第3章 工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析

1、第3章 工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析 3.1 引言 在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)未涉及到力、速度、加速度。要對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)與性能分析，在使用中實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)性能良好的實(shí)時(shí)控制，就需要對(duì)工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析。本章將介紹工業(yè)機(jī)器人在實(shí)際作業(yè)中遇到的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)問題，為以后“工業(yè)機(jī)器人控制”等章的學(xué)習(xí)打下一個(gè)基礎(chǔ)。 后面所說說的力或或力矩都都是“廣義的”。工業(yè)機(jī)器器人作業(yè)業(yè)時(shí)，外外界對(duì)手手部的作作用力將將導(dǎo)致各各關(guān)節(jié)產(chǎn)產(chǎn)生相應(yīng)應(yīng)的作用用力。假假定工業(yè)業(yè)機(jī)器人人各關(guān)節(jié)節(jié)“鎖住住”，關(guān)關(guān)節(jié)的“鎖定用用”力與與外界環(huán)環(huán)境施加加給手部部的作用用力取得得靜力學(xué)學(xué)平衡。工業(yè)機(jī)器器人靜力力學(xué)就是是分析手部部上的作

2、作用力與與各關(guān)節(jié)節(jié)“鎖定定用”力力之間的的平衡關(guān)關(guān)系，從而根據(jù)據(jù)外界環(huán)環(huán)境在手手部上的的作用力力求出各各關(guān)節(jié)的的“鎖定定用”力力，或者者根據(jù)已已知的關(guān)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力求解解出手部部的輸出出力。工業(yè)機(jī)器器人靜力力學(xué)的任任務(wù)工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)的任任務(wù)工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力學(xué)問問題有兩兩類：(1)動(dòng)動(dòng)力學(xué)正問題：已知關(guān)節(jié)節(jié)的驅(qū)動(dòng)動(dòng)力，求求工業(yè)機(jī)機(jī)器人系系統(tǒng)相應(yīng)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)參數(shù)，包括關(guān)關(guān)節(jié)位移移、速度度和加速速度。(2)動(dòng)動(dòng)力學(xué)逆問題：已知運(yùn)動(dòng)動(dòng)軌跡點(diǎn)點(diǎn)上的關(guān)關(guān)節(jié)位移移、速度度和加速速度，求求出相應(yīng)應(yīng)的關(guān)節(jié)節(jié)力矩。研究工業(yè)業(yè)機(jī)器人人動(dòng)力學(xué)學(xué)的目的的動(dòng)力學(xué)正正問題對(duì)對(duì)工業(yè)機(jī)機(jī)器人運(yùn)運(yùn)動(dòng)仿真真是非常常有用的的。動(dòng)力

3、學(xué)逆逆問題對(duì)對(duì)實(shí)現(xiàn)工工業(yè)機(jī)器器人實(shí)時(shí)時(shí)控制是是相當(dāng)有有用的。利用動(dòng)力力學(xué)模型型，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)最優(yōu)控控制，以以期達(dá)到到良好的的動(dòng)態(tài)性性能和最最優(yōu)指標(biāo)標(biāo)。工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)模型型的用途途主要用于于工業(yè)機(jī)機(jī)器人的的設(shè)計(jì)和和離線編編程。在設(shè)計(jì)中中需根據(jù)據(jù)連桿質(zhì)質(zhì)量、運(yùn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和和動(dòng)力學(xué)學(xué)參數(shù)，傳動(dòng)機(jī)機(jī)構(gòu)特征征和負(fù)載載大小進(jìn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)態(tài)仿真，對(duì)其性性能進(jìn)行行分析，從而決決定工業(yè)業(yè)機(jī)器人人的結(jié)構(gòu)構(gòu)參數(shù)和和傳動(dòng)方方案，驗(yàn)驗(yàn)算設(shè)計(jì)計(jì)方案的的合理性性和可行行性。在離線編編程時(shí)，為了估估計(jì)工業(yè)業(yè)機(jī)器人人高速運(yùn)運(yùn)動(dòng)引起起的動(dòng)載載荷和路路徑偏差差，要進(jìn)進(jìn)行路徑徑控制仿仿真和動(dòng)動(dòng)態(tài)模型型的仿真真。動(dòng)力學(xué)問問題的困困難工業(yè)機(jī)器器

4、人是一一個(gè)非線線性的復(fù)復(fù)雜的動(dòng)動(dòng)力學(xué)系系統(tǒng)。動(dòng)動(dòng)力學(xué)問問題的求求解比較較困難，而且需需要較長(zhǎng)長(zhǎng)的運(yùn)算算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求求解過程程，最大大限度地地減少工工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)在線線計(jì)算的的時(shí)間是是一個(gè)受受到關(guān)注注的研究究課題。在這一章章里，我我們將首首先討論論與工業(yè)業(yè)機(jī)器人人速度和和靜力學(xué)學(xué)有關(guān)的的雅可比比矩陣，然后介介紹工業(yè)業(yè)機(jī)器人人的靜力力學(xué)問題題和動(dòng)力力學(xué)問題題。3.2工工業(yè)機(jī)機(jī)器人速速度雅可可比與速速度分析析3.2.1工工業(yè)機(jī)器器人速度度雅可比比數(shù)學(xué)上雅可比矩矩陣(Jacobianmatrix)是一個(gè)個(gè)多元函函數(shù)的偏偏導(dǎo)矩陣陣。假設(shè)有六六個(gè)函數(shù)數(shù)，每個(gè)個(gè)函數(shù)有有六個(gè)變變量，即即：可寫成：

5、YF(X)將其微分分，得：(3-1)也可簡(jiǎn)寫寫成：(3-2)(3-3)式(3-3)中中的(66)矩陣叫做雅可比矩矩陣。在工業(yè)機(jī)機(jī)器人速速度分析析和以后后的靜力力學(xué)分析析中都將將遇到類類似的矩矩陣，我我們稱之之為工業(yè)機(jī)器器人雅可可比矩陣陣，或簡(jiǎn)稱雅可可比。一般用用符號(hào)J表示。圖3-1為二自自由度平平面關(guān)節(jié)節(jié)型工業(yè)業(yè)機(jī)器人人（2R工業(yè)機(jī)機(jī)器人），其端端點(diǎn)位置置x，y與關(guān)節(jié)變變量1、2的關(guān)系為為：X0Y0O0l1l221(x，y)T端點(diǎn)圖3-1 二自由度平面關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人將其微分分，得：(3-4)即： (3-5)將其寫成成矩陣形形式為：令：(3-6)(3-7)式(3-6)可可簡(jiǎn)寫為為：dXJd(3-

6、8)式中：我們將J稱為圖3-1所所示二自自由度平平面關(guān)節(jié)節(jié)型工業(yè)業(yè)機(jī)器人人的速度度雅可比比，它反映了關(guān)節(jié)空間間微小運(yùn)動(dòng)動(dòng)d與手部作業(yè)空間間微小位移移dX之間的關(guān)關(guān)系。注意：dX此時(shí)表示示微小線位位移。若對(duì)式(3-7)進(jìn)行行運(yùn)算，則2R工業(yè)機(jī)機(jī)器人的的雅可比比寫為：(3-9)從J中元素的的組成可可見，J陣的值是是1及2的函數(shù)。廣義關(guān)節(jié)節(jié)變量qq1q2qnT轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)節(jié)：qii，移動(dòng)關(guān)關(guān)節(jié)：qididqdq1dq2 dqnT反映了關(guān)節(jié)空間間的微小運(yùn)運(yùn)動(dòng)。手部在操操作空間間的運(yùn)動(dòng)動(dòng)參數(shù)用用X表示，它它是關(guān)節(jié)節(jié)變量的的函數(shù)，即XX(q)，并且且是一個(gè)個(gè)6維列列矢量。dXdxdydzxyzTdX反映了操作

7、空間間的微小運(yùn)運(yùn)動(dòng)，它由工業(yè)業(yè)機(jī)器人人手部微微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng))組組成。參照(3-8)式可寫寫出類似似的方程程式，即即：dXJ(q)dq(3-10)式中J(q)是6n的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)矩陣，稱為n自由度工工業(yè)機(jī)器器人速度度雅可比比矩陣。它反映了關(guān)節(jié)空間間微小運(yùn)動(dòng)動(dòng)dq與手部作業(yè)空間間微小運(yùn)動(dòng)動(dòng)dX之間的關(guān)關(guān)系。它的第第i行第j列元素為為：(3-11)i1，2，6；j1，2，n3.2.2工工業(yè)機(jī)器器人速度度分析對(duì)式(3-10)左、右兩邊邊各除以以dt，得：(3-12)即：(3-13)式(3-13)中：V工業(yè)業(yè)機(jī)器人人手部在在操作空空間中的的廣義速速度，V=；工業(yè)業(yè)機(jī)器人人關(guān)節(jié)在在關(guān)節(jié)空空

8、間中的的關(guān)節(jié)速速度；J(q)確確定關(guān)節(jié)節(jié)空間速速度與與操操作空間間速度V之間關(guān)系系的雅可可比矩陣陣。圖3-1所示二二自由度度平面關(guān)關(guān)節(jié)型工工業(yè)機(jī)器器人手部部的速度度為：假如1及2是時(shí)間的的函數(shù)，1=f1(t)，2=f2(t)，則可可由此式式求出手手部的瞬瞬時(shí)速度度Vf(t) 。對(duì)于圖3-1所所示2R工業(yè)機(jī)機(jī)器人，若令J1、J2分別為式式(3-9)所所示雅可可比的第第一列矢矢量和第第二列矢矢量，則則式(3-13)可寫寫成：式中右邊邊第一項(xiàng)項(xiàng)表示僅僅由第一一個(gè)關(guān)節(jié)節(jié)運(yùn)動(dòng)引引起的端端點(diǎn)速度度；右邊邊第二項(xiàng)項(xiàng)表示僅僅由第二二個(gè)關(guān)節(jié)節(jié)運(yùn)動(dòng)引引起的端端點(diǎn)速度度；總的的端點(diǎn)速速度為這這兩個(gè)速速度矢量量的合成

9、成。工業(yè)機(jī)器器人速度度雅可比比的每一一列表示示其它關(guān)關(guān)節(jié)不動(dòng)動(dòng)而某一一關(guān)節(jié)運(yùn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生生的端點(diǎn)點(diǎn)速度。反之，假假如給定定工業(yè)機(jī)機(jī)器人手手部速度度，可由由式(3-13)解出出相應(yīng)的的關(guān)節(jié)速速度，即即：(3-14)式中：J-1稱為工業(yè)業(yè)機(jī)器人人逆速度雅雅可比。式(3-14)是一個(gè)個(gè)很重要要的關(guān)系系式。例例如，d當(dāng)希望望工業(yè)機(jī)機(jī)器人手手部在空空間按規(guī)規(guī)定的速速度進(jìn)行行作業(yè)，那么用用式(3-14)可以以計(jì)算出出沿路徑徑上每一一瞬時(shí)相相應(yīng)的關(guān)關(guān)節(jié)速度度。一般來說說，求J-1是比較困困難的，有時(shí)還還會(huì)出現(xiàn)現(xiàn)奇異解解，就無無法解算算關(guān)節(jié)速速度。通常J-1出現(xiàn)奇異異解的情情況有下下面兩種種：1)工作域邊邊界上奇

10、奇異。當(dāng)臂全全部伸展展開或全全部折回回而使手手部處于于工作域域的邊界界上或邊邊界附近近時(shí)，出出現(xiàn)J-1奇異，這這時(shí)工業(yè)業(yè)機(jī)器人人相應(yīng)的的形位叫叫做奇異形位位。2)工作域內(nèi)內(nèi)部奇異異。奇異也也可以是是由兩個(gè)個(gè)或更多多個(gè)關(guān)節(jié)軸線線重合所引起的的。當(dāng)工業(yè)機(jī)機(jī)器人處處在奇異異形位時(shí)時(shí)，就會(huì)會(huì)產(chǎn)生退退化現(xiàn)象象，喪失失一個(gè)或或更多自自由度。這意味味著在空空間某個(gè)個(gè)方向(或子域域)上，不管工工業(yè)機(jī)器器人關(guān)節(jié)節(jié)速度怎怎樣選擇擇手部也也不可能能實(shí)現(xiàn)移移動(dòng)。例3-1如圖3-2所示示二自由由度平面面關(guān)節(jié)型型機(jī)械手手。手部部某瞬時(shí)沿固定坐坐標(biāo)系X0軸正向以以1.0m/s速度移移動(dòng)，桿桿長(zhǎng)為l1l20.5m。假假設(shè)該瞬

11、瞬時(shí)130，1-60。求相應(yīng)應(yīng)瞬時(shí)的的關(guān)節(jié)速速度。1X0Y0O0l1l2圖3-2 二自由度機(jī)械手手爪沿X0方向運(yùn)動(dòng)2V2X2Y2O2例3-1解由式(3-9)知，二二自由度度機(jī)械手手的速度度雅可比比為：因此，逆逆速度雅雅可比為為：(3-15)例3-1解（續(xù)）已知端點(diǎn)點(diǎn)速度為為：因此，由由式(3-14)可得得：因此可可得：例3-1解（續(xù)）例3-1奇異討論論從式(3-15)知，當(dāng)l1l2s20時(shí)無無解。因?yàn)閘10，l20，所以以，在20或2180時(shí)，二自自由度工工業(yè)機(jī)器器人逆速速度雅可可比J-1奇異。這這時(shí)，該該工業(yè)機(jī)機(jī)器人二二臂完全全伸直，或完全全折回，即兩桿桿重合，工業(yè)機(jī)機(jī)器人處于奇異異形位。在

12、這種種奇異形形位下，手部正正好處在在工作域域的邊界界上，該該瞬時(shí)手手部只能能沿著一一個(gè)方向向(即與與臂垂直直的方向向)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，不能能沿其它它方向運(yùn)運(yùn)動(dòng)，退化了一一個(gè)自由由度。六自由度度機(jī)器人人速度雅雅可比J在三維空空間中作作業(yè)的六六自由度度工業(yè)機(jī)機(jī)器人，其速度度雅可比比J是一個(gè)66矩矩陣，和和V分別是61列列陣，即即：V(61)J(q)(66)(61)手部速度度矢量V是由31線速速度矢量量和31角速速度矢量量組合而而成的6維列矢矢量。關(guān)節(jié)速度度矢量是是由6個(gè)個(gè)關(guān)節(jié)速速度組合合而成的的6維列列矢量。雅可比矩矩陣J的前三行行代表手手部線速速度與關(guān)關(guān)節(jié)速度度的傳遞遞比；后后三行代代表手部部角速度度與

13、關(guān)節(jié)節(jié)速度的的傳遞比比。而雅雅可比矩矩陣J的第i列則代表第i個(gè)關(guān)節(jié)速度度對(duì)手部部線速度度和角速速度的傳傳遞比。3.3工工業(yè)機(jī)機(jī)器人力力雅可比比與靜力力學(xué)分析析工業(yè)機(jī)器器人在作作業(yè)過程程中，當(dāng)當(dāng)手部（或末端端操作器器）與環(huán)環(huán)境接觸觸時(shí)，會(huì)會(huì)引起各各個(gè)關(guān)節(jié)節(jié)產(chǎn)生相相應(yīng)的作作用力。工業(yè)機(jī)器器人各關(guān)關(guān)節(jié)的驅(qū)驅(qū)動(dòng)裝置置提供關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩，通過過連桿傳傳遞到手手部，克克服外界界作用力力。本節(jié)討論論操作臂臂在靜止止?fàn)顟B(tài)下下力的平平衡關(guān)系系。我們假定定各關(guān)節(jié)節(jié)“鎖住住”，工工業(yè)機(jī)器器人成為為一個(gè)結(jié)結(jié)構(gòu)體。關(guān)節(jié)的的“鎖定定用”力力與手部部所支持持的載荷荷或受到到外界環(huán)環(huán)境作用用的力取取得靜力力學(xué)平衡衡。求解解這種

14、“鎖定用用”的關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩，或求求解在已已知驅(qū)動(dòng)動(dòng)力作用用下手部部的輸出出力就是是對(duì)工業(yè)業(yè)機(jī)器人人操作臂臂進(jìn)行靜靜力學(xué)分分析。3.3.1操操作臂中中的靜力力學(xué)這里以操操作臂中中單個(gè)桿桿件為例例分析受受力情況況。如圖3-3所示示，桿件件i通過關(guān)節(jié)節(jié)i和i+1分別別與桿件件i-1和桿桿件i+1相連連接，兩兩個(gè)坐標(biāo)標(biāo)系i-1和和i分別如如圖所示示。關(guān)節(jié)iO0Y0X0Z0i驅(qū)動(dòng)器imig桿i-1Oi-1ni-1，iZi-1fi-1，i桿i桿i+1ri+ciri-1，i關(guān)節(jié)i+1-ni，i+1-fi，i+1ZiOiCi圖3-3 桿i上的力和力矩圖3-3中力和和力矩fi-1，i及ni-1，ii-1桿通通過

15、關(guān)節(jié)節(jié)i作用在i桿上的力力和力矩矩；fi，i+1及ni，i+1i桿通過關(guān)關(guān)節(jié)i+1作用用在i+1桿上上的力和和力矩；-fi，i+1及-ni，i+1i+1桿通通過關(guān)節(jié)節(jié)i+1作用用在i桿上的反反作用力和反作作用力矩矩；fn，n+1及nn，n+1工業(yè)業(yè)機(jī)器人人最末桿桿對(duì)外界界環(huán)境的的作用力力和力矩；-fn，n+1及-nn，n+1外界界環(huán)境對(duì)對(duì)工業(yè)機(jī)機(jī)器人最最末桿的的作用力和和力矩；f0，1及n0，1工業(yè)業(yè)機(jī)器人人底座對(duì)對(duì)桿1的的作用力力和力矩矩；mig連桿桿i的重量，作用在在質(zhì)心Ci上。連桿i的靜力學(xué)學(xué)平衡條條件連桿i的力和力力矩平衡衡方程式式為：fi-1，i+(-fi，i+1)+mig0(3-1

16、6)ni-1，i+ (-ni，i+1) +(ri-1，i+ri，ci)fi-1，i+(ri，ci)(-fi，i+1)0(3-17)式中：ri-1，i坐標(biāo)標(biāo)系i的原點(diǎn)點(diǎn)相對(duì)于于坐標(biāo)系系i-1的的位置矢矢量；ri，ci質(zhì)心心相對(duì)于于坐標(biāo)系系i的位置置矢量。3.3.1操操作臂中中的靜力力學(xué)(續(xù)續(xù))假如已知知外界環(huán)環(huán)境對(duì)工工業(yè)機(jī)器器人最末末桿的作作用力和和力矩，那么可可以由最最后一個(gè)個(gè)連桿向向第零號(hào)號(hào)連桿(機(jī)座)依次遞遞推，從從而計(jì)算算出每個(gè)個(gè)連桿上上的受力力情況。為了便于于表示工工業(yè)機(jī)器器人手部部端點(diǎn)的的力和力力矩(簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱為端端點(diǎn)力F)，可將將fn，n+1和nn，n+1合并寫成成一個(gè)6維矢量量：(3

17、-18)3.3.1操操作臂中中的靜力力學(xué)(續(xù)續(xù))各關(guān)節(jié)驅(qū)驅(qū)動(dòng)器的的驅(qū)動(dòng)力力或力矩矩可寫成成一個(gè)n維矢量的的形式，即：(3-19)式中：n關(guān)節(jié)節(jié)的個(gè)數(shù)數(shù)；關(guān)節(jié)節(jié)力矩(或關(guān)節(jié)節(jié)力)矢矢量，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱廣義關(guān)節(jié)節(jié)力矩。3.3.2工工業(yè)機(jī)器器人力雅雅可比假定關(guān)節(jié)節(jié)無摩擦擦，并忽忽略各桿桿件的重重力，則則廣義關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩與工業(yè)機(jī)機(jī)器人手手部端點(diǎn)點(diǎn)力F的關(guān)系可可用下式式描述：JTF(3-20)式中：JT為n6階工工業(yè)機(jī)器器人力雅雅可比矩矩陣或力雅可比比。上式可用用下述虛虛功原理理證明如如下：3.3.2工工業(yè)機(jī)器器人力雅雅可比(續(xù))考慮各個(gè)個(gè)關(guān)節(jié)的的虛位移移為qi，手部的的虛位移移為X，如圖3-4所示。圖3-4

18、手部及各關(guān)節(jié)的虛位移X0Y0O0iqi-nn，n+1-fn，n+1d3.3.2工工業(yè)機(jī)器器人力雅雅可比(續(xù))式中，ddxdydzT和xyzT分別對(duì)應(yīng)應(yīng)于手部部的線虛位移移和角虛虛位移（作業(yè)空空間）；q為由各關(guān)關(guān)節(jié)虛位位移qi組成的工工業(yè)機(jī)器器人關(guān)節(jié)節(jié)虛位移移矢量（關(guān)節(jié)空空間）。及qq1，q2qnT(3-21)3.3.2工工業(yè)機(jī)器器人力雅雅可比(續(xù)) 假設(shè)發(fā)生生上述虛虛位移時(shí)時(shí)，各關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩為i(i1，2，n)，環(huán)境作作用在工工業(yè)機(jī)器器人手部部端點(diǎn)上上的力和和力矩分分別為-fn，n+1和-nn，n+1。由上述述力和力力矩所做做的虛功功可以由由下式求求出：W1q1+2q2+nqn-fn，n+1d

19、-nn，n+1或?qū)懗桑篧Tq-FTX(3-22)3.3.2工工業(yè)機(jī)器器人力雅雅可比(續(xù)) 根據(jù)虛位位移原理理，工業(yè)業(yè)機(jī)器人人處于平平衡狀態(tài)態(tài)的充分分必要條條件是對(duì)對(duì)任意符符合幾何何約束的的虛位移移，有：W0注意到虛虛位移q和X并不是獨(dú)獨(dú)立的，是符合合桿件的的幾何約約束條件件的。利利用式(3-10)，dXJdq，將式(3-22)改寫成：WTq-FTJq(-JTF)Tq(3-23)式中的q表示幾何何上允許許位移的的關(guān)節(jié)獨(dú)獨(dú)立變量量，對(duì)于于任意的的q，欲使W0，必有：JTF證畢。3.3.2工工業(yè)機(jī)器器人力雅雅可比(續(xù)) 式(3-23)表示在靜靜力平衡衡狀態(tài)下下，手部部端點(diǎn)力力F向廣義關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩映射

20、的線線性關(guān)系系。式中中JT與手部端端點(diǎn)力F和廣義關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩之間的力力傳遞有有關(guān)，故故叫作工工業(yè)機(jī)器器人力雅可比比。很明顯顯，力雅可比比JT正好是工工業(yè)機(jī)器器人速度度雅可比比J的轉(zhuǎn)置。3.3.3工工業(yè)機(jī)器器人靜力力學(xué)的兩兩類問問題從操作臂臂手部端端點(diǎn)力F與廣義關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩之間的關(guān)關(guān)系式JTF可知，操操作臂靜靜力學(xué)可可分為兩兩類問題題：(1)已已知外外界環(huán)境境對(duì)工業(yè)業(yè)機(jī)器人人手部作作用力F(即手部部端點(diǎn)力力F-F)，求相相應(yīng)的滿滿足靜力力學(xué)平衡衡條件的的關(guān)節(jié)驅(qū)驅(qū)動(dòng)力矩矩。(2)已已知關(guān)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力矩，確定工工業(yè)機(jī)器器人手部部對(duì)外界界環(huán)境的的作用力力F或負(fù)荷的的質(zhì)量。3.3.3靜靜力學(xué)的的兩類問問

21、題(續(xù))第二類問問題是第第一類問問題的逆逆解。這這時(shí)F(JT)-1但是，由由于工業(yè)業(yè)機(jī)器人人的自由由度可能能不是6，比如如n6，力力雅可比比矩陣就就有可能能不是一一個(gè)方陣陣，則JT就沒有逆逆解。所所以，對(duì)對(duì)這類問問題的求求解就困困難得多多，在一一般情況況下不一一定能得得到唯一一的解。如果F的維數(shù)比比的維數(shù)低低，且J是滿秩的的話，則則可利用用最小二二乘法求求得F的估值。例3-2圖3-5所示的的一個(gè)二二自由度度平面關(guān)關(guān)節(jié)型機(jī)機(jī)械手，已知手手部端點(diǎn)點(diǎn)力FFx，F(xiàn)yT，求相應(yīng)應(yīng)于端點(diǎn)點(diǎn)力F的關(guān)節(jié)力力矩(不不考慮摩摩擦)。例3-2(續(xù))Y01FFxFy1=0X02=90l1l22(b)圖3-5 手部部端

22、點(diǎn)力力F與關(guān)節(jié)力力矩X011l122l2F=Fx，F(xiàn)yT(a)Y0例3-2(解)(續(xù))已知該機(jī)機(jī)械手的的速度雅雅可比為為：則該機(jī)械械手的力力雅可比比為：例3-2(解)(續(xù))根據(jù)JTF，得：所以：1= -l1sin1+l2sin(1+2)Fx+l1cos1+l2cos(1+2)Fy2= -l2sin(1+2)Fx+l2cos(1+2)Fy例3-2(解)(續(xù))若如圖3-5(b)所所示，在在某瞬時(shí)時(shí)10，290，則在該該瞬時(shí)與與手部端端點(diǎn)力相相對(duì)應(yīng)的的關(guān)節(jié)力力矩為：1=-l2Fx+l1Fy2=-l2Fx工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)研究究的是各各桿件的的運(yùn)動(dòng)和和作用力力之間的的關(guān)系。工業(yè)機(jī)機(jī)器人動(dòng)動(dòng)力學(xué)分分析

23、是工工業(yè)機(jī)器器人設(shè)計(jì)計(jì)、運(yùn)動(dòng)動(dòng)仿真和和動(dòng)態(tài)實(shí)實(shí)時(shí)控制制的基礎(chǔ)礎(chǔ)。在本本章開頭頭說過，工業(yè)機(jī)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問問題有兩兩類：動(dòng)力學(xué)正問題已知知關(guān)節(jié)的的驅(qū)動(dòng)力力矩，求求工業(yè)機(jī)機(jī)器人系系統(tǒng)相應(yīng)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)參數(shù)（包括關(guān)關(guān)節(jié)位移移、速度度和加速速度）。動(dòng)力學(xué)逆問題已知知運(yùn)動(dòng)軌軌跡點(diǎn)上上的關(guān)節(jié)節(jié)位移、速度和和加速度度，求出出所需要要的關(guān)節(jié)節(jié)力矩。3.4工工業(yè)機(jī)機(jī)器人動(dòng)動(dòng)力學(xué)分分析工業(yè)機(jī)器器人是由由多個(gè)連連桿和多多個(gè)關(guān)節(jié)節(jié)組成的的復(fù)雜的的動(dòng)力學(xué)學(xué)系統(tǒng)，具有多個(gè)輸入入和多個(gè)個(gè)輸出。存在著著錯(cuò)綜復(fù)復(fù)雜的耦耦合關(guān)系系和嚴(yán)重重的非線線性。因因此，對(duì)對(duì)于工業(yè)業(yè)機(jī)器人人動(dòng)力學(xué)學(xué)的研究究，引起起了十分分廣泛的的重視，所采用用的

24、方法法很多，有拉格朗日日(Lagrange)方法、牛頓歐歐拉方法法(Newton-Euler)方法、高斯(Gauss)方法、凱恩(Kane)方法；旋量對(duì)偶偶數(shù)方法、羅伯遜魏登堡堡(Roberson-WitTenburg)方法等。3.4工工業(yè)機(jī)機(jī)器人動(dòng)動(dòng)力學(xué)分分析(續(xù)續(xù))拉格朗日日方法不僅僅能以最最簡(jiǎn)單的的形式求求得非常常復(fù)雜的的系統(tǒng)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程，而而且具有有顯式結(jié)結(jié)構(gòu)，物物理意義義比較明明確，對(duì)對(duì)理解工工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)比較較方便。因此，本節(jié)只只介紹拉拉格朗日日方法，而且用用簡(jiǎn)單實(shí)實(shí)例進(jìn)行行分析。工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)問題題的求解解比較困困難，而而且需要要較長(zhǎng)的的運(yùn)算時(shí)時(shí)間。因因此，簡(jiǎn)簡(jiǎn)化求

25、解解的過程程，最大大限度地地減少工工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)在線線計(jì)算的的時(shí)間是是一個(gè)受受到關(guān)注注的研究究課題。3.4工工業(yè)機(jī)機(jī)器人動(dòng)動(dòng)力學(xué)分分析(續(xù)續(xù))1)拉拉格朗日日函數(shù)拉格朗日日函數(shù)L的定義是是一個(gè)機(jī)機(jī)械系統(tǒng)統(tǒng)的動(dòng)能能Ek和勢(shì)能Eq之差，即即：LEk-Eq(3-24)令qi(i1，2，n)是使系系統(tǒng)具有有完全確確定位置置的廣義義關(guān)節(jié)變變量，是是相應(yīng)應(yīng)的廣義義關(guān)節(jié)速速度。由于系統(tǒng)統(tǒng)動(dòng)能Ek是qi和的的函數(shù)，系統(tǒng)勢(shì)勢(shì)能Eq是qi的函數(shù)，因此拉拉格朗日日函數(shù)也也是qi和的的函函數(shù)。3.4.1拉拉格朗日日方程2)拉拉格朗日日方程系統(tǒng)的拉拉格朗日日方程為為：3.4.1拉拉格朗日日方程(續(xù))i1，2，n(

26、3-25)式中，F(xiàn)i稱為關(guān)節(jié)節(jié)i的廣義驅(qū)驅(qū)動(dòng)力。如果是是移動(dòng)關(guān)關(guān)節(jié)，則則Fi為驅(qū)動(dòng)力力；如果果是轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)關(guān)節(jié)，則Fi為驅(qū)動(dòng)力力矩3)用用拉格朗朗日法建建立工業(yè)業(yè)機(jī)器人人動(dòng)力學(xué)學(xué)方程的的步驟：(1)選選取坐坐標(biāo)系，選定完完全而且且獨(dú)立的的廣義關(guān)關(guān)節(jié)變量量qi(i1，2，n)(2)選選定相相應(yīng)的關(guān)關(guān)節(jié)上的的廣義力力Fi：當(dāng)qi是位移變變量時(shí)，則Fi為力；當(dāng)當(dāng)qi是角度變變量時(shí)，則Fi為力矩。(3)求求出工工業(yè)機(jī)器器人各構(gòu)構(gòu)件的動(dòng)動(dòng)能和勢(shì)勢(shì)能，構(gòu)構(gòu)造拉格格朗日函函數(shù)。(4)代代入拉拉格朗日日方程求求得工業(yè)業(yè)機(jī)器人人系統(tǒng)的的動(dòng)力學(xué)學(xué)方程3.4.1拉拉格朗日日方程(續(xù))1)廣廣義關(guān)節(jié)節(jié)變量及及廣義力力的選

27、定定如圖3-6所示示，選取取笛卡爾爾坐標(biāo)系系。連桿桿l和連連桿2的的關(guān)節(jié)變變量分別別為轉(zhuǎn)角角1和2，相應(yīng)的的關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)節(jié)2的力力矩是1和2。連桿1和連桿桿2的質(zhì)質(zhì)量分別別是ml和m2，桿長(zhǎng)分分別為ll和l2，質(zhì)心分分別在kl和k2處，離關(guān)關(guān)節(jié)中心心的距離離分別為為pl和p2。3.4.2二二自由度度平面關(guān)關(guān)節(jié)型工工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)方程程圖3-6 二自自由度工工業(yè)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)方程程的建立立l1k1m2k2m121p2l2p1X0Y03.4.2(續(xù))3.4.2(續(xù))桿1質(zhì)心心kl的位置坐坐標(biāo)為：x1p1sin1y1-p1cos1桿1質(zhì)心心kl的速度平平方為：3.4.2(續(xù))桿2質(zhì)心心k2的位

28、置坐坐標(biāo)為：x2llsinl+p2sin(l+2)y2-llcosl-p2cos(l+2)桿2質(zhì)心心k2的速度平平方為：2)系系統(tǒng)動(dòng)能能3)系系統(tǒng)勢(shì)能能4)拉拉格朗日日函數(shù)5)系系統(tǒng)動(dòng)力力學(xué)方程程根據(jù)拉格格朗日方方程 i1，2，n可計(jì)算各各關(guān)節(jié)上上的力矩矩，得到到系統(tǒng)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程。 計(jì)算關(guān)節(jié)節(jié)1上的的力矩1：因?yàn)?所以 計(jì)算關(guān)節(jié)節(jié)1上的的力矩1：(續(xù))上式可簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫為： 由此可得得 (3-26)(3-27)計(jì)算關(guān)節(jié)節(jié)2上的的力矩2：因?yàn)?所以 計(jì)算關(guān)節(jié)節(jié)2上的的力矩2：(續(xù))上式可簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫為： 由此可得得 (3-28)(3-29)3.4.2(續(xù))式(3-26)、(3-27)及式式(3-28)、(

29、3-29)分別別表示了了關(guān)節(jié)驅(qū)驅(qū)動(dòng)力矩矩與關(guān)節(jié)節(jié)位移、速度、加速度度之間的的關(guān)系，即力和和運(yùn)動(dòng)之之間的關(guān)關(guān)系，稱稱為圖3-6所所示二自自由度工工業(yè)機(jī)器器人的動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程。對(duì)對(duì)其進(jìn)行行分析可可知：3.4.2(續(xù))(1)含含有或或的的項(xiàng)表示示由于加加速度引引起的關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩項(xiàng)，其其中：含有D11和D22的項(xiàng)分別別表示由由于關(guān)節(jié)節(jié)1加速速度和關(guān)關(guān)節(jié)2加加速度引引起的慣慣性力矩矩項(xiàng)；含有D12的項(xiàng)表示示關(guān)節(jié)2的加速速度對(duì)關(guān)關(guān)節(jié)1的的耦合慣慣性力矩矩項(xiàng)；含有D21的項(xiàng)表示示關(guān)節(jié)1的加速速度對(duì)關(guān)關(guān)節(jié)2的的耦合慣慣性力矩矩項(xiàng)。3.4.2(續(xù))(2)含含有和和的的項(xiàng)表示示由于向向心力引引起的關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩項(xiàng)，

30、其其中：含有D122的項(xiàng)表示示關(guān)節(jié)2速度引引起的向向心力對(duì)對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合合力矩項(xiàng)項(xiàng)；含有D211的項(xiàng)表示示關(guān)節(jié)1速度引引起的向向心力對(duì)對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合合力矩項(xiàng)項(xiàng)。3.4.2(續(xù))(3)含含有的的項(xiàng)項(xiàng)表示由由于哥氏氏力引起起的關(guān)節(jié)節(jié)力矩項(xiàng)項(xiàng)，其中中：含有D112的項(xiàng)表示示哥氏力力對(duì)關(guān)節(jié)節(jié)1的耦耦合力矩矩項(xiàng)；含有D212的項(xiàng)表示示哥氏力力對(duì)關(guān)節(jié)節(jié)2的耦耦合力矩矩項(xiàng)。3.4.2(續(xù))(4)只只含關(guān)關(guān)節(jié)變量量1、2的項(xiàng)表示示重力引引起的關(guān)關(guān)節(jié)力矩矩項(xiàng)。其其中：含有D1的項(xiàng)表示示連桿1、連桿桿2的質(zhì)質(zhì)量對(duì)關(guān)關(guān)節(jié)1引引起的重重力矩項(xiàng)項(xiàng)；含有D2的項(xiàng)表示示連桿2的質(zhì)量量對(duì)關(guān)節(jié)節(jié)2引起起的重力力矩項(xiàng)。3.4.2(續(xù))從上面推推導(dǎo)可以以看出，很簡(jiǎn)單單的二自自由度平平面關(guān)節(jié)節(jié)型工業(yè)業(yè)機(jī)器人人其動(dòng)力力學(xué)方程程已經(jīng)很很復(fù)雜了了，包含含很多因因素，這這些因素素都在影影響工業(yè)業(yè)機(jī)器人人的動(dòng)力力學(xué)特性性。對(duì)于于復(fù)雜一一些的多多自由度度工業(yè)機(jī)機(jī)器人，動(dòng)力學(xué)學(xué)方程更更龐雜了了，推導(dǎo)導(dǎo)過程也也更為復(fù)復(fù)雜。不不僅如此此，對(duì)工工業(yè)機(jī)器器人實(shí)時(shí)時(shí)控制也也帶來不不小的麻麻煩。通通常，有有一些簡(jiǎn)簡(jiǎn)化問題題的方法法：3.4.2(續(xù))(1)當(dāng)當(dāng)桿件件質(zhì)量不不很大，重量很很輕時(shí)，動(dòng)力學(xué)學(xué)方程中中的重力力矩項(xiàng)可可以省略略；(2)當(dāng)當(dāng)關(guān)節(jié)節(jié)速度不不很大，工業(yè)機(jī)機(jī)器人不不是高速速工業(yè)機(jī)機(jī)器人時(shí)時(shí)，含有有、等等項(xiàng)可可以省略略；(3)當(dāng)當(dāng)關(guān)節(jié)