第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-

1、第十一章 曲線積分與曲面積分11-1 對弧長的曲線積分定義：設 L 為 面內的一條光滑曲線弧，函數(shù) 上有界，在 上任意插入一點列 把 L分成 n 個小段，設第 個小段的長度為 為第 個小段上任意取定的一點， 第十一章 曲線積分與曲面積分11-1 對弧長的曲線作乘積 并作和 如果當各小弧段的長度的最大值 時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) 在曲線弧上 L 上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分， 其中 叫做被積函數(shù)，L 叫做積分弧段。作乘積 例1計算 ，其中L為圓周 ，直線 及軸在第二象限內所圍成的扇形整個邊界。第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例2計算 ，其中 為折線 ，這里依次為點例2計算

2、 ，其中 例計算 ，其中L為曲線 。例計算 例4計算 ，其中L為折線 所圍成的區(qū)域的整個邊界 例4計算 例5計算半徑為R，中心角為 的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉動慣量（設線密度 ）。例5計算半徑為R，中心角為11-2 對坐標的曲線積分定義：設 L 為 面內從點 A 到點 B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù) 上有界，在 L 上沿 L的方向任意插入一點列把 L 分成 n 個有向小弧線段11-2 對坐標的曲線積分定義：設 L 為 設 為 上任意取定點，如果當各小弧段長度的最大值 時，的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) 在有向曲線弧 L 上對坐標 的曲線積分，記作 ，類似地，如果 總存在，則稱此極限為函數(shù) 在

3、有向曲線弧L 上對坐標 的曲線積分，設 記作其中 叫做被積函數(shù)，L 叫做積分弧段。以上兩個積分也稱為第二類曲線積分。記作(一)定理：設 在有向曲線弧 L 上有定義且連續(xù)，L 的參數(shù)方程為 ，當參數(shù) 單調地由變到 時，點 從 L 的起點 A沿L運動到終點 B，(一)定理：設 在以 為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)且 則曲線積分 存在，且 在以 為端例1計算 ，其中 L 為拋物線 上從點 到點 的一段弧。例1計算 ，其中 L 為拋例2計算 ，其中L為（1）半徑為 ，圓心為原點，按逆時針方向繞行的上半圓周。（2）從點 沿 軸到點 的直線段。例2計算 ，其中L為例3計算 ，其中 L為（1）拋物線 上從

4、 的一段弧。（2）拋物線 上從 的一段弧。（3）有向折線 ,這里O,A,B依次是 點（0，0），（1，0），（1，1）.例3計算 例4計算 其中 為橢圓若從 軸正向看去， 的方向是順時針的。例4計算例5設一個質點在 處受到力F的作用，F(xiàn)的大小與M到原點O的距離成正比，F(xiàn)的方向恒指向原點，此質點由點 沿橢圓 按逆時針方向移動到點 ，求力F所做的功W。例5設一個質點在 處受到例6將對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中L為沿拋物線 從點 到點 。例6將對坐標的曲線積分11-3 格林公式及其應用例1求橢圓所圍成圖形的面積。11-3 格林公式及其應用例1求橢圓例2設 L 是任意一條分段光滑的閉曲線

5、，證明：例2設 L 是任意一條分段光滑例3計算 ，其中D是為頂點三角形閉區(qū)域。例3計算 例4計算 ，其中 L為一條無重點分段光滑且不經過原點的連續(xù)閉曲線，L 的方向為逆時針方向。例4計算 例5計算其中 L 是曲線及 所圍成的區(qū)域的邊界，按逆時針方向。例5計算例6計算 ，其中L是以為頂點的三角形正向邊界曲線。例6計算 例7計算 ，其中 L 為（1）圓周 的正向。（2）正方形邊界 的正向。例7計算 例8計算其中L為曲線 按 增大的方向。例8計算定理2 設區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù) 在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則曲線積分在G內與路徑無關（或沿G內任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是 在G內恒成立

6、。定理2 設區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)例9計算曲線積分 其中L是以點 為中心，R為半徑的圓周 取逆時針方向。例9計算曲線積分定理3 設區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù) 在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則在G內為某一函數(shù) 的全微分的充分必要條件是 在G內恒成立。定理3 設區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)推論 設區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù) 在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則曲線積分在G內與路徑無關的充分必要條件是：在G 內存在函數(shù) ， 使推論 設區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)例10驗證 在右半平面 內是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。例10驗證 在右半平例11驗證：在整個 面內， 是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的

7、函數(shù)。例11驗證：在整個 面例12驗證：在整個 面內，是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。例12驗證：在整個 面內，例13求解方程例13求解方程11-4 對面積的曲面積分定義 設曲面 是光滑的，函數(shù) 在 上有界，把 任意分成 小塊 （ 同時也代表第 小塊曲面的面積），設 是 上任意取定的一點，作乘積 11-4 對面積的曲面積分定義 設曲面 是光并作和 ，如果當各小塊曲面的直徑的最大值 時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) 在曲面 上對面積的曲面積分或第一類曲面積分，記作 即其中 叫做被積函數(shù)， 叫做積分曲面。并作和 例1計算曲面積分 ，其中 是球面 被平面 截出的頂部。例1計算曲面積分

8、 ，其中例2計算曲面積分 其中 是介于之間的圓柱面 。例2計算曲面積分 例3計算 ，其中 是由平面 及 所圍成的四面體的整個邊界曲面。例3計算 ，其中 是例4計算 ，其中 是圓錐面 被柱面 所截的部分。例4計算 例5設 為橢球面 的上半部分,點 （為 在點P處的切平面） 為點 到平面的距離，求例5設 為橢球面 11-5 對坐標的曲面積分定義 設 為光滑的有向曲面，函數(shù) 在 上有界，把 任意分成 塊小曲面 （ 同時又表示第 塊小曲面的面積）， 在 面上的投影為 上任意取定的一點，如果當個小塊曲面的直徑的最大值 時，11-5 對坐標的曲面積分定義 設 為光滑的有向總存在，則稱此極限為函數(shù) 在有向曲

9、面 上對坐標 的曲面積分，記作 即其中 叫做被積函數(shù)， 叫做積分曲面?？偞嬖?，則稱此極限為函數(shù) 類似地可以定義函數(shù) 在有向曲面 上對坐標 的曲面積分 及函數(shù) 在有向曲面 上對坐標 的曲面積分 分別為 類似地可以定義函數(shù) 以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分。第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例1計算曲面積分 其中 是長方體 的整個表面的外側，例1計算曲面積分 例2計算曲面積分其中 是球面 外側在 的部分。例2計算曲面積分例3計算 ，其中 為錐面 及平面 所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側。例3計算 例4計算曲面積分其中 是旋轉拋物面介于平面 之間的部分的下側。例4計算曲面積分例5計算其中

10、是平面在第一卦限部分的上側。例5計算11-6 高斯公式 通量與散度一、高斯公式（一）定理1 設空間閉區(qū)域 是由分布光滑的閉曲面 所圍成，函數(shù) 在 上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有11-6 高斯公式 通量與散度一、高斯公式 這里 的整個邊界曲面的外側， 處的法向量的方向余弦，上面公式叫做高斯公式。第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例1利用高斯公式計算曲面積分其中 為柱面 及平面 所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側。例1利用高斯公式計算曲面積分例2利用高斯公式計算曲面積分 其中 為錐面 介于平面 之間的部分的下側， 在點 處的法向量的方向余弦。例2利用高斯公式計算曲面積分例3計算曲面積分其中 為上

11、半球面的上側。例3計算曲面積分例4設函數(shù) 在閉區(qū)域 上具有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，證明：其中 是閉區(qū)域 的整個邊界曲面 為函數(shù) 沿 的外法線方向的方向導數(shù)，符號 稱為拉普拉斯算子，這個公式叫做格林第一公式。例4設函數(shù) 二、通量與散度（一）通量定義 設某向量場由給出，其中 具有一階連續(xù)偏導數(shù)， 是場內的一片有向曲面， 處的單位法向量，則二、通量與散度叫做向量場 A 通過曲面 向著指定側的通量（或流量）第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例5求向量場 穿過曲面 流向上側的通量，其中 為柱面 ，被平面 截下的有限部分。例5求向量場 11-7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式（一）定理：設 為

12、分段光滑的空間有向閉曲線， 是以 為邊界的分片光滑的有向曲面， 的正向與 的側符合右手規(guī)則，函數(shù) 在曲面 （連同邊界 ）上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有11-7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式上面公式叫做斯托克斯公式。第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例1利用斯托克斯公式計算曲線積分 其中 為平面 被三個坐標面所截成的三角形的整個邊界，它的正向與這個三角形上側的法向量之間符合右手規(guī)則。例1利用斯托克斯公式計算曲線積分例2利用斯托克斯公式計算曲線積分其中 是用平面 截立方體 的表面所得的截痕，若從 軸的正向看去取逆時針方向。例2利用斯托克斯公式計算曲線積分二、環(huán)流量與旋度（一）環(huán)流量設有向量場 其中函數(shù) 均連續(xù)， 的定義域內的一條分段光滑的有向閉曲線, 處的單位切向量，二、環(huán)流量與旋度則積分稱為向量場 A 沿有向閉曲線