人教版《課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題》課件

1、13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)1.能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.2. 體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.2. 體會(huì)圖形的變化利用對(duì)稱(chēng)知識(shí)解決最短路徑問(wèn)題 “兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)之為最短路徑問(wèn)題. ABPlABCD 現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史上著名的“牧馬人飲馬問(wèn)題”及“造橋選址問(wèn)題”.探究新知利用對(duì)稱(chēng)知識(shí)解決最短路徑問(wèn)題 “兩點(diǎn)的所有連

2、線中，線段 如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問(wèn)題作圖問(wèn)題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題ABl 如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲 現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？ 根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.解：連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.問(wèn)題1：AlBC 現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)， 如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決所走路徑最短的問(wèn)題？【思考】對(duì)于問(wèn)題2

3、，如何將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿(mǎn)足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB的長(zhǎng)度相等？ ABl利用軸對(duì)稱(chēng)，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B.問(wèn)題2： 如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l 相交于點(diǎn)C 則點(diǎn)C 即為所求 ABlB C作法：ABlB C你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C 不重合)，連接AC，BC，BC由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC= AC+BC在ABC中，ABAC+BC，AC +BCAC+B

4、C即AC +BC 最短問(wèn)題3：ABlB CC 你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在直線例1 如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A7.5 B5 C4 D不能確定 解析：ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng).點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長(zhǎng)即為BF+EF的最小值.而CE=AD.B考點(diǎn)探究1 最短路徑問(wèn)題的應(yīng)用例1 如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、A 此類(lèi)求線段和的最小值

5、問(wèn)題，找準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長(zhǎng)，再根據(jù)已知條件求解.方法點(diǎn)撥 此類(lèi)求線段和的最小值問(wèn)題，找準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（ ）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM鞏固練習(xí)1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？（2）如圖，在AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使

6、得E、F、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由解析：作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C 不重合)，連接AC，BC，BC由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l 相交于點(diǎn)C如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（ ）利用軸對(duì)稱(chēng)，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B. AC+BC= AC+BC即AC+

7、CD+DB AM+MN+BN，能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.C（0，1） D（0，0）如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，A、A關(guān)于直線m對(duì)稱(chēng)，A、B關(guān)于直線n對(duì)稱(chēng)，直線m與AB和n分別交于P、Q，下面的說(shuō)法正確的是（）如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)（保留作圖痕跡）.理由：由作圖法可知，AF/DD，AF=DD，在ACE中，AC+CEAE,橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)

8、，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2），B（1，3）點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，在圖中畫(huà)出點(diǎn)PAM+MN+BN長(zhǎng)度改變了.2. 如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)（保留作圖痕跡）.解：如圖，P點(diǎn)即為該點(diǎn).如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，例2 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是

9、y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0） 解析：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB，交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)ABC的周長(zhǎng)最小，然后依據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到BE、AE的長(zhǎng)，然后證明BCO為等腰直角三角形即可BCEA探究新知例2 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1， 求三角形周長(zhǎng)的最小值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線和固定點(diǎn)，而后作某一固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，而后將其與另一固定點(diǎn)連線，連線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為三角形周長(zhǎng)最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置.方法點(diǎn)撥 求三角形周長(zhǎng)的最小值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線

10、和固定點(diǎn)，3.如圖，已知牧馬營(yíng)地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，然后回到營(yíng)地，請(qǐng)你替牧馬人設(shè)計(jì)出最短的放牧路線.解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.鞏固練習(xí)3.如圖，已知牧馬營(yíng)地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲 如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM利用平移知識(shí)解決造橋選址問(wèn)題探究新知 如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造BA ?NMNNM 如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定橋的位置，才

11、能使A到B的路徑最短呢？MBA ?NMNNM 如圖假定任選位置造橋M【思考】我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BA【思考】我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一BAAB1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了.2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了.BAAB1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變BA3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長(zhǎng)度有沒(méi)有改變呢？BA3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B

12、相連.AMBAA1MN 如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短. 理由:另任作橋M1N，連接AM，BN，AN.由平移性質(zhì)可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1A1B，而AM1 +M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1A1N1+BN1.在ANB中，因?yàn)锳1N1+BN1A1B.因此AM1 +M1N1+BN1 AM+MN+BN.BAA1MN 如圖，平移A到A1，使AA1等于ABMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A到B的路徑長(zhǎng)為 AM+MN+BN=AM+MN

13、+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長(zhǎng)為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.ABMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=解決最短路徑問(wèn)題的方法 在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變換把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.方法點(diǎn)撥解決最短路徑問(wèn)題的方法 在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常 4. 牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B

14、處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑.ABPQ.鞏固練習(xí) 4. 牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到 如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是（）AABBDECBDDAF解析：如圖，連接CP，由AD=CD，ADP=CDP=45，DP=DP，可得ADPCDP，AP=CP，AP+PE=CP+PE，當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長(zhǎng)，此時(shí)，由AB=CD，ABF=CDE，BF=DE，可得ABFCDE，AF=CE，AP+EP最小值等于線段AF的長(zhǎng)D連接中考 如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，B1.如圖

15、，直線m同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，A、A關(guān)于直線m對(duì)稱(chēng)，A、B關(guān)于直線n對(duì)稱(chēng)，直線m與AB和n分別交于P、Q，下面的說(shuō)法正確的是（）AP是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)， Q是m上到A、B距離相等的點(diǎn). BQ是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)， P是m上到A、B距離相等的點(diǎn). CP、Q都是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn). DP、Q都是m上到A、B距離相等的點(diǎn) .A.課堂檢測(cè)基礎(chǔ)題1.如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，A、A關(guān)于直線m對(duì)稱(chēng)，A2.如圖，AOB=30，AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R若PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（） A10 B15 C20 D30 A2.如圖，AOB=

16、30，AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=13.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是 米.ACBD河10003.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史上著名的“牧馬人飲馬問(wèn)題”及“造橋選址問(wèn)題”.Q是m上到A、B距離相等的點(diǎn).能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.因此AM1 +M1N1+BN1 AM+MN+BN.在ANB中，因?yàn)锳1N1+BN1A1B.由平移性質(zhì)可知，AMAN，AAM

17、NMN，AMAN.BC =BC，BC=BC則點(diǎn)C 即為所求如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，A、A關(guān)于直線m對(duì)稱(chēng)，A、B關(guān)于直線n對(duì)稱(chēng)，直線m與AB和n分別交于P、Q，下面的說(shuō)法正確的是（）AABBDECBDDAF由平移性質(zhì)可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.A10 B15考點(diǎn)探究1 最短路徑問(wèn)題的應(yīng)用C（0，1） D（0，0）A（0，3） B（0，2）解析：ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng).Q是m上到A、B距離相等的點(diǎn).5 B5（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B； AC+BC= AC+BC現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使

18、得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變換把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.由平移性質(zhì)可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AABBDECBDDAFA（0，3） B（0，2）A10 B15DP=DP，可得ADPCDP，AP=CP，AP+PE=CP+PE，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.CP、Q都是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn).能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家

19、，所走的最短距離是 米.牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑.能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.例1 如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）如圖，荊州古城河在CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD ,EE （橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD E EB的路程最短？橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？可得ABFCDE，C（0，1） D（0，0）“兩點(diǎn)的所有連線中，線

20、段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)之為最短路徑問(wèn)題.由兩點(diǎn)之間線段最短可知，5 B5考點(diǎn)探究1 最短路徑問(wèn)題的應(yīng)用利用對(duì)稱(chēng)知識(shí)解決最短路徑問(wèn)題如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是 米.4.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2），B（1，3）點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，在圖中畫(huà)出點(diǎn)PxyOBABP 解析：作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB交x軸于點(diǎn)P

21、，點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.5 B5即AC+CD+DB AM+MN+BN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？如圖，荊州古城河在CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD ,EE （橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD E EB的路程最短？在ANB中，因?yàn)锳1N1+BN1A1B.牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊

22、某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑.【思考】對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿(mǎn)足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB的長(zhǎng)度相等？利用軸對(duì)稱(chēng)，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B.能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C 不重合)，連接AC，BC，BC由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史上著名的“牧馬人飲馬問(wèn)題”及“造橋選址問(wèn)題”.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是 米. AC+BC= AC+BC如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)（保留作圖痕跡）.所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.例1 如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）解析：作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑.如圖，A和B兩地