2022-2023年度 名師 《數(shù)學歸納法》教學案

1、PAGE14數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按以下步驟：1當n取第一個值n0例如n01,2等時結(jié)論正確；2假設(shè)當nN*，且n0時結(jié)論正確，證明當n1時結(jié)論也正確只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立1判斷下面結(jié)論是否正確請在括號中打“”或“”1用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n1時結(jié)論成立2所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明3用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用4不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由n到n1時，項數(shù)都增加了一項5用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應為1222236

2、用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n032用數(shù)學歸納法證明1aa2an1eqf1an2,1aa1，nN*，在驗證n1成立時，左邊需計算的項是_答案1aa2解析觀察等式左邊的特征得到n1時的式子為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1eqf1,2eqf1,3eqf1,4eqf1,n2eqblcrcavs4alco1f1,n2f1,n4f1,2n時，若已假設(shè)n2且為偶數(shù)時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證_答案n2時等式成立解析因為假設(shè)n2且為偶數(shù)，故下一個偶數(shù)為2neqf1,neqf1,n1eqf1,n2eqf1,n2，則fn中共有_項，f2_答案n2n1eqf1,2eqf1,3eqf1,4解析從n到n

3、2共有n2n1個數(shù)，所以fn中共有n2n1項5用數(shù)學歸納法證明：“1eqf1,2eqf1,3eqf1,2n11”時，由n1不等式成立，推理n1時，左邊應增加的項數(shù)是_答案2解析當n時，要證的式子為1eqf1,2eqf1,3eqf1,21；當n1時，要證的式子為1eqf1,2eqf1,3eqf1,21eqf1,2eqf1,21eqf1,2111左邊增加了2項題型一用數(shù)學歸納法證明等式例1求證：n1n2nn2n1352n1nN*思維啟迪證明時注意等式兩邊從n到n1時的變化證明當n1時，等式左邊2，右邊2，故等式成立；假設(shè)當nN*時等式成立，即12213521，那么當n1時，左邊1112112321

4、22213521212211352121，這就是說當n1時等式也成立由可知，對所有nN*等式成立思維升華用數(shù)學歸納法證明恒等式應注意1明確初始值n0的取值并驗證nn0時等式成立2由n證明n1時，弄清左邊增加的項，且明確變形目標3掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項；配方法用數(shù)學歸納法證明：對任意的nN*，eqf1,13eqf1,35eqf1,2n12n1eqfn,2n1證明1當n1時，左邊eqf1,13eqf1,3，右邊eqf1,211eqf1,3，左邊右邊，所以等式成立2假設(shè)當nN*時等式成立，即有eqf1,13eqf1,35eqf1,2121eqf,21，則當n1時，eqf1,13eq

5、f1,35eqf1,2121eqf1,2123eqf,21eqf1,2123eqf231,2123eqf2231,2123eqf1,23eqf1,211，所以當n1時，等式也成立由12可知，對一切nN*等式都成立題型二用數(shù)學歸納法證明不等式例2已知函數(shù)faeqf3,22的最大值不大于eqf1,6，又當eqf1,4，eqf1,2時，feqf1,81求a的值；2設(shè)0a1eqf1,2，an1fan，nN*，證明：aneqf1,n1思維啟迪1利用題中條件分別確定a的范圍，進而求a；2利用數(shù)學歸納法證明1解由題意，知faeqf3,22eqf3,2eqfa,32eqfa2,6又fmaeqf1,6，所以fe

6、qfa,3eqfa2,6eqf1,6所以a21又eqf1,4，eqf1,2時，feqf1,8，所以eqblcrcavs4alco1ff1,2f1,8，,ff1,4f1,8，即eqblcrcavs4alco1fa,2f3,8f1,8，,fa,4f3,32f1,8，解得a1又因為a21，所以a12證明用數(shù)學歸納法證明：當n1時，0a1eqf1,2，顯然結(jié)論成立因為當0，eqf1,2時，0feqf1,6，所以0a2fa1eqf1,6eqf1,3故n2時，原不等式也成立假設(shè)當n2，N*時，不等式0aeqf1,1成立因為faeqf3,22的對稱軸為直線eqf1,3，所以當0，eqf1,3時，f為增函數(shù)所

7、以由0aeqf1,1eqf1,3，得0fafeqf1,1于是，0a1faeqf1,1eqf3,2eqf1,12eqf1,2eqf1,2eqf1,2eqf4,2122eqf1,2所以當n1時，原不等式也成立根據(jù)，知對任何nN*，不等式aneqfr2n1,2均成立證明1當n2時，左邊1eqf1,3eqf4,3；右邊eqfr5,2左邊右邊，不等式成立2假設(shè)n2，且N*時不等式成立，即1eqf1,31eqf1,51eqf1,21eqfr21,2則當n1時，1eqf1,31eqf1,51eqf1,211eqf1,211eqfr21,2eqf22,21eqf22,2r21eqfr4284,2r21eqfr

8、4283,2r21eqfr23r21,2r21eqfr211,2當n1時，不等式也成立由12知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立題型三歸納猜想證明例3已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sneqfan,2eqf1,an1，且an0，nN*1求a1，a2，a3，并猜想an的通項公式；2證明通項公式的正確性思維啟迪通過計算a1，a2，a3尋求規(guī)律猜想an的通項公式，然后用數(shù)學歸納法證明1解當n1時，由已知得a1eqfa1,2eqf1,a11，aeqoal2,12a120a1eqr31a10當n2時，由已知得a1a2eqfa2,2eqf1,a21，將a1eqr31代入并整理得aeqoal2,22e

9、q r(3)a220a2eqr5eqr3a20同理可得a3eqr7eqr5猜想aneqr2n1eqr2n1nN*2證明由1知，當n1,2,3時，通項公式成立假設(shè)當n3，N*時，通項公式成立，即aeqr21eqr21由a1S1Seqfa1,2eqf1,a1eqfa,2eqf1,a，將aeqr21eqr21代入上式并整理得aeqoal2,12eqr21a120，解得：a1eqr23eqr21an0即當n1時，通項公式也成立由和，可知對所有nN*，aneqr2n1eqr2n1都成立思維升華1猜想an的通項公式是一個由特殊到一般的過程，注意兩點：準確計算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律必要時可多計算幾項；證明

10、a1時，a1的求解過程與a2、a3的求解過程相似，注意體會特殊性與一般性的辯證關(guān)系2“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性，這種思維方式是推動數(shù)學研究和發(fā)展的重要方式已知函數(shù)feqf1,33，數(shù)列an滿足條件：a11，an1fan1，試比較eqf1,1a1eqf1,1a2eqf1,1a3eqf1,1an與1的大小，并說明理由解f21，且an1fan1，an1an121，函數(shù)g121在1，上單調(diào)遞增于是由a11得a2a1121221，進而a3a2121

11、241231，由此猜想：an2n1下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想：當n1時，a12111，結(jié)論成立；假設(shè)n1且N*時結(jié)論成立，即a21當n1時，由g121在區(qū)間1，上單調(diào)遞增知a1a121221211，即n1時，結(jié)論也成立由知，對任意nN*，都有an2n1，即1an2n，eqf1,1aneqf1,2n，eqf1,1a1eqf1,1a2eqf1,1a3eqf1,1aneqf1,2eqf1,22eqf1,23eqf1,2n1eqf1,2n0，feqfa,a，令a11，an1fan，nN*1寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式；2用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論思維啟迪通過計算a2，a3，a4觀

12、察規(guī)律猜想an，然后用數(shù)學歸納法證明規(guī)范解答1解a11，a2fa1f1eqfa,1a；a3fa2eqfa,2a；a4fa3eqfa,3a4分猜想aneqfa,n1anN*6分2證明易知，n1時，猜想正確7分假設(shè)n時猜想正確，即aeqfa,1a，9分則a1faeqfaa,aaeqfafa,1a,afa,1aeqfa,1a1eqfa,11a這說明，n1時猜想正確13分由知，對于任何nN*，都有aneqfa,n1a14分歸納猜想證明問題的一般步驟：第一步：計算數(shù)列前幾項或特殊情況，觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項或一般結(jié)論；第二步：驗證一般結(jié)論對第一個值n0n0N*成立第三步：假設(shè)nn0時結(jié)論成立，證明當n1時結(jié)論也成立第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對任意nn0，nN*成立溫馨提醒解決數(shù)學歸納法中“歸納猜想證明”問題及不等式證明時，還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：1歸納整理不到位得不出正確結(jié)果，從而給猜想造成困難2證明n到n1這一步時，忽略了假設(shè)條件去證明，造成使用的不是純正的數(shù)學歸納法3不等式證明過程中，不能正確合理地運用分析法、綜合法來求證方法與技巧1數(shù)學歸納法的兩個步驟相互依存，缺一不可有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一