工具變量方法原理

1、工具變量原理教學(xué)目的及要求：1、理解引入隨機解釋變量的目的及產(chǎn)生的影響2、理解估計量的漸進無偏性和一致性3、掌握隨機解釋變量OLS的估計特性4、應(yīng)用工具變量法解決隨機解釋變量問題第一節(jié)隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題產(chǎn)生的原因多元（ k ）線性回歸模型：Yi01 X 1i2 X 2ik X kiU i8-1）其矩陣形式為：YXBU8-2）在多元（ k ）線性回歸模型中，我們曾經(jīng)假定，解釋變量X j 是非隨機的。如果X j 是隨機的，則與隨機擾動項U i 不相關(guān)。即：CovX ij ,U i0( j1,2, k;i1,2,n)8-3）許多經(jīng)濟現(xiàn)象中，這種假定是不符合實際的，因為許多經(jīng)濟變量是

2、不能用控制的方法進行觀測的，所以作為模型中的解釋變量其取值就不可能在重復(fù)抽樣中得到相同和確定的數(shù)值，其取值很難精確控制，也不易用實驗方法進行精確觀測，解釋變量成為隨機變量。又由于隨機項U 包含了模型中略去的解釋變量，而略去的解釋變量往往是同模型中相關(guān)的變量，因而就很有可能在X 是隨機變量的情況下與隨機項U 相關(guān)，這樣原有的古典假設(shè)就不能滿足，產(chǎn)生隨機解釋變量。在聯(lián)立方程模型以及模型中包含有滯后內(nèi)生變量等情況下，如果擾動項是序列相關(guān)的，那么均有擾動項和解釋變量之間的相關(guān)性的出現(xiàn)，模型就存在隨機解釋變量問題。例如，固定資產(chǎn)投資與國民收入的關(guān)系滿足如下模型：I t01Yt2 I t 1ut其中，I

3、t 為 t 期的固定資產(chǎn)投資，I t 1 為 t1期的固定資產(chǎn)投資，Yt 為 t 期的國民收入， 因為I t 1是隨機變量，故模型中存在隨機解釋變量。再如，消費與收入之間的影響關(guān)系模型為Ct01Yt2 Ct1ut其中，C t 為 t 期的消費支出，Ct 1 為 t1期的消費支出，Yt 是 t期的收入，因為C t 1 是隨機變量，故模型中存在隨機解釋變量。二、隨機解釋變量問題的后果模型中，在解釋變量為隨機變量并且與擾動項相關(guān)的情況下，應(yīng)用普通最小二乘法估計參數(shù)可能會出現(xiàn)估計的不一致性，使得估計值產(chǎn)生很大的偏誤，造成擬合優(yōu)度檢驗的全面失準(zhǔn)，F(xiàn)檢驗失效， t 檢驗失去意義。 在這種情況下，各種統(tǒng)計檢

4、驗得到的是虛假的結(jié)果，不能作為判別估計式優(yōu)劣的依據(jù)。隨機解釋變量帶來何種結(jié)果取決于它與隨機誤差項是否相關(guān)：1 ）隨機解釋變量與隨機誤差項不相關(guān)2 ）隨機解釋變量與隨機誤差項在小樣本下相關(guān)，在大樣本下漸進無關(guān)3 ）隨機解釋變量與隨機誤差項高度相關(guān)4 ）滯后被解釋變量與隨機誤差項相關(guān)第二節(jié)隨機解釋變量模型的估計特性我們討論的估計量的性質(zhì)（包括無偏性、最小方差性）都是在樣本容量一定的情況下的統(tǒng)計性質(zhì)，在數(shù)理統(tǒng)計上叫做小樣本性質(zhì)。在某些情況下，小樣本時的估計量不具有某種統(tǒng)計性質(zhì)，但是隨著樣本容量的增大，一個估計量在小樣本時不具有的性質(zhì)，大樣本時就逐漸具有這種統(tǒng)計性質(zhì)了，這種性質(zhì)我們叫做大樣本性質(zhì)或叫做

5、估計量的漸近統(tǒng)計性質(zhì)。常用的漸近統(tǒng)計性質(zhì)有漸近無偏性和一致性。一、估計量的漸近無偏性記 ?(n ) 代表模型中參數(shù)的估計量， 其上標(biāo) n 表示樣本容量。 一般來說， n 取如下的樣本容量，n1 n2nk ， ?(n ) 為一隨機變量。隨著樣本容量n 的增大，估計量?( n ) 構(gòu)成一個估計量 （隨機變量）序列：?(n ) ?( n1 ) ， ?( n2 ) ， ?( nk ) ，（ 8-4）所謂漸近理論就是討論當(dāng)n 變得很大時，以上這些序列會有怎樣的結(jié)果。序列?( n) 如果滿足：lim E（?(n )）n(8-5)則稱 ?(n ) 為的漸近無偏估計。也就是說，當(dāng)樣本容量越來越大，n 趨于 時

6、， ?(n ) 的均值越來越接近參數(shù)的真值。這里需要注意的是，有些估計量在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是無偏的，即是漸近無偏的。例如隨機變量的樣本方差21n2X )Sx( Xin i 1容易證明（在數(shù)理統(tǒng)計中已有證明）E( Sx2 )2 (11 )n其中，2 為總體方差。很明顯，在小樣本下，Sx2 作為2 的估計量是有偏的，但隨著n 的無限增大， E(S2)趨于總體的真正方差2 ，因此是漸近無偏的?？梢姡ㄟ^增加樣本容量，可以改善參x數(shù)估計的精度。二、估計量的一致性如果隨著樣本容量的增大，估計量 ?( n) 幾乎處處趨近于真值，我們說?(n) 為 的一致估計量，或稱 ?( n) 依概率收斂于

7、。如果樣本容量無限增大時，?(n ) 的分布收斂于， ?(n ) 的方差趨于零，?( n)就是 的一致估計量。一致估計量可以記為：P lim ?(n )1或簡記為 P lim ?( n)。式中 P lim 表示概率極限。nnn為簡單起見，可略去上標(biāo)n ，記作 P lim?概率極限有下列運算法則：P lim( cX )cP lim( X )c 為常數(shù)P lim( c1 X1c2X 2 ) c1P lim X 1 c2 P lim X 2c1 , c2 為常數(shù)P lim( X 1 X 2 ) P lim( X 1 ) P lim( X 2 )P lim( X 1 )P lim( X 1) , P

8、lim( X 2 )0X 2P lim( X 2 )P lim( X 1 )P lim( X )1這里需要弄清楚一點是，無偏性與一致性是兩個截然不同的概念，無偏性可以對任何樣本容量成立，而一致性則是對大樣本而言的，是一種漸近性質(zhì)。在大樣本的條件下，一致估計量具有很高的精度，但在小樣本時一致性不起作用?？梢宰C明，?( n ) 為的一致估計量，當(dāng)且僅當(dāng)lim E ( ?(n ) )lim var( ?(n ) ) 0nn8-6）時成立。此充分必要條件說明，?是漸近無偏的，且當(dāng)樣本容量無限增大時?的方差趨于零。上面的討論是對隨機變量而言的，對于隨機向量同樣有類似的結(jié)論。三、隨機解釋變量模型OLS估計

9、特性計量經(jīng)濟模型中一旦出現(xiàn)了隨機解釋變量，如果仍用最小二乘法估計模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機解釋變量會出現(xiàn)不同的結(jié)果。為了簡單起見，我們用一元線性回歸模型進行說明。給定一元線性回歸模型：Yi01 X iU i(i1,2,., n)8-7）假設(shè)為一隨機變量，模型滿足其他古典假設(shè)條件。對式（ 8-7），其離差形式為：yi1xiui8-8）其中， yiYiY，xiXiX ，uiU iU應(yīng)用普通最小二乘法，則有xi yi?12xi8-9）把 (8-8)中的 yi 代入（ 8-9），則可以得到?xi yixi ( 1xi ui )xi ui1xi2xi12xi28-10）而E(xiui)E( x1u1x2

10、u2Kxn un)xi 2xi 2xi 2xi 2E(x12 ) E(u1 )E(x2 2 ) E(u2 )E(xn 2 )E(un )xixixi8-11）下面分三種情況討論：1 和 U 是獨立的E( ?1 )1Exi uixi2因 xi 和 ui 相互獨立，并且E(ui )0 (xi ui ) 0E2xi故有 E( ?)2 xi 與 ui 小樣本下相關(guān)，大樣本下漸近無關(guān)小樣本： E( xi ui )0所以 E( ?1 )1 ，最小二乘法估計是有偏的。大樣本： P lim ( 1xi ui)0nn對式（ 8-10）兩邊取概率極限可有xi ui1xi uiP lim( ?1 )1P lim n

11、P lim（ 8-12）xi2112nxi因此，在假定 P lim ( 1xi2 )0 的情況下，有nP lim( ?)8-13）說明最小二乘估計式也具有一致性特性。3 xi 與 ui 高度相關(guān)P lim (1xi ui ) 0nn討論一般情況下回歸模型（8-8）式y(tǒng)i1 xiui(i 1,2,.n)（ 8-14）假設(shè)： Var ( x )22，如果采用普通最小二乘x，Var (u )u， xi 和 ui 之間的相關(guān)系數(shù)是ii法估計上式，可以得到：xi uiP lim 1xi uiP lim(?1 )1 P limnxi2112P limxinCov (x,u)u（ 8-15）Var ( x)

12、x因為： cov( x,u)( X iX )(U iU )xiui 代入上式即可。( X iX )2(U iU ) 2x u可見，如果很高，只有當(dāng)u是很小的情況下， （ 8-15）式的漸近誤差才是可以忽略的。否x則，最小二乘估計式將存在著很大的偏誤。第三節(jié)隨機解釋變量模型的處理如果模型中存在隨機解釋變量問題，則一般的隨機解釋變量與隨機誤差項之間是相關(guān)的，最小二乘估計量有偏且不一致，需要利用其他估計方法對模型參數(shù)進行估計。一、工具變量法工具變量 （ Instrument Variable, IV ）法就是當(dāng)隨機解釋變量與隨機誤差項相關(guān)時，尋找一個與隨機解釋變量高度相關(guān)，但與隨機誤差項不相關(guān)的變量

13、，用該變量替代模型中的隨機解釋變量，進行模型的參數(shù)估計。我們稱這一替代隨機解釋變量的變量為工具變量。（一）選擇工具變量的要求作為工具變量，必須滿足以下四個條件：第一，工具變量必須是有明確經(jīng)濟含義的外生變量；第二，工具變量與其替代的隨機解釋變量高度相關(guān)，而又與隨機誤差項不相關(guān)；第三，工具變量與模型中的其他解釋變量也不相關(guān)，以免出現(xiàn)多重共線性；第四，模型中的多個工具變量之間不相關(guān)。（二）工具變量的應(yīng)用工具變量對隨機解釋變量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具變量代換模型中對應(yīng)的隨機解釋變量，而是在最小二乘法的正規(guī)方程組中用工具變量對隨機解釋變量進行部分替代。對于一元線性回歸模型（8-7）和（

14、8-8） yi1xi ui若 x 與 u 不相關(guān)， u 滿足所有的統(tǒng)計假定。應(yīng)用 OLS法，利用微分求極值的辦法求出正規(guī)方程：xi yi1xi2Yi 01X i（ 8-16）現(xiàn)采用另一種方法來導(dǎo)出OLS正規(guī)方程。我們以xi （ i1,2, n) 同乘以 yi1 xiui 兩邊，得 n 個式子，求和得：xi yi1xi2xi ui+（ 8-17）因為 x 與 u 不相關(guān)，從而可以略去xi ui0 ，就可以得 OLS正規(guī)方程。如果 x 與 u 相關(guān)，則xu0 ，不能用 OLS法來估計參數(shù)?，F(xiàn)在，我們要尋找一個變量Z ，iiZ 與 X 高度相關(guān)而與 U 無關(guān)，用 zi 的離差乘以 yi1 xiui

15、的兩邊，然后求和得到一個類似于OLS正規(guī)方程的方程。在這里，Z 就是工具變量。zi yi8-18）由于 z與 u 無關(guān)，所以P lim11zi xizi uinzi ui0nni1得：zi yi1zi xi8-19）上式稱為擬正規(guī)方程，從而求得?zi yi( ZiZ )(Y iY)1zi xi(ZiZ )(X iX)?Y?01X8-20）因此， 工具變量法的基本原理在于：用工具變量代替隨機解釋變量X ，從而利用 cov( Z,U )0克服 cov(X, U )0 產(chǎn)生的對模型參數(shù)估計的不利影響，形成有效正規(guī)方程組并最終獲得模型參數(shù)的估計量。從這一原理理解，OLS 法也可以看作是一種工具變量法，

16、即利用模型中的各解釋變量作為他們自身的工具變量。容易證明，參數(shù)工具變量估計量是有偏的、一致的估計量。在實際經(jīng)濟分析中，對于工具變量的選擇，一般的做法是：對于時間序列資料，如果被解釋變量Yi 、隨機解釋變量X i 、隨機誤差項ui 三者之間的關(guān)系有cov( X i ,ui )0 ，但 cov( X i 1,ui )0 ， cov( Yi 1 ,ui )0 ，則可用 X i 1 或 Yi 1 作為 X i 的工具變量。（三）多元線性回歸模型對于 k 元線性回歸模型：Yi01X 1i2X 2 ik X kiui8-21）其矩陣形式為：YXBU8-22）假設(shè) X 1i 和 X ki 為隨機解釋變量，且

17、與隨機誤差項ui 高度相關(guān)， ui 滿足最小二乘法的其他假定條件，解釋變量之間無多重共線性。（ 1）尋找工具變量Z1i 和 Z ki。工具變量滿足以下條件：他們是有實際經(jīng)濟意義的變量；與其對應(yīng)的隨機解釋變量（Z1i對應(yīng) X 1i ， X ki 對應(yīng) Zki ）高度相關(guān)；與隨機誤差項ui 不相關(guān)；工具變量 Z1i和 Zki 之間不相關(guān)；與k 元線性回歸模型中其他解釋變量不相關(guān)。（ 2）寫出工具變量矩陣。除了X1t 和 X kt 之外， k 元線性回歸模型的工具變量矩陣為：1X11X 21.X k1X1X12X 22.X k 2. . . . .1X1 nX 2n.X kn（ 8-23 ）將 X

18、矩陣中的 X 1i 和 X ki 替換為 Z1i 和 Zki ，其他外生變量和常數(shù)項均由其自身做工具變量，得 Z矩陣：1Z11Z21.Z k11Z12Z22.Zk 2Z. . . . .1Z1nZ 2 n.Z kn8-24）（ 3）求出工具變量估計量?，沿上述思路，用Z 同乘YXB U 兩邊，由于 Z 和 U 無關(guān)，BIV所以有p lim1Z U 0nBIV(ZX) 1ZY8-25）B?IV 是 B 的一致估計量。在 EViews 軟件中，工具變量法是含在二階段最小二乘法中，所以必須選擇二階段最小二乘法，在“工具變量”的提示后面，輸入所有的工具變量名，即可實現(xiàn)工具變量法估計。（四）工具變量法的缺陷從理論上分析，工具變量法可以得到漸近無偏、漸近有效的參數(shù)估計量，在解釋變量為隨機變量并與隨機誤差項相關(guān)的情況下，參數(shù)估計值達到了漸近一致。但這種方法在實際應(yīng)用中會遇到一定困難，主要表現(xiàn)在三個方面：（ 1）在解釋變量X 與隨機誤差項u 相關(guān)的情況下，要找尋一個既與X高度相關(guān)，又與u 不相關(guān)的工作變量Z 十分困難。再加上工具變量Z 要具有明確的經(jīng)濟含義，這就更不容易。2）在能找到符合要求的工具變量條件下，所選擇的工具變量不同，模型參數(shù)估計值也不會一致，使參數(shù)估計出現(xiàn)隨意性。工具變量選擇得當(dāng)，參數(shù)估計值的質(zhì)量會高一點；如果工具變量選擇不得當(dāng)，參數(shù)估計值就會出現(xiàn)較大偏誤。3）由于使用了工具變量