2010級(jí)商務(wù)數(shù)學(xué)期末考試題參考答案及詳解

1、一填空題（1 分12 分1. fx0 xa,bf x C xa,b【注】依據(jù)Lagrange 定理推論1（見第76 頁邊際收益等于邊際成本是取得最大利潤(rùn)的【注】參見第99 頁最后一段tanxdx lncosx C【注】也可填lnsecxC（見第113頁例Fx 1tetdt，則Fx xexx【注】依據(jù)公式d btdt x（參第137 頁例dx dx 2【注】顯然定積分1 lnxdx 為一常數(shù)，而任何常數(shù)的導(dǎo)數(shù)均為0 11x2 dx 0【注】利用“對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)的定積分為”這一性質(zhì)（見140 頁性質(zhì)b定積分的分部積分公式為budvuvb b【注】見第140 頁定理1 1 dx當(dāng)1 時(shí)收斂0 【注

2、】瑕積分知識(shí)（見第151 頁例n1 n!【注利用遞推公式s1ss，也可填nn（見第152 頁z xy，則 xy11 【注】z yxy1z 1xy1 yxy1lnx xy11 ylnfx y,xy2x2 xy2y2，則f 4x【注】令ux y，vxy，則fx y,xy2x2 xy2y2 2x y2 3xyfu,v2u2 3v，故fx,y2x2 3y，于是f 4x函數(shù)fx,y2xy3x2 2y2 10的極值點(diǎn)為【注】令 fxxy 2y 6x 0 ，解得x 0 ，即0，0為駐點(diǎn).不難fx,y 2x4y y 值點(diǎn)（A600，0為極大值點(diǎn)）.二計(jì)算題（4 分40 分lim xsinx x0lim sin

3、xln解法1 lim xsinx lim esinxlnx ，而應(yīng)用LHospital 法則可x0 x0lnln lim sinxln x lim lim limtanx 10 0 x0 cscx0 cscxcotx0 故原式e0 1解法2 y xsinx，則lnysinxlnx ，而應(yīng)用LHospital 法則可 limlny limsinxlnx lim tanxx0 cscx0 cscxcotlim ln100，故原式 lim y limelny e01x0 x0 x1t3 lim 13 .1 LHospital 法則01t3 00lim 3dt 0 01 x 2 1 0331 331

4、2 13131 31 lim2 3 12 LHospital 法則3 0 x1t3 01x31x3lim 1 1x0 4x31 x3 1x3 x0 4x3 1x3 1x3 1x3 1x3 21【注】?jī)煞N解法的第一步， 都需要求變上限積分對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)：111 111 dt （見第137 頁定理，設(shè)z2x23y23x2，z 解法1 先取對(duì)數(shù)，得lnz3x2yln2x2 3y2兩邊求關(guān)x 的偏導(dǎo)數(shù)，可1z 3ln2x2 3y23x22x2 3y整理得zz 2x23y23x2y3ln2x23y24x3x2y2x2 3y2同理，兩邊求y 的偏導(dǎo)數(shù)1z 2ln2x2 3y23x262x2 3y整理得zz

5、 2x23y23x2y2ln2x2 3y26y3x2y2x2 3y2解法2 z uv ，其中u 2x2 3y2，v 3x2y，則由多元復(fù)合函數(shù)求z z u z v vuv1 4xuv lnu3 uv4xv 3lnuu v 2x2 3y23x2y 4x3x2y3ln2x2 3y2 2x2 3yz z u z v vuv1 6yuv lnu2 uv6yv 2lnuu v 2x2 3y23x2y 6y3x2y2ln2x2 3y2 2x2 3y解法3z2x2 3y2 3x2y 改寫為ze3x2yln2x2 3y2 ，不難z e3x2yln2x2 3y2 3z 2x2 3y23x2y 2ln2x2 3y

6、2 6y3x2y2x2 3y2 4 取對(duì)數(shù)，得lnz 3x 2yln2x2 3y2 .兩邊求微分1dz ln2x2 3y2d3x 2y 3x 2ydln2x2 3y2， 1dz ln2x2 3y23dx2dy 3x2y4xdx6ydy，整理2x2 3dz 2 2 4x3x2 2 26y3x2z3ln 3z2ln 32x2 3y2 由公式dzzdxzdy，比2x2 3y2 455x11 1 C C3333333【注最后一步還原時(shí)要用到三角函數(shù)知xtant得tant x x11 x即在三角形中銳角t 的對(duì)邊為x ，鄰邊為1，于是其1 xx1 sinx1 ex cosxdx1 excosxdxcos

7、xdex ex cosxexdcosxex cosxexex cosxsinxdex ex cosxex sinxexdsin2excosxsin x ex cosxdx，ex cosxdx 1excosxsinxC22 excosxdxexdsinx exsinxsinxdex exsinxexsinxexdcosxexsinxexcosxcos2exsin xcosx ex cosxdx，ex cosxdx 1exsinxcosxC22 cosx001dx20 1x 2 解 2 cosxdx 3 cosxdx 3cosxdxsinx0sinx 33333 2 6 00 4 16 2 312

8、 1【注由cosx的圖像可知，當(dāng)0 x 時(shí)，cosx1；當(dāng) x 時(shí)cosx12x5x54155t5解令t 則x ，dxdt.當(dāng)x 1時(shí)，t 3；當(dāng)x 1時(shí)1 5t 1 t3 t 1.于是 dx dt 5t2dt5t 528 835 11595 1 14 138 limxkx kte2tdt，求k 的x xkk xk1xx 解因lim lim x xkx 1kxlim 1x xekte2tdt 1k tde2t 1te2t k k e2tdt 1ke2k 1e2t k 1ke2k 1e2k2 2 2 1k 1e2k，故e2k 1k 1e2k，于是1 1k 1，即k 5 222222【注】在本題解

9、題過程中應(yīng)用分部積分法計(jì)算kte2tdt 時(shí)需利用LHospital 法則求極lim 0tt t 求由exy 2xyz ez 所確定的隱函數(shù)z zxy在0,0解法1 將方程改寫為exy 2xyzez 0，并令Fx,y,zexy 2xyzez x xexy 2FFez 2yz2xz2xye 故zx x z Fy exy 2xz .由于當(dāng)x0 且y 時(shí)，z 0 ，故 zez zx yz0,01，于是所求全微分為y 解法 2 在方exy 2xyzez 兩邊分別對(duì) x y 求偏導(dǎo), 可exy 2y1zxzez z exy x2 1四、應(yīng)用題（8 分40 分A manufacturer of dishw

10、ashers can produce up 1,.列如下x11, 00y（拐點(diǎn)ln（拐點(diǎn)y 的符號(hào)，可知1,1為上凹,1和1, 為下間，拐點(diǎn)為 1,ln 2和1,ln 3. 求由曲線yx2y4xx2y0所圍圖形的面積，并分別求出該圖形繞x 軸及 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積.解 由y 解得x 0 和x y y y4 y y 4x的交點(diǎn)和；又由y4xx2 解得x0 和x4 ，即 2 y y y y 0 的交點(diǎn)為0,0和4,0（草圖略所求平面圖形的xS2 x2dx44xx2dx 1 x2 2x2 1x3 8（面積單位22所求旋轉(zhuǎn)體的體積分別2 2 5 16 1 5 Vx 0 x dx2 4xdx 52x x （ 4積單位Vy 4244y y2dy8y84y2 y2 30 3 （體積單位y線函數(shù)的自變量表示為 y ，而將因變量表示為 x .不難看出，由曲線 y x2，y 4x x2和y 0所圍圖形其左方曲線由y x2可得x 半支拋物線x 與本題所指圖形無關(guān)，故舍去，其右方曲線由yy4xx2即