 H,（見圖復(fù)解 19-1 （ b）,就有 為 p0 g h1 h2 p0 g H h1 （ 4） 由此可得 H h2 （ 5） （3）將圖復(fù)解 19-l （ a）和b 兩圖相比較可知, 其差別在于體積為 V 的水從 A 移至 C中, 另 V 的水又由 B 移入 D 中, 前者重力勢能削減, 而后者重力勢能增大, 前者的重力勢能 削減量為 E1 g V h1 h2 （ 6） D 中增加的水柱的重心離 A 中水面的高度為 h2 / 2 ,故后者的重力勢能增量為 8 / 17 1E2 g V h1 h2 （ 7） 2即 E1 E2 ； 由此可知,體積為 V 的水由 A

13、 流入 C 中削減的勢能的一部分轉(zhuǎn)化為同體積的水由 B 進(jìn) 入 D 中所需的勢能,其余部分就轉(zhuǎn)化為水柱的動能,故發(fā)生上下振動, D 中水面靜止處為平 衡點(diǎn)由于水與管間有摩擦等緣由,動能逐步消耗,最終水面停留在距 A中水 h2 處； 面 二,參考解答 由于圓柱形區(qū)域內(nèi)存在變化磁場, 在圓柱形區(qū)域內(nèi)外空間中將產(chǎn)生渦旋電場, 電場線為圓, 圓心在圓柱軸線上, 圓面與軸線垂直, 如圖中虛點(diǎn)線所示 在這樣的電場中, 沿任意半徑方向 移動電荷時, 由于電場力與移動方向垂直, 徑上的電動勢均為零 渦旋電場力做功為零, 因此沿半徑方向任意一段路 1任意點(diǎn)在磁場區(qū)域內(nèi)：令 P 為任意點(diǎn)（見圖復(fù)解 19-2-1

14、） x 2R ,在圖中連直線 OA 與 OP ；取閉合回路 APOA ,可得回路電動勢 E1 EAP EPO EOA ,式中 EAP , EPO , EOA 分別為從 A 到 P ,從 P 到 O ,從 O 到 A 的電動勢；由前面的分析可知 EPO 0 , EOA 0 ,故 EAP E1 （ 1） 令 AOP 的面積為 S1 ,此面積上磁通量 1 BS1 ,由電磁感應(yīng)定律, 回路的電動勢大小為 E 1 1 S 1 B t t 依據(jù)題給的條件有 E1 S1k （ 2） 由圖復(fù)解 19-2-2 可知 S1 1xRsin xR C（ 3） 222由（ 1）,（ 2）,（ 3）式可得沿 AP 線段的

15、電動勢大小（ 4） EAP kR x 為 22A x CA Q P RO DRO 圖復(fù)解 19-21 圖復(fù)解 19-22 9 / 17 第 9 頁,共 17 頁2任意點(diǎn)在磁場區(qū)域外：令 Q 為任意點(diǎn)（見圖復(fù)解 19-2-2 ）, x 2R ；在圖中連 OA , OQ ；取閉合回路 AQOA ,設(shè)回路中電動勢為 E2 ,依據(jù)類似上面的爭論有 EAQ E2 （ 5） 此面積為 S2 , （ 6） 對于回路 AQOA ,回路中磁通量等于回路所包圍的磁場區(qū)的面積的磁通量, 通過它的磁通量 2BS2 ；依據(jù)電磁感應(yīng)定律可知回路中電動勢的大小 E2 S2k 在圖中連 OC ,令 COQ ,就 OQC ,于

16、是 S2 AOC 的面扇形 OCD 的面1 積 Rsin2 積 2R2 2Rcos 1 2R sin 2 2當(dāng) / 4 時, S 21 2 R 1 , 2OCQ 中有 x 2R Rsin sin / 4 Rsin x 2Rsin 4 x 2R 1 cos sin 2x 2R x 2R R sin cos 2 2tan x 2 R x 于是得 S2 12 x R 1 arctan 2R x （ 7） （ 8） 2由（ 5）,（ 6）,（ 7）式可得沿 AQ 線的電動勢的大小為 EAQ 2 kR x 1 arctan 2R x 2三,參考解答 10 / 17 第 10 頁,共 17 頁以三個質(zhì)點(diǎn)為

17、系統(tǒng),由對稱性可知,開頭時其質(zhì)心應(yīng)位于 C處,由于質(zhì)點(diǎn) 1 A C3系所受的合外力為零,由質(zhì)心運(yùn)動定理可知,質(zhì)心總是固定不動的；質(zhì)點(diǎn) 1,2 在靜電力作用下,彼此間距離必增大,但不行能保持在沿起始狀態(tài)時 1, 2 連 線上運(yùn)動,如是那樣運(yùn)動,由于桿不能伸長,質(zhì)點(diǎn) 3 必向左運(yùn)動,三者的質(zhì)心 勢必亦向左運(yùn)動,這與“質(zhì)心不動”相沖突,故不行能；由此可知,由于桿為 剛性,質(zhì)點(diǎn) 1, 2 在靜電力作用下,要保持質(zhì)心不動,質(zhì)點(diǎn) 1,2 必將分別向題 圖中右上方和右下方運(yùn)動,而質(zhì)點(diǎn) 3 將向左運(yùn)動當(dāng) 3 運(yùn)動到 C 處時, 1, 2 B 2將運(yùn)動到 A , B 處, A , B , C 三點(diǎn)在始終線上,

18、1, 2 的速度方向向右, 3 圖復(fù)解 19-3 的速度方向左（如圖復(fù)解 19-3 所示）；令 v1 , v2 , v3 分別表示此時它們的速度大小,就由對 稱性可知此時三質(zhì)點(diǎn)的總動能為 EK 12 mv3 1 22 mv1 2（1） 2再由對稱性及動量守恒可知 mv3 2mv1 （ 2） 系統(tǒng)原先的電勢能為 EP 3k q219-3 所示的位置時的電勢能為 （3） l其中 k 為靜電力常數(shù)運(yùn)動到國復(fù)解 （4） EP2k q2k q2l2l 依據(jù)能量守恒有 EPEP EK （ 5） 由以上各式可解得 v3 2 2kq （ 6） 3lm 四,參考解答 1.（ 1）調(diào)整活塞 6 使毛細(xì)管 8 中有

19、色液柱處于適當(dāng)位置,將閥 門 有色液柱的位置； （2）合上開關(guān) S ,測得電流 I ； x ； （3）打開開關(guān) S ； （4）測出有色液體右移的最遠(yuǎn)距離 10 關(guān)閉使兩邊氣體隔絕,登 記 （5）轉(zhuǎn)變電源電壓,重復(fù)測量多次,登記多次的 I 和 x 值； 1 22. 合上開關(guān) S 后, 線捆貯有磁場能 W LI ,因二極管 D 的存在, r 中無電流； 打開開關(guān) S 量 2后,由于 L 中有感應(yīng)電動勢,在線圈 L ,電阻器 ab 和二極管 D 組成的回路中有電流通過,最 后變?yōu)榱悖?在此過程中原先線圈中儲存的磁場能量將轉(zhuǎn)化為 r 和 rL 上放出的熱量, 其中 r 上放 11 / 17 第 11

20、頁,共 17 頁出的熱量為 Q 1LI 2rrrL （1） 2此熱量使試管中的氣體加熱,升溫；由于是等壓過程,所以氣體吸熱為 Q m Cp T （ 2） 式中 m 為氣體質(zhì)量, 為其摩爾質(zhì)量, T 為溫升,由于是等壓過程, 設(shè)氣體體積轉(zhuǎn)變量為 V , 就由抱負(fù)氣體狀態(tài)方程可得 而 p V mR T （ 3） V d2x （ 4） 4由以上各式可得 LI x r L rC p p d2（ 5） 22r R五,參考解答 利用焦點(diǎn)的性質(zhì),用作圖法可求得小物 PQ 的像 P Q ,如下圖所示； Q n1 n2 f2 F2 P y Q y f1 v P F1 u圖復(fù)解 19-5-1 （1）用 y 和 y

21、 分別表示物和像的大小,就由圖中的幾何關(guān)系可得 y u f1 v f 2 （ 1） y f1 f2 u f 1v f 2 f1 f2 簡化后即得物像距公式,即 u , v , f 1, f2 之間的關(guān)系式 f 1 f 2 1（ 2） uv （2）薄透鏡中心鄰近可視為籌薄平行板,入射光線經(jīng)過兩次折射后射出,放大后的光路 12 / 17 第 12 頁,共 17 頁如圖復(fù)解 19-5-2 所示；圖中 1 為入射角, 2 為與之相應(yīng)的出射角, 為平行板中的光線與法 線的夾角；設(shè)透鏡的折射率為 n ,就由折射定律得 n1 sin 1 nsin n2 sin 2（ 3） 對傍軸光線, 1 , 2 1,得

22、sin 1 1 , sin 2 2 ,因而得 2n2 n1 1（ 4） 1 n1 n n2 （3）由物點(diǎn) Q 射向中心 O 的入射線,經(jīng) L 折 2射后,出射線應(yīng)射向 Q ,如圖復(fù)解 19-5-3 所示, 圖復(fù)解 19-5-2 Q F1 un1 1Ln2 F2 P y 2v u y Q P 圖復(fù)解 19-5-3 在傍軸的條件下,有 y tan 1y 1, v tan 22（ 5） u二式相除并利用（ 4）式,得 即 y u n1 （ 6） yv n2 用（ 1）式的 y / y f1 /u f1 代入（ 6）式,得 （ 7） f1u n1 u f1 v n2 f 1n1uv n2u n1v 即

23、 用（ 1）式的 y / y v f 2 / f 2 代入（ 6）式,得 （ 8） v f 2u n1 f 2v n2 f 2n2uv n2u n1v 13 / 17 第 13 頁,共 17 頁從而得 f1 , f 2 , n1 , n2 之間關(guān)系式 f 2 n2 （ 9） f1 n1 六,參考解答 （1）由能量與速度關(guān)系及題給條件可知運(yùn)動電子的能量為 2 m0c 0c 2（ 1） 1 v / c 2 2由此可解得 v （ 2） ,方向如圖復(fù)解 19-6 所示；電子的 入射光子和散射光子的動量分別為 ph和 phc c 動量為 mv , m 為運(yùn)動電子的相對論質(zhì)量；由動量守恒定律 可得 光子散

24、射方向 已知 h1m0v cos 2 2 c h（ 3） 電子 v2 / cc 光子入射方向 m0v 2 2 sin 1 v / c h（ 4） A 光子入射方向 c 圖復(fù)解 19-6 h0（ 5） 由（ 2）,（ 3）,（ 4）,（ 5）式可解得 0c 2/ h （ 6） 2（ 7） 0 c / h 27 arctan 37 1 tan （ 8） 電子從 O 點(diǎn)運(yùn)動到 A 所需時間為 t L0 2.4 L0 / c （ 9） v （2）當(dāng)觀看者相對于 S 沿 OA 方向以速度 v 運(yùn)動時,由狹義相對論的長度收縮效應(yīng)得 L2 2L0 1 v / c （ 10） L0（ 11） 14 / 17

25、第 14 頁,共 17 頁七,參考解答 1. 珠子運(yùn)動的軌跡 建立如圖復(fù)解 19-7 所示的坐標(biāo)系,原點(diǎn) O 在過 A 點(diǎn)的豎直線與細(xì)桿相交處, x 軸沿細(xì)桿 向右, y 軸沿 OA 向下；當(dāng)珠子運(yùn)動 N 點(diǎn)處且繩子未斷時,小環(huán)在 B 處, BN 垂直于 x 軸, 到 所以珠子的坐標(biāo)為 x PN,y BN 由 APN 知 AP 2 PN 2 AN 22 2即有 h y x l y 2 ,得 2 2 2x 2l h y l h （ 1） 1 1這是一個以 y 軸為對稱軸, 頂點(diǎn)位于 y l h 處,焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離為 l h 的拋物 2 21線,如圖復(fù)解 19-7-1 所示,圖中的 H l h

26、, A 為焦點(diǎn)； 22. 子 的 動 程 NH hP A O F T T B N法線 切線 xM x H CO P A 法線 mg N切線 xM x 珠 在 點(diǎn) 運(yùn) 方 C mg A T Nmg y C y 圖復(fù)解 19-7-1 圖復(fù)解 19-7-2 由于忽視繩子的質(zhì)量, 所以可把與珠子接觸的那一小段繩子看做是珠子的一部分, 就珠子 受的力有三個,一是重力 mg ；另外兩個是兩繩子對珠子的拉力,它們分別沿 NB 和 NA 方向, 這兩個拉力大小相等,皆用 T 表示,就它們的合力的大小為 F 2T cos （ 2） 為 N 點(diǎn)兩邊繩子之間夾角的一半, F 沿 ANB 的角平分線方向； 由于 AN 是焦點(diǎn)至 N 的連線, BN 平行于 y 軸,依據(jù)解析幾何所述的拋物線性質(zhì)可知, N點(diǎn)的法線是 ANB 的角平分線故合力 F 的方向與 N 點(diǎn)的法線一樣； 由以上的論證再依據(jù)牛頓定律和題中的注,珠子在 N 點(diǎn)的運(yùn)動方程（沿法線方向）應(yīng) 為 2T cos 2 v mg cos mR2 mv mgcos R（ 3） 2T cos （ 4