2022高考數(shù)學(xué)（文）一輪通用版講義：2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、PAGE24第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值一、基礎(chǔ)知識批注理解深一點1增函數(shù)、減函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f的定義域為I：1增函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值1，2，當(dāng)12時，都有f1f2，那么就說函數(shù)f在區(qū)間D上是增函數(shù)2減函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值1，2，當(dāng)1f2，那么就說函數(shù)f在區(qū)間D上是減函數(shù)增減函數(shù)定義中的1，2的三個特征一是任意性；二是有大小，即12；三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可2單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間若函數(shù)yf在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)yf在這一區(qū)間具有嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)yf的單調(diào)區(qū)間有關(guān)單調(diào)區(qū)間的兩個防范1單調(diào)區(qū)間只能

2、用區(qū)間表示，不能用不等式表示2有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接3函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)yf的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：1對于任意的I，都有fM或fM2存在0I，使得f0M那么，我們稱M是函數(shù)yf的最大值或最小值函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論1閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到2開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大小值二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點在公共定義域內(nèi)：1函數(shù)f單調(diào)遞增，g單調(diào)遞增，則fg是增函數(shù)；2函數(shù)f單調(diào)遞減，g單調(diào)遞減，則fg是減函數(shù)；3函數(shù)f單調(diào)遞增，g單調(diào)遞減，則fg是增函數(shù)；4函數(shù)f

3、單調(diào)遞減，g單調(diào)遞增，則fg是減函數(shù)；5若0，則f與f單調(diào)性相同；若0在公共定義域內(nèi)與yf，yeqf1,f的單調(diào)性相反；7復(fù)合函數(shù)yfg的單調(diào)性與yfu和ug的單調(diào)性有關(guān)簡記：“同增異減”三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化功底牢一點eqavs4al一判一判eqavs4al對的打“”，錯的打“”1函數(shù)yeqf1,的單調(diào)遞減區(qū)間是，00，2具有相同單調(diào)性的函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)還具有相同的單調(diào)性3若定義在R上的函數(shù)f有f1eqf1,2Bmeqf1,2Dmeqf1,2解析：選B若函數(shù)y2m1b在R上是減函數(shù)，則2m10，即meqf1,22下列函數(shù)中，圖象是軸對稱圖形且在區(qū)間0，上單調(diào)遞減的是Ayeqf1,By21C

4、y2Dylog2|解析：選B因為函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，所以排除A、C，又y21在0，上單調(diào)遞減，ylog2|在0，上單調(diào)遞增，3函數(shù)f|2|的單調(diào)減區(qū)間是A1,2B1,0C0,2D2，解析：選A由于f|2|eqblcrcavs4alco122，2，,22，2結(jié)合圖象圖略可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,2三填一填1,7上的函數(shù)yf的圖象如圖所示，則函數(shù)yf的增區(qū)間為_解析：由圖可知函數(shù)的增區(qū)間為1,1和5,7答案：1,1和5,75函數(shù)feqf2,1在2,0上的最大值與最小值之差為_解析：易知f在2,0上是減函數(shù)，fmafminf2f0eqf2,32eqf4,3答案：eqf4,3eqavs4al考點一

5、確定函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間典例1求函數(shù)f22|1的單調(diào)區(qū)間2試討論函數(shù)feqfa,1a0在1,1上的單調(diào)性解1易知feqblcrcavs4alco1221，0，,221，0eqblcrcavs4alco1122，0，,122，0畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，2法一：定義法設(shè)1121，faeqblcrcavs4alco1f11,1aeqblcrcavs4alco11f1,1，則f1f2aeqblcrcavs4alco11f1,11aeqblcrcavs4alco11f1,21eqfa21,1121由于1120，110，210時，f1f20，即f1f2，

6、函數(shù)f在1,1上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時，f1f20，即f10時，f0，函數(shù)f在1,1上單調(diào)遞減；當(dāng)a0，函數(shù)f在1,1上單調(diào)遞增解題技法判斷函數(shù)單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法1定義法：一般步驟為設(shè)元作差變形判斷符號得出結(jié)論2圖象法：如果f是以圖象形式給出的，或者f的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性3導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間4性質(zhì)法：對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)進(jìn)行判斷；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可用同增異減來確定題組訓(xùn)練1下列函數(shù)中，滿足“1，20，且12，12f1f20”的是Af2Bf|1|Cfeqf1,Dfln1解

7、析：選C由12f1f20在0，上的單調(diào)性解：設(shè)1，2是任意兩個正數(shù)，且12，則f1f2eqblcrcavs4alco11fa,1eqblcrcavs4alco12fa,2eqf12,1212a當(dāng)012eqra時，012a，120，即f1f2，所以函數(shù)f在0，eqra上是減函數(shù)；當(dāng)eqra1a，120，所以f1f20，即f10在0，eqra上是減函數(shù)，在eqra，上是增函數(shù)eqavs4al考點二求函數(shù)的值域最值典例12022深圳調(diào)研函數(shù)y|1|2|的值域為_2若函數(shù)feqfa,ba0在eqblcrcavs4alco1f1,2，2上的值域為eqblcrcavs4alco1f1,2，2，則a_，b_

8、3函數(shù)feqblcrcavs4alco124，0，,sin，0的最大值為_解析1圖象法函數(shù)yeqblcrcavs4alco121，1，,3，10在eqblcrcavs4alco1f1,2，2上是增函數(shù)，fminfeqblcrcavs4alco1f1,2eqf1,2，fmaf22即eqblcrcavs4alco12abf1,2，,fa,2b2，解得a1，beqf5,23當(dāng)0時，f24224，而2，0，此時f在2處取得最大值，且f24；當(dāng)0時，fsin，此時f在區(qū)間0，上的最大值為1綜上所述，函數(shù)f的最大值為4答案13，21eqf5,234解題技法求函數(shù)最值的5種常用方法單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性

9、，再由單調(diào)性結(jié)合端點值求最值圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值基本不等式法先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值導(dǎo)數(shù)法先求出導(dǎo)函數(shù)，然后求出給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值換元法對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值口訣歸納單調(diào)性，左邊看，上坡遞增下坡減；函數(shù)值，若有界，上界下界值域外提醒1求函數(shù)的最值時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域2求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值題組訓(xùn)練1函數(shù)feqf24,的值域為_解析：當(dāng)0時，feqf4,4，當(dāng)且

10、僅當(dāng)2時取等號；當(dāng)0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：對任意1，f0恒成立等價于22a0在1，上恒成立，即a22在1，上恒成立又函數(shù)y22在1，上單調(diào)遞減，22ma3，故a3，又a1，3f3f2Bff2f3Cff3f2Dff2f3f2，即ff3f2答案A解題技法比較函數(shù)值大小的解題思路比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解考法二解函數(shù)不等式典例設(shè)函數(shù)feqblcrcavs4alco12，fh的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式gh或gh考法三利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍

11、或值典例2022南京調(diào)研已知函數(shù)feqfa,eqfa,2在1，上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析設(shè)111函數(shù)f在1，上是增函數(shù)，f1f21eqfa,1eqfa,2eqblcrcavs4alco12fa,2fa,212eqblcrcavs4alco11fa,120120，即a12111，1211時，f2f121abBcbaCacbDbac解析：選D由于函數(shù)f的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)yf的圖象關(guān)于直線1對稱，所以afeqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f5,2當(dāng)211時，f2f121ac2已知函數(shù)feqblcrcavs4alc

12、o1a2f1,4，1，,loga1，1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是blcrcavs4alco1f1,4，f1,2blcrcavs4alco1f1,4，f1,2blcrcavs4alco10，f1,2blcrcavs4alco1f1,2，1解析：選B由對數(shù)函數(shù)的定義可得a0，且a1又函數(shù)f在R上單調(diào)，而二次函數(shù)ya2eqf1,4的圖象開口向上，所以函數(shù)f在R上單調(diào)遞減，故有eqblcrcavs4alco10a1，,f1,2a1，,a121f1,4loga11，即eqblcrcavs4alco10a1，,00時，f3為減函數(shù)；當(dāng)eqblcrcavs4alco10，f3,2時，f23為減函

13、數(shù)，當(dāng)eqblcrcavs4alco1f3,2，時，f23為增函數(shù)；當(dāng)0，時，feqf1,1為增函數(shù)；當(dāng)0，時，f|為減函數(shù)2若函數(shù)fa1在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)ga243的單調(diào)遞增區(qū)間是A2，B，2C4，D，4解析：選B因為fa1在R上單調(diào)遞減，所以a0而ga243a22a因為a0，所以g在，2上單調(diào)遞增3已知函數(shù)f是定義在區(qū)間0，上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f21feqblcrcavs4alco1f1,3的的取值范圍是blcrcavs4alco1f1,3，f2,3blcrcavs4alco1f1,3，f2,3blcrcavs4alco1f1,2，f2,3blcrcavs4alco1

14、f1,2，f2,3解析：選D因為函數(shù)f是定義在區(qū)間0，上的增函數(shù)，滿足f21feqblcrcavs4alco1f1,3所以021eqf1,3，解得eqf1,2eqf2,342022菏澤模擬定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時，aba；當(dāng)ab時，abb2，則函數(shù)f12，2，2的最大值等于A1B1C6D12解析：選C由題意知當(dāng)21時，f2，當(dāng)11是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A3,0B，2C3，2D，0解析：選C若f是R上的增函數(shù)，則應(yīng)滿足eqblcrcavs4alco1fa,21，,a0，,12a15fa,1，解得3a27已知函數(shù)feqr223，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_解析：設(shè)t223，由t0，即223

15、0，解得1或3，所以函數(shù)f的定義域為，13，因為函數(shù)t223的圖象的對稱軸為1，所以函數(shù)t223在，1上單調(diào)遞減，在3，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f的單調(diào)遞增區(qū)間為3，答案：3，8函數(shù)feqblcrcavs4alco1f1,，1，,22，1的最大值為_解析：當(dāng)1時，函數(shù)feqf1,為減函數(shù)，所以f在1處取得最大值，為f11；當(dāng)1時，易知函數(shù)f22在0處取得最大值，為f0的最大值為2答案：29若函數(shù)feqf1,在區(qū)間2，a上的最大值與最小值的和為eqf3,4，則a_解析：由feqf1,的圖象知，feqf1,在0，上是減函數(shù)，2，a0，feqf1,在2，a上也是減函數(shù)，fmaf2eqf1,2，fminfaeqf1,a，eqf1,2eqf1,aeqf3,4，a4答案：4102022甘肅會寧聯(lián)考若feqfa1,2在區(qū)間2，上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：feqfa1,2eqf2a3,21eqfa3,2，要使函數(shù)在區(qū)間2，上是增函數(shù)，需使a30，解得a0，解得m0綜上可得，m的取值范圍是0,12已知函數(shù)fln，若fa2afa3，則正數(shù)a的取值范圍是_解析：因為fln在0